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Quantenmechanik 2

Pfadintegralformulierung und Operatorformalismus

Autor	Hugo Reinhardt
Verlag	De Gruyter Oldenbourg
Erscheinungsjahr	2013
Seitenanzahl	591 Seiten
ISBN	9783486855883
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	64,95 EUR

Teil 2 dieses 2-bändigen Lehrbuchs gibt eine Einführung in Basiskonzepte der Quantenfeldtheorie, wie z.B. die Methode der Zweiten Quantisierung. Darüber hinaus stellt es einige modernere Entwicklungen vor, darunter den Zusammenhang zwischen Spin und Geometrie oder die sogenannte Berry-Phase, die den Bohm-Aharanov-Effekt in einen allgemeineren Kontext stellt und gleichzeitig das quantenmechanische Analogon der Wess-Zumino-Witten-Wirkung aus der Quantenfeldtheorie repräsentiert.

Professor Dr. Hugo Reinhardt ist seit 2006 Direktor des Instituts für Theoretische Physik an der Universität Tübingen.

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	5
24 Zeitentwicklung in der Quantenmechanik	17
24.1 Der Zeitentwicklungsoperator	17
24.2 Explizite Darstellung des Zeitentwicklungsoperators	20
24.3 Das Heisenberg-Bild	25
24.3.1 Erhaltungsgroßen	28
24.3.2 Bewegungsgleichungen im Heisenberg-Bild	29
24.4 Das Wechselwirkungsbild	30
24.5 Zeitabhängige Störungstheorie	34
24.6 Formale Aufsummation der Storreihe	37
24.7 Zeitabh. Storungstheorie im Pfadintegralzugang: Feynman-Diagramme*	39
24.8 Die Green’sche Funktion der Schrodinger-Gleichung	46
24.8.1 Die volle Green’sche Funktion	47
24.8.2 Die Green’sche Funktion des freien Teilchens	50
25 Zeitabhängige Prozesse	55
25.1 Übergange infolge einer äußeren Storung	55
25.2 Storreihe fur die Übergangsamplitude	56
25.3 Fermis Goldene Regel	58
25.3.1 Zeitlich begrenzte Storung	58
25.3.2 Instantanes Ein- bzw. Ausschalten der Storung	60
25.3.3 Periodische Storung	69
26 Streutheorie	73
26.1 Der Streuprozess	74
26.2 Streuung eines Wellenpaketes am Potential	76
26.3 Stationäare Streutheorie: Die Lippmann-Schwinger-Gleichung	81
26.4 Die Streuamplitude	84
26.5 Der Wirkungsquerschnitt	86
26.6 Die Born'sche Näherung	89
26.6.1 Streuung am Yukawa-Potential	92
26.6.2 Streuung am Coulomb-Potential	94
26.7 Die Streumatrix*	96
26.8 Das optische Theorem*	101
26.9 Streuung am Zentralpotential: Partialwellenzerlegung	102
26.9.1 Partialwellenzerlegung der Streufunktion	102
26.9.2 Die Streuphase	104
26.9.3 Partialwellenzerlegung des Streuquerschnitts	108
26.9.4 Konvergenz der Partialwellenzerlegung	110
26.10 Hartkugelstreuung	112
26.11 Erklarung der Schattenstreuung*	120
26.12 Streuung am Potentialtopf	124
26.12.1 Die Streuphasen	125
26.12.2 Resonanzstreuung	129
26.12.3 s-Streuung am Potentialtopf	135
26.12.4 Levinson-Theorem	137
26.12.5 Die Streulange	140
26.12.6 Streuung am kugelsymmetrischen Potentialberg	143
27 Adiabatische Beschreibung: Die Berry-Phase	147
27.1 Adiabatische Prozesse	147
27.2 Die adiabatische Naherung	149
27.3 Die Berry-Phase	152
27.4 Das Berry-Potential	154
27.5 Pfadintegralableitung der Berry-Phase*	157
27.6 Das induzierte Magnetfeld	162
27.7 Spin im homogenen Magnetfeld	163
27.7.1 Das Berry-Potential	164
27.7.2 Das induzierte Magnetfeld	165
