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E-Book

Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker

Autor	Stephan Emanuel Bucher
Verlag	Carl Hanser Fachbuchverlag
Erscheinungsjahr	2015
Seitenanzahl	265 Seiten
ISBN	9783446441798
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	24,99 EUR

Dieses Lehrbuch entstand im Laufe mehrerer Jahre bei der praktischen Lehrtätigkeit des Autors an einer Höheren Fachschule für Technik in der Schweiz. Es richtet sich an Studierende der Technikerschulen und auch an Praktiker und Interessierte, die die Mathematik verstehen und sofort anwenden wollen. Direkt aus den jedermann bekannten mathematischen Grundlagen entwickelt der Autor die Konzepte und Rechenverfahren zu Trigonometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statis¬tik, Differenzial- und Integralrechnung. Dabei werden die Möglichkeiten des einfach zu bedienenden und leistungsstarken Taschenrechners TI-30X Pro nachvollziehbar aufgezeigt und ausgeschöpft.
Lösungen für die zahlreichen Übungsaufgaben sowie unterstützende und ergänzende Inhalte und Anwendungsbeispiele sind durch den Autor über das Internet verfügbar und werden bei Bedarf erweitert:
http://www.bioconsult.ch/Inovatech
Aufgrund der zahlreichen Beispiele und anschaulichen Darstellung eignet sich das Buch auch zum Selbststudium und zur selbständigen Einarbeitung in den Lehrstoff.

Dr. Stephan Bucher unterrichtet Mathematik und Technische Mechanik an der Höheren Fachschule für Technik, Wirtschaft und Informatik INOVATECH, Zofingen.

