Vorwort des Autors | 8 |
Vorwort des Herausgebers | 11 |
Hinweise für den Leser | 14 |
Inhaltsverzeichnis | 15 |
1 Prolog: 3000 Jahre Analysis | 21 |
1.1 Was ist Analysis? | 23 |
1.2 Vorläufer von ? | 24 |
1.3 Das ? der Bibel | 27 |
1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes | 28 |
1.5 Babylonische Näherung an ?2 | 33 |
2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike | 35 |
2.1 Die Griechen formen die Mathematik | 38 |
2.1.1 Der Beginn: Thales von Milet und seine Schüler | 39 |
2.1.2 Die Pythagoreer | 41 |
2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids Elementen | 47 |
2.1.4 Die Methode der Exhaustion – Integration auf griechisch | 53 |
2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel | 57 |
2.1.6 Die drei großen klassischen Probleme | 58 |
2.2 Kontinuum versus Atome – Infinitesimale versus Indivisible | 67 |
2.2.1 Die Eleaten | 68 |
2.2.2 Atomismus und Kontinuum | 69 |
2.2.3 Indivisible und Infinitesimale | 71 |
2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien | 74 |
2.3 Archimedes | 79 |
2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten | 79 |
2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften | 87 |
2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der mechanischen Sätze | 91 |
2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion | 96 |
2.3.5 Über Spiralen | 100 |
2.3.6 Archimedes fängt ? | 104 |
2.4 Die Beiträge der Römer zur Analysis | 106 |
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2 | 109 |
3 Wie Wissen wanderte – Vom Orient zum Okzident | 111 |
3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die Araber | 113 |
3.2 Die Beiträge der Araber zur Analysis | 118 |
3.2.1 Avicenna (Ibn S?n?): Universalgelehrter im Orient | 118 |
3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker | 119 |
3.2.3 Averroës (Ibn Rušd): Aristoteliker im Islam | 126 |
3.3 Aufgaben zu Kapitel 3 | 128 |
4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik | 129 |
4.1 Der Wiederbeginn in Europa | 131 |
4.2 Die große Zeit der Übersetzer | 140 |
4.3 Das Kontinuum in der Scholastik | 147 |
4.3.1 Robert Grosseteste | 150 |
4.3.2 Roger Bacon | 151 |
4.3.3 Albertus Magnus | 153 |
4.3.4 Thomas Bradwardine | 156 |
4.3.5 Nicole Oresme | 162 |
4.4 Scholastische „Abweichler“ | 168 |
4.5 Nicolaus von Kues | 170 |
4.5.1 Die mathematischen Werke | 172 |
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4 | 176 |
5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance | 177 |
5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike | 179 |
5.2 Die Schwerpunktrechner | 182 |
5.3 Johannes Kepler | 190 |
5.3.1 Neue Stereometrie der Fässer | 210 |
5.4 Galileo Galilei | 215 |
5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen | 223 |
5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der Indivisiblen | 228 |
5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri | 232 |
5.5.2 Die Kritik durch Guldin | 240 |
5.5.3 Die Kritik durch Galilei | 241 |
5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon | 242 |
5.5.5 De Saint-Vincent und die Fläche unter der Hyperbel | 244 |
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5 | 253 |
6 An der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert | 254 |
6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich | 256 |
6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert | 256 |
6.1.2 René Descartes | 259 |
6.1.3 Pierre de Fermat | 269 |
6.1.4 Blaise Pascal | 279 |
6.1.5 Gilles Personne de Roberval | 292 |
6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden | 298 |
6.2.1 Frans van Schooten jr. | 300 |
6.2.2 René François Walther de Sluse | 300 |
6.2.3 Johann van Waveren Hudde | 302 |
6.2.4 Christiaan Huygens | 305 |
6.3 Analysis vor Newton in England | 308 |
6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen | 308 |
6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert | 309 |
6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen | 313 |
6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen | 320 |
6.3.5 England im 17. Jahrhundert | 331 |
6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen | 334 |
6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie | 344 |
6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des Logarithmus durch Nicolaus Mercator | 351 |
6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile | 356 |
6.3.10 James Gregory | 365 |
6.4 Analysis in Indien | 366 |
6.5 Aufgaben zu Kapitel 6 | 370 |
7 Newton und Leibniz – Giganten und Widersacher | 372 |
7.1 Isaac Newton | 374 |
7.1.1 Kindheit und Jugend | 374 |
7.1.2 Der Student in Cambridge | 377 |
7.1.3 Der Lucasische Professor | 385 |
7.1.4 Alchemie, Religion und die große Krise | 389 |
7.1.5 Newton als Präsident der Royal Society | 394 |
7.1.6 Das Binomialtheorem | 396 |
7.1.7 Die Fluxionsrechnung | 397 |
7.1.8 Der Hauptsatz | 400 |