27.7.3 Zum Raumwinkel*	167
27.7.4 Mechanische Interpretation der Berry-Phase	170
27.8 Der Bohm-Aharonov-Effekt	172
27.8.1 Interpretation als Berry-Phase	175
27.8.2 Pfadintegralberechnung der Berry-Phase*	177
28 Symmetrien	181
28.1 Verhalten der Wellenfunktion unter Koordinatentransformationen	181
28.2 Koordinatentransformationen im Hilbert-Raum	185
28.3 Symmetrietransformationen	187
28.4 Kontinuierliche Symmetrietransformationen	189
28.5 Translation des Raumes	190
28.6 Drehungen	192
28.6.1 Drehung des Koordinatensystems	192
28.6.2 Der Drehoperator	193
28.6.3 Matrixdarstellung des Drehoperators	195
28.6.4 Das Drehverhalten von Observablen: Skalare, Vektoren und Tensoren	199
28.6.5 Teilchen im rotierenden Bezugssystem: Die Coriolis-Wechselwirkung	202
28.7 Diskrete Symmetrien	205
28.7.1 Raumspiegelung	205
28.7.2 Zeitumkehr	206
28.8 Innere Symmetrien	207
28.9 Eichsymmetrien*	210
29 Rotationen*	215
29.1 Darstellung der Drehung durch Euler-Winkel	215
29.2 Die Wigner’schen D-Funktionen	220
29.3 Die Drehimpulseigenfunktionen des starren Korpers	224
29.4 Rotation eines starren Korpers	233
30 Relativistische Quantenmechanik	237
30.1 Relativistische Kinematik	237
30.2 Lagrange- und Hamilton-Formulierung*	240
30.3 Elektromagnetische Felder	244
30.4 Die Klein-Gordon-Gleichung	248
30.5 Die Dirac-Gleichung	253
30.6 Die Losungen der freien Dirac-Gleichung	257
30.7 Der Drehimpuls des Dirac-Teilchens	262
30.8 Elektron im Magnetfeld	265
30.9 Der nichtrelativistische Limes der Dirac-Gleichung	273
30.10 Elektron im Coulomb-Potential	276
30.10.1 Punktmasse im Zentralpotential	277
30.10.2 Läsung der Dirac-Gleichung fur das Coulomb-Potential	281
31 Vielteilchensysteme	291
31.1 Unterscheidbare Teilchen	291
31.2 Identische Teilchen	293
31.3 Permutationen	295
31.4 Systeme aus zwei identischen Teilchen	297
31.5 Systeme aus N identischen Teilchen	299
31.6 Spin-Statistik-Theorem	303
31.6.1 Statistik von zusammengesetzten Teilchen	304
31.7 Observablen von Systemen identischer Teilchen	305
31.8 Fermi-Systeme	308
31.8.1 Slater-Determinanten	308
31.8.2 System aus zwei identischen Fermionen mit Spin 1/2	309
31.9 Das Helium-Atom	314
31.9.1 Das ungestörte Helium-Spektrum	316
31.9.2 Helium-Spektrum mit Coulomb-Wechselwirkung	318
31.10 Die Hartree-Fock-Methode	320
31.10.1 Hartree-Naherung	321
31.10.2 Hartree-Fock-Naherung	325
31.11 Das ideale Fermi-Gas	328
31.12 Die Thomas-Fermi-Naherung	336
32 Die Zweite Quantisierung	343
32.1 Identische Teilchen	343
32.2 Besetzungszahldarstellung	347
32.3 Der harmonische Oszillator als ein Ensemble von Phononen	349
32.4 Der Fock-Raum	350
32.5 Bosonen	352
32.6 Fermionen	355
32.7 Operatoren	360
32.7.1 Einteilchenoperatoren	360
32.7.2 Zweiteilchenoperatoren	364
32.7.3 Nützliche Operatorbeziehungen	366
32.7.4 Das Wick'sche Theorem	368
32.8 Die Ortsdarstellung	370
32.8.1 Feldoperatoren	370
32.8.2 Die Dichtematrix	374
32.9 Fermi-Systeme	376
32.9.1 Slater-Determinanten	377
32.9.2 Das Quasiteilchen-Bild	379
32.9.3 Das Thouless-Theorem*	382
33 Die Theorie der Supraleitung*	387
33.1 Paarkorrelationen	388
33.2 Variation der Energie	392
33.3 Quasiteilchen	397
