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E-Book

3000 Jahre Analysis

Geschichte, Kulturen, Menschen

AutorThomas Sonar
VerlagSpringer-Verlag
Erscheinungsjahr2011
Seitenanzahl727 Seiten
ISBN9783642172045
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis34,99 EUR
In dem Band werden Entstehung und Entwicklung der grundlegenden Begriffe der Analysis von der Antike bis heute ausführlich behandelt. Eingebettet sind diese Informationen in die Beschreibung historischer und kultureller Ereignisse, die Lebensläufe bedeutender Mathematiker und der von ihnen entwickelten Teilgebiete der Analysis. Zahlreiche gezeichnete Figuren veranschaulichen Begriffe, Lehrsätze und Methoden. Jedes Kapitel enthält eine Tabelle mit den Daten der wesentlichen Ergebnisse und Ereignisse aus 3000 Jahren Analysis.

Prof. Dr. Thomas Sonar, Technische Universität Braunschweig

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Blick ins Buch
Inhaltsverzeichnis
Vorwort des Autors8
Vorwort des Herausgebers11
Hinweise für den Leser14
Inhaltsverzeichnis15
1 Prolog: 3000 Jahre Analysis21
1.1 Was ist Analysis?23
1.2 Vorläufer von ?24
1.3 Das ? der Bibel27
1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes28
1.5 Babylonische Näherung an ?233
2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike35
2.1 Die Griechen formen die Mathematik38
2.1.1 Der Beginn: Thales von Milet und seine Schüler39
2.1.2 Die Pythagoreer41
2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids Elementen47
2.1.4 Die Methode der Exhaustion – Integration auf griechisch53
2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel57
2.1.6 Die drei großen klassischen Probleme58
2.2 Kontinuum versus Atome – Infinitesimale versus Indivisible67
2.2.1 Die Eleaten68
2.2.2 Atomismus und Kontinuum69
2.2.3 Indivisible und Infinitesimale71
2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien74
2.3 Archimedes79
2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten79
2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften87
2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der mechanischen Sätze91
2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion96
2.3.5 Über Spiralen100
2.3.6 Archimedes fängt ?104
2.4 Die Beiträge der Römer zur Analysis106
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2109
3 Wie Wissen wanderte – Vom Orient zum Okzident111
3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die Araber113
3.2 Die Beiträge der Araber zur Analysis118
3.2.1 Avicenna (Ibn S?n?): Universalgelehrter im Orient118
3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker119
3.2.3 Averroës (Ibn Rušd): Aristoteliker im Islam126
3.3 Aufgaben zu Kapitel 3128
4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik129
4.1 Der Wiederbeginn in Europa131
4.2 Die große Zeit der Übersetzer140
4.3 Das Kontinuum in der Scholastik147
4.3.1 Robert Grosseteste150
4.3.2 Roger Bacon151
4.3.3 Albertus Magnus153
4.3.4 Thomas Bradwardine156
4.3.5 Nicole Oresme162
4.4 Scholastische „Abweichler“168
4.5 Nicolaus von Kues170
4.5.1 Die mathematischen Werke172
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4176
5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance177
5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike179
5.2 Die Schwerpunktrechner182
5.3 Johannes Kepler190
5.3.1 Neue Stereometrie der Fässer210
5.4 Galileo Galilei215
5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen223
5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der Indivisiblen228
5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri232
5.5.2 Die Kritik durch Guldin240
5.5.3 Die Kritik durch Galilei241
5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon242
5.5.5 De Saint-Vincent und die Fläche unter der Hyperbel244
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5253
6 An der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert254
6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich256
6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert256
6.1.2 René Descartes259
6.1.3 Pierre de Fermat269
6.1.4 Blaise Pascal279
6.1.5 Gilles Personne de Roberval292
6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden298
6.2.1 Frans van Schooten jr.300
6.2.2 René François Walther de Sluse300
6.2.3 Johann van Waveren Hudde302
6.2.4 Christiaan Huygens305
6.3 Analysis vor Newton in England308
6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen308
6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert309
6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen313
6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen320
6.3.5 England im 17. Jahrhundert331
6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen334
6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie344
6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des Logarithmus durch Nicolaus Mercator351
6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile356