7.1.9 Kettenregel und Substitutionen | 402 |
7.1.10 Das Rechnen mit Reihen | 402 |
7.1.11 Integration durch Substitution | 404 |
7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis | 406 |
7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton | 406 |
7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz | 408 |
7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium | 408 |
7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten | 411 |
7.2.3 Leibniz in Hannover | 414 |
7.2.4 Der Prioritätsstreit | 420 |
7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen | 424 |
7.2.6 Die Leibnizsche Notation | 426 |
7.2.7 Das charakteristische Dreieck | 430 |
7.2.8 Die unendlich kleinen Größen | 433 |
7.2.9 Das Transmutationstheorem | 437 |
7.2.10 Das Kontinuitätsprinzip | 440 |
7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz | 442 |
7.3 Erste Kritik: George Berkeley | 443 |
7.4 Aufgaben zu Kapitel 7 | 446 |
8 Absolutismus, Aufklärung, Aufbruch zu neuen Ufern | 448 |
8.1 Historische Einführung | 450 |
8.2 Jakob und Johann Bernoulli | 458 |
8.2.1 Die Variationsrechnung | 463 |
8.3 Leonhard Euler | 467 |
8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler | 479 |
8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler | 481 |
8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen | 484 |
8.4 Brook Taylor | 486 |
8.4.1 Die Taylor-Reihe | 488 |
8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung | 489 |
8.5 Colin Maclaurin | 490 |
8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange | 490 |
8.6.1 Lagranges algebraische Analysis | 491 |
8.7 Fourier Reihen und mehrdimensionale Analysis | 494 |
8.7.1 Joseph Fourier | 494 |
8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung | 496 |
8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis | 497 |
8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen für die Analysis | 498 |
8.8 Aufgaben zu Kapitel 8 | 503 |
9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert | 504 |
9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich | 508 |
9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert | 516 |
9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen | 516 |
9.3.1 Bolzanos Beiträge zur Analysis | 519 |
9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy | 522 |
9.4.1 Grenzwert und Stetigkeit | 527 |
9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen | 528 |
9.4.3 Ableitung und Integral | 531 |
9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs | 533 |
9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraß | 540 |
9.6.1 Die reellen Zahlen | 543 |
9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz | 544 |
9.6.3 Gleichmäßigkeit | 546 |
9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter | 548 |
9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte | 555 |
9.8 Aufgaben zu Kapitel 9 | 561 |
10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und die Suche nach dem wahren Kontinuum | 562 |
10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den Weltkatastrophen | 565 |
10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die Mengenlehre | 570 |
10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen | 580 |
10.2.2 Cantor und Dedekind | 581 |
10.2.3 Die transfiniten Zahlen | 589 |
10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre | 592 |
10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine | 593 |
10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Paul Du Bois-Reymond | 594 |
10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Die Intuitionisten | 596 |
10.5 Vektoranalysis | 601 |
10.6 Differentialgeometrie | 604 |
10.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen | 606 |
10.8 Partielle Differentialgleichungen | 609 |
10.9 Die Analysis wird noch mächtiger: Funktionalanalysis | 611 |
10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis | 611 |
10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis | 615 |
10.10 Aufgaben zu Kapitel 10 | 624 |
11 Ein Kreis schließt sich: Infinitesimale in der Nichtstandardanalysis | 626 |
11.1 Vom Kalten Krieg bis heute | 630 |
11.1.1 Computer und Sputnikschock | 632 |
11.1.2 Der „Kalte Krieg“ und sein Ende | 634 |
11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus | 635 |
11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen | 637 |
11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im „schwarzen Buch“ | 639 |
11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und Schmieden | 642 |
11.3 Robinson und die Nichtstandardanalysis | 644 |
11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz von Nelson | 646 |
11.5 Nichtstandardanalysis und glatte Welten | 647 |
11.6 Aufgaben zu Kapitel 11 | 653 |
12 Analysis auf Schritt und Tritt | 654 |
Literatur | 665 |
Abbildungsverzeichnis | 681 |
Personenverzeichnis mit Lebensdaten | 700 |
Sachverzeichnis | 709 |