33.4 Die Bogoljubov-Transformation	399
33.5 Die Energielucke	406
34 Quantenstatistik	411
34.1 Gemischte Zustande	411
34.1.1 Der statistische Operator	413
34.1.2 Der statistische Operator fur ein Spin-1/2-Teilchen	416
34.1.3 Zusammenhang mit reinen Zustäanden	418
34.2 Statistische Ensembles	419
34.2.1 Das Prinzip der Maximalen Entropie	420
34.2.2 Das kanonische Ensemble	423
34.2.3 Das großkanonische Ensemble	426
34.3 Das großkanonische Ensemble identischer Teilchen	428
34.3.1 Fermi-Statistik	432
34.3.2 Bose-Statistik	433
34.3.3 Gibbs-Statistik	434
34.3.4 Der harmonische Oszillator bei endlichen Temperaturen	435
34.3.5 Die Entropie identischer Teilchen	437
34.4 Mean-Field-Approximation bei endlichen Temperaturen	438
35 Kohärente Zustände	445
35.1 Koharente Bose-Zustande	445
35.2 Koharente Fermi-Zustande	452
35.2.1 Der fermionische Oszillator	452
35.2.2 Koharente Fermi-Zustande und Graßmann-Variablen	453
35.2.3 Differentiation und Integration fur Graßmann-Variablen	455
35.2.4 Darstellung des Fock-Raumes durch Graßmann-Variablen	459
35.2.5 Verallgem. auf Fermi-Systeme mit mehreren Freiheitsgraden	461
35.2.6 Beschreibung von Fermi-Systemen mit Hilfe von Graßmann-Variablen	464
35.3 Komplexe Gauß-Integrale	466
35.4 Anwendungen	470
35.4.1 Das erzeugende Funktional	471
35.4.2 Die Spur im Fock-Raum	473
35.4.3 Ensemble-Mittel	475
36 Pfadintegralbeschreibung von Vielteilchensystemen	479
36.1 Pfadintegraldarstellung der Übergangsamplitude	480
36.2 Pfadintegraldarstellung der großkanonischen Zustandssumme	485
36.3 Pfadintegraldarstellung des erzeugenden Funktionals	487
36.4 Nichtdifferenzierbare Pfade	489
36.5 Bosonisierung: BCS-Theorie bei endlichen Temperaturen*	494
36.6 Funktionalintegraldarstellung der Eichtheorien	501
E Grundzäge der Gruppentheorie	509
E.1 Grundlagen	509
E.2 Kontinuierliche Gruppen	512
E.3 Die Drehgruppe in N = 2 Dimensionen: SO(2)	514
E.4 Die Gruppen O(N) und SO(N)	515
E.5 Die Drehgruppe SO(3)	519
E.6 Die Gruppe der unitäaren Matrizen U(N)	521
E.7 Homomorphismus und Isomorphismus	522
E.7.1 Der Isomorphismus U(1) . SO(2)	522
E.7.2 Der Homomorphismus SU(2) ~ SO(3)	523
E.8 Nicht-kompakte Gruppen: Die Lorentz-Gruppe	526
E.9 Minimale Darstellung d. Lorentz-Transform. durch die Gruppe SL(2, C)	531
E.10 Die Poincare-Gruppe	534
E.10.1 Definition und Casimir-Operatoren	534
E.10.2 Physikalische Bedeutung der Casimir-Operatoren	535
E.11 Spinoren	538
E.11.1 Spinor-Darstellung der O(N)	538
E.11.2 Spinor-Darstellung der Lorentz-Gruppe	541
E.12 Die Algebra einfacher und halbeinfacher Lie-Gruppen	542
E.12.1 Gewichte und Wurzeln	543
E.12.2 Beispiele: Die Gruppen SU(2) und SU(3)	546
F Eigenschaften der Wigner’schen D-Funktionen	553
G Spuridentitaten im Fock-Raum	559
H Das Wick’sche Theorem	563
H.1 Basisdefinitionen und Operatorbeziehungen	563
H.2 Zeitabhangige Feldoperatoren	568
H.3 Normal- und zeitgeordnetes Produkt sowie Kontraktion von Feldoperatoren	570
H.4 Allgemeine Form des Wick'schen Theorems	573
H.5 Das Wick’sche Theorem fur Ensemble-Mittel	576
I (Anti-)Periodische Funktionen und Matsubara-Summen	581
Index	587

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