5.3 Kontrast N wellenlängenspezifischer Specklefelder bei identi-

Einfalls- und Beobachtungsrichtung

Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen dem Specklekontrast N überlagerter wellenlängenspezifischer Specklemuster und deren entsprechenden Wellenlängen abgeleitet werden. Hierfür wird angenommen, dass während der Projektionsdauer eines Pixels Einfalls- und Betrachtungsrichtung konstant sind und daher aus Gl. (5.8) und Gl. (5.9) für das m-te und n-te Specklefeld mit ϑ e = ϑ e,n bzw. ϑ a = ϑ a,n

∆λ n,m

∆q ⊥ (λ n , λ m ) = 2π (sin(ϑ a ) − sin(ϑ e )) (5.33)

λ n λ m

und

∆λ n,m

∆q (λ n , λ m ) = 2π (cos(ϑ a ) + cos(ϑ e )) (5.34)

λ n λ m

folgt. λ n bzw. λ m entsprechen dabei den Wellenlängen der zugehörigen Specklefelder und ∆λ n,m = λ m − λ n deren Differenz.

5 Wellenlängen- und winkelspezifische Specklefelder

gilt, womit sich das Betragsquadrat der gemeinsamen Korrelationsfunktion winkel- und wellenlängenspezifischer Speckles auf

reduziert und demnach durch Einsetzen in Gl. (4.11) und Übernehmen der Indizes für den Specklekontrast in Abhängigkeit der Wellenlängen

N N

¯ I n ¯ I m |M h (λ n , λ m )| 2

n=1 m=1

N C = (5.36)

N

¯ I n

n=1

resultiert.

Wird nun davon ausgegangen, dass die mittleren Intensitäten ¯ I = ¯ I n aller Specklefelder gleich sind, ergibt sich Gl. (5.36) durch Einsetzen von Gl. (5.5) und Gl. (5.34), mit ϑ = ϑ a = ϑ e , zu

∆λn,m

Im Folgenden soll anhand Gl. (5.37) abgeschätzt werden, wieviele Laserquellen unter- Wellenlängen eingesetzt werden können, um ein gewinnbringendes Verhältnis zwischen der Anzahl der Laserquellen und der Kontrastreduktion zu erzielen. Es wird daher angestrebt, dass für N Laser unterschiedlicher Wellenlängen der Specklekontrast auf

√ N − 1 = N −1 C min reduziert werden kann. Mit Gl. (5.37) ist dies gegeben, wenn

N C < 1/ die Bedingung

∆λn,m

erfüllt ist. Um für Ungleichung (5.38) einen aussagekräftigen Zusammenhang zwischen den darin enthaltenen Variablen und der Erfüllung der Ungleichung ableiten zu können, wird angenommen, dass die Wellenlängen äquidistant verteilt sind, so dass mit

λ N − λ 1

∆λ n,m = (m − n) = λ d (m − n) (5.39)

N − 1

Abbildung 15: 1 -Isolinien des Kontrastes, für N = 3, 4, 5, 10 sowie für N = 50 überlagerte √ N −1

wellenlängenspezifische Specklefelder und (gepunktet) die Regressionsfunktion der

Isolinie für N = 50.

λ n = λ N − λ d (N − n) (5.40)

λ m = λ N − λ d (N − m) (5.41)

λ d N N (m−n) 4π σ h

folgt. Die numerische Auswertung der Ungleichung (5.42) ist in Abbildung 15 für N = 3, 4, 5, 10 und für 50 überlagerte wellenlängenspezifische Specklefelder dargestellt. Hierbei unterteilen die Graphen ( 1 -Isolinien des Konrastes) den Parameterbereich in die Ge- √ N −1

biete, für die N C > 1/ (N − 1) bzw. N C < 1/ (N − 1) gilt, d.h. in jene Gebiete, für welche die Ungleichung (5.42) erfüllt bzw. nicht erfüllt ist. Anhand dieser Graphen können unmittelbar Aussagen über die erreichbare Reduk-

5 Wellenlängen- und winkelspezifische Specklefelder

λ d 0.14236

= 0.00017 + , (5.43)

1.46697 + cos(ϑ) σ h λ N

λ N

welche für N = 50 und cos(ϑ)σ h /λ N ≥ 5 numerisch bestimmt worden ist, als Näherung für große N genutzt werden oder auch als erste Abschätzung für kleinere N dienen.

∆λ n,m

Wird weiterhin angenommen, dass alle Spektralllinien die gleichen Intensitäten ¯ I = ¯ I n besitzen und in einem kleinen Wellenlängenintervall symmetrisch um eine mittlere Wellenlänge ¯ λ äquidistant verteilt sind, kann Gl. (5.44) zu

N −1 N −1 λ d (m−n)

vereinfacht werden. Hierbei wurden ¯ λ ≈ λ n im Nenner der Exponentialfunktion genähert und die Grenzen der Summen so gewählt, dass N nunmehr eine ungerade Zahl ist und für

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