1 Digitale Signalverarbeitung (S. 1-2)

1.1 Einführung

Es besteht gar kein Zweifel, wir leben in einer Informationsgesellschaft. Ganz egal, ob wir Musik hören, mit dem Auto unterwegs sind oder mit guten Freunden telefonieren, ständig kommen wir mit Systemen der digitalen Signalverarbeitung in Berührung. Ein großer Teil der Information die uns erreicht ist bereits in mehreren vorangegangenen Schritten digital verarbeitet worden, auch wenn wir uns dessen nicht immer bewußt sind. Träger der Information sind Signale, die im mathematischen Sinne Funktionen einer oder mehrerer unabhängiger Variablen (Zeit, Raumkoordinaten) sind. Die Aufgabe der Signalverarbeitung besteht vor allem in der Manipulation, Analyse und Interpretation von Signalen. Sie kann zu Recht als eine entscheidende Schlüsseltechnologie des modernen Lebens gesehen werden.

Interessanterweise wurden die mathematischen Grundlagen hierzu bereits in einer Zeit erarbeitet, als an Computer, Unterhaltungselektronik oder auch nur die Elektrifizierung der privaten Haushalte noch nicht einmal zu denken war.

Einer der Wegbereiter war Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), der im französischen Auxerre als Sohn eines Schneiders geboren wurde. Er besuchte u.A. die dortige Militärschule, wo sein mathematisches Interesse geweckt wurde. Hier machte er durch seine Studien zur Mathematik und Mechanik auf sich aufmerksam. Trotzdem entschied Fourier sich zunächst, nicht unüblich für die damalige Zeit, für das Priesteramt und begann eine entsprechende Ausbildung in der Abtei St. Benoit-sur-Loire. Er mußte sich aber bald eingestehen, daß sein Herz doch mehr für die Mathematik schlug. Zurück in Auxerre arbeitete er als Mathematiklehrer. Die Wirren der Französischen Revolution gingen auch an Fourier nicht spurlos vorüber und hätten ihm beinahe, im wahrsten Sinne des Wortes, Kopf und Kragen gekostet. 1795 zog er nach Paris und vollendete seine Studien an der École Polytechnique, an der er später auch selber lehrte. Fourier war Mitglied der Académie des Sciences und der Académie Française. Sein Ruhm gründet vor allem auf Arbeiten zur Mathematik und zur mathematischen Physik. 1822 entstand sein Hauptwerk, die „Théorie analytique de la chaleur", in dem er den Wärmetransport und die Temperaturverteilung im Inneren homogener Körper mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen beschreibt.

1.2 Fourier-Reihen

Fourier verwendete in seiner Arbeit trigonometrische Reihen, die man heute als Fourier-Reihen kennt. Er erkannte, daß sich periodische Funktionen in einfache Basisfunktionen zerlegen lassen. Die von ihm verwendeten trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus bilden gerade einen hierfür geeigneten Funktionsbaukasten. Die notwendige Periodizität liegt genau dann vor, wenn für alle ganzzahligen n die folgende Bedingung erfüllt ist.