6.3.10 James Gregory365
6.4 Analysis in Indien366
6.5 Aufgaben zu Kapitel 6370
7 Newton und Leibniz – Giganten und Widersacher372
7.1 Isaac Newton374
7.1.1 Kindheit und Jugend374
7.1.2 Der Student in Cambridge377
7.1.3 Der Lucasische Professor385
7.1.4 Alchemie, Religion und die große Krise389
7.1.5 Newton als Präsident der Royal Society394
7.1.6 Das Binomialtheorem396
7.1.7 Die Fluxionsrechnung397
7.1.8 Der Hauptsatz400
7.1.9 Kettenregel und Substitutionen402
7.1.10 Das Rechnen mit Reihen402
7.1.11 Integration durch Substitution404
7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis406
7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton406
7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz408
7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium408
7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten411
7.2.3 Leibniz in Hannover414
7.2.4 Der Prioritätsstreit420
7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen424
7.2.6 Die Leibnizsche Notation426
7.2.7 Das charakteristische Dreieck430
7.2.8 Die unendlich kleinen Größen433
7.2.9 Das Transmutationstheorem437
7.2.10 Das Kontinuitätsprinzip440
7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz442
7.3 Erste Kritik: George Berkeley443
7.4 Aufgaben zu Kapitel 7446
8 Absolutismus, Aufklärung, Aufbruch zu neuen Ufern448
8.1 Historische Einführung450
8.2 Jakob und Johann Bernoulli458
8.2.1 Die Variationsrechnung463
8.3 Leonhard Euler467
8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler479
8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler481
8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen484
8.4 Brook Taylor486
8.4.1 Die Taylor-Reihe488
8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung489
8.5 Colin Maclaurin490
8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange490
8.6.1 Lagranges algebraische Analysis491
8.7 Fourier Reihen und mehrdimensionale Analysis494
8.7.1 Joseph Fourier494
8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung496
8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis497
8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen für die Analysis498
8.8 Aufgaben zu Kapitel 8503
9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert504
9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich508
9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert516
9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen516
9.3.1 Bolzanos Beiträge zur Analysis519
9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy522
9.4.1 Grenzwert und Stetigkeit527
9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen528
9.4.3 Ableitung und Integral531
9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs533
9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraß540
9.6.1 Die reellen Zahlen543
9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz544
9.6.3 Gleichmäßigkeit546
9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter548
9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte555
9.8 Aufgaben zu Kapitel 9561
10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und die Suche nach dem wahren Kontinuum562
10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den Weltkatastrophen565
10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die Mengenlehre570
10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen580
10.2.2 Cantor und Dedekind581
10.2.3 Die transfiniten Zahlen589
10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre592
10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine593
10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Paul Du Bois-Reymond594
10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Die Intuitionisten596
10.5 Vektoranalysis601
10.6 Differentialgeometrie604
10.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen606
10.8 Partielle Differentialgleichungen609
10.9 Die Analysis wird noch mächtiger: Funktionalanalysis611
10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis611
10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis615
10.10 Aufgaben zu Kapitel 10624
11 Ein Kreis schließt sich: Infinitesimale in der Nichtstandardanalysis626
11.1 Vom Kalten Krieg bis heute630
11.1.1 Computer und Sputnikschock632
11.1.2 Der „Kalte Krieg“ und sein Ende634
11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus635
11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen637
11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im „schwarzen Buch“639
11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und Schmieden642
11.3 Robinson und die Nichtstandardanalysis644
11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz von Nelson646
11.5 Nichtstandardanalysis und glatte Welten647
11.6 Aufgaben zu Kapitel 11653
12 Analysis auf Schritt und Tritt654
Literatur665
Abbildungsverzeichnis681
Personenverzeichnis mit Lebensdaten700
Sachverzeichnis709

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