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	6
Inhalt	8
1 Grundlagen	16
1.1Die Zahlen	16
1.2Arithmetische Grundoperationen	17
1.3Rechenregeln	17
1.3.1Reihenfolge der Operanden	17
1.3.2Vorzeichen	17
1.3.3Reihenfolge der Operationen	18
1.3.4Addition und Subtraktion von Klammerausdrücken	19
1.3.5 Multiplikation von Klammerausdrücken	19
1.4Bruchrechnen	19
1.4.1Begriffe	19
1.4.2Addition von Brüchen	das kleinste gemeinsame Vielfache	20
1.4.3Kürzen	21
1.4.4Multiplikation von Brüchen	22
1.4.5Division von Brüchen	22
1.4.6Umwandlung von Dezimalbrüchen in Brüche	23
1.5Potenzen und Wurzeln	23
1.5.1Potenzen	23
1.5.2Quadratische binomische Ausdrücke	24
1.5.3Höhere Potenzen binomischer Ausdrücke	25
1.5.4Wurzeln	26
1.6Logarithmen	27
1.6.1Begriff	27
1.6.2Rechenregeln	28
1.6.3Wechsel der Basis	28
1.6.4Die Bedeutung der Logarithmen	29
1.7Zahlensysteme	30
1.8Übungsaufgaben	31
1.8.1Zu Abschnitt 1.3	31
1.8.2Zu Abschnitt 1.4	32
1.8.3Zu Abschnitt 1.5	33
1.8.4Zu Abschnitt 1.6	34
2 Gleichungen	35
2.1Begriffe	35
2.2Das Umformen von Gleichungen	36
2.2.1Begriff	36
2.2.2Äquivalenzumformungen	36
2.2.3Nichtäquivalente Umformungen	36
2.3Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten	37
2.3.1Lösungsverfahren	37
2.3.2Angewandte Aufgaben	37
2.4Systeme linearer Gleichungen mit mehreren Unbekannten	38
2.4.1Grundlagen	38
2.4.2Lösung durch Substitution	39
2.4.3Lösung mit Matrizenrechnung	39
2.4.4Lösung eines Gleichungssystems mit der Determinantenmethode	41
2.5Quadratische Gleichungen	43
2.5.1Allgemeine Lösungsformel	43
2.5.2Der Satz von Vieta	44
2.6Algebraische Gleichungen höheren Grades	45
2.6.1Lösungen	45
2.6.2Lösung mit dem TI-30X Pro	45
2.7Nichtlineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten	46
2.7.1Lösungsverfahren	46
2.7.2Anwendungsbeispiel: Koordinatenbestimmung	46
2.8Wurzelgleichungen	48
2.9Exponentialgleichungen	50
2.9.1Lösungsmethodik	50
2.9.2Zins- und Investitionsrechnung	52
2.10„Unlösbare“ Gleichungen: Der numerische Gleichungslöser des TI-30X Pro	54
2.11Ungleichungen	55
2.11.1Definition	55
2.11.2Das Lösen von Ungleichungen	56
2.11.3Lineare Ungleichungen	56
2.11.4Nichtlineare Ungleichungen	57
2.12Übungsaufgaben	60
2.12.1Zu Abschnitt 2.2	60
2.12.2Zu Abschnitt 2.3	60
2.12.3Zu Abschnitt 2.4	64
2.12.4Zu Abschnitt 2.5	67
2.12.5Zu Abschnitt 2.6	68
2.12.6Zu Abschnitt 2.7	69
2.12.7Zu Abschnitt 2.8	70
2.12.8Zu Abschnitt 2.9	70
2.12.9Zu Abschnitt 2.10	71
3 Trigonometrie	72
3.1Winkel	72
3.2Die Winkelfunktionen	73
3.2.1Definition am rechtwinkligen Dreieck	73
3.2.2Umrechnungen, Darstellung am Einheitskreis	74
3.3Berechnungen am Dreieck	76
3.3.1Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck	76
3.3.2Dreiecksfläche	77
3.3.3Der Sinussatz	77
3.3.4Der Kosinussatz	78
3.4Weitere Formeln	79
3.4.1Additionstheoreme	79
3.4.2Winkelfunktionen für doppelte und halbe Winkel	80
3.4.3Halbwinkelformeln	81
3.5Das Lösen goniometrischer Gleichungen	82
3.6Anwendungen	86
3.6.1Klassische Vermessungsaufgaben	86
3.6.2Vermessung beim Tunnelbau	89
3.6.3Schallmessortung	89
3.7Übungsaufgaben	92
3.7.1Zu Abschnitt 3.2	92
3.7.2Zu Abschnitt 3.3	93
3.7.3Zu Abschnitt 3.4.1	94
3.7.4Zu Abschnitt 3.5	94
4 Funktionen	95
4.1Der Funktionsbegriff	95
4.2Lineare Funktionen	96
4.2.1Ganzrationale Funktionen: Begriff und allgemeine Eigenschaften	96
4.2.2Eigenschaften linearer Funktionen	96
4.2.3Anwendungsbeispiel: Schnittpunkt	99
4.2.4Graphische Darstellung linearer Gleichungssysteme	100
4.2.5Lineare Ungleichungen in 2 Variablen	101
4.2.6Systeme linearer Ungleichungen in 2 Variablen	102
4.2.7Lineare Optimierung	103
4.3Quadratische Funktionen	106
4.4Ganzrationale Funktionen höheren Grades	108
4.5Anwendung ganzrationaler Funktionen	111
4.6Gebrochenrationale Funktionen	115
4.6.1Begriff und allgemeine Eigenschaften	115
4.6.2Asymptoten	116
4.7Potenz- und Wurzelfunktionen	118
4.7.1Potenzfunktionen	118
4.7.2Wurzelfunktionen	118
4.7.3Beispiele	119
4.8Exponentialfunktionen	123
4.8.1Allgemeine Eigenschaften	123
4.8.2Beispiele	124
Radioaktiver Zerfall	125
4.9Logarithmusfunktionen	128
4.10Trigonometrische Funktionen	128
4.10.1Periodizität	128
4.10.2Funktionen mit Parametern	129
4.10.3Schwingungen in der Technik	130
4.11Umkehrfunktionen	131
4.11.1Begriff	131
4.11.2Bestimmung der Umkehrfunktion	131
4.11.3Einige Funktionen und ihre Umkehrungen	132
4.11.4Temperaturskala	132
4.12Übungsaufgaben	133
4.12.1Zu Abschnitt 4.2	133
4.12.2Zu Abschnitt 4.3	136
4.12.3Zu Abschnitt 4.11.4	137
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik	138
5.1Einführung	138
5.2Zufall und Wahrscheinlichkeit	139
5.3Einfache Kombinatorik	142
5.4Binomialverteilung	144
5.4.1Grundlagen	144
5.4.2Anwendungsbeispiel: Qualitätskontrolle	146
5.4.3Verallgemeinerung: Multinomiale Verteilung	148
5.5Beschreibung einer statistischen Gesamtheit	148
5.5.1Streuung	148
5.5.2Wahrscheinlichkeitsverteilungen	148
5.5.3Mittelwert und Standardabweichung	151
5.5.4Beschreibung einer Gesamtheit von Daten mit Kenngrößen	152
5.6Die Normalverteilung	153
5.7Messdatenauswertung	157
5.7.1Resultatangabe und Vertrauensintervall	157
5.7.2Ausgleichsrechnung	158
5.8Statistische Entscheidungsfindung	162
5.8.1Statistisches Testen	162
5.8.2Prozessbeherrschung	164
5.9Elektronische Hilfsmittel	165
5.10Übungsaufgaben	166
5.10.1Zu Abschnitt 5.4	166
5.10.2Zu Abschnitt 5.5	167
5.10.3Zu Abschnitt 5.6	168
5.10.4Zu Abschnitt 5.7	168
5.10.5Zu Abschnitt 5.8	171
6 Komplexe Zahlen	173
6.1Definition und Grundbegriffe	173
6.1.1Definition	173
6.1.2Die Gauß’sche Zahlenebene	174
6.1.3Komplexe Konjugation	174
6.1.4Betrag	174
6.1.5Argument	174
6.2Darstellungsformen	175
6.2.1Algebraische Form	175
6.2.2Trigonometrische Form	175
6.2.3Umrechnungen	175
6.3Die vier Grundrechenarten	176
6.3.1Addition und Subtraktion	176
6.3.2Multiplikation und Division	176
6.3.3Multiplikation und Division in trigonometrischer Darstellung	177
6.3.4Möglichkeiten des TI-30X Pro	177
6.4Höhere Rechenarten	178
6.4.1Potenzen	178
6.4.2Wurzeln	178
6.4.3Exponentialfunktion	178
6.5Der Fundamentalsatz der Algebra	179
6.6Die Lösungsformel der kubischen Gleichung	180
6.7Anwendung: Wechselstromrechnung (Kurzer Abriss)	181
6.7.1Einführung	181
6.7.2Überlagerung von zwei Wechselspannungen	182
6.7.3Komplexe Widerstände (Impedanzen)	183
7 Folgen und Reihen	185
7.1Begriffe und Definitionen	185
7.1.1Folgen	185
7.1.2Reihen	186
7.2Arithmetische Folgen und Reihen	187
7.2.1Arithmetische Folgen	187
7.2.2Arithmetische Reihen	187
7.3Geometrische Folgen und Reihen	188
7.3.1Geometrische Folgen	188
7.3.2Geometrische Reihen	188
7.3.3Unendliche geometrische Reihen	188
7.4Anwendung: Potenzreihen bekannter Funktionen	189
7.5Übungsaufgaben	190
7.5.1Zu Abschnitt 7.1	190
7.5.2Zu Abschnitt 7.2	190
7.5.3Zu Abschnitt 7.3	191
8 Differenzialrechnung	192
8.1Grundlagen	192
8.1.1Grenzwerte von Zahlenfolgen	192
8.1.2Grenzwerte von Funktionen	193
8.1.3Stetigkeit	195
8.2Die Ableitung	195
8.2.1Der Differenzialquotient	195
8.2.2Wichtige Ableitungsregeln	196
8.2.3Die Ableitung ganzrationaler Funktionen	198
8.2.4Die Ableitungsfunktion	198
8.3Die Bedeutung der 1. bis 3. Ableitung	199
8.3.1Maxima	199
8.3.2Minima	200
8.3.3Krümmung	200
8.3.4Wendepunkte	201
8.3.5Beispiel	201
8.4Weitere Ableitungsregeln	202
8.4.1Produktregel	202
8.4.2Quotientenregel	202
8.4.3Kettenregel	203
8.4.4Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen	204
8.4.5Die Ableitung von Logarithmusfunktionen	205
8.4.6Die Ableitung der Umkehrfunktion	206
8.4.7Die Ableitung von Exponentialfunktionen	207
8.5Funktionen mit mehreren Variablen	207
8.6Anwendungen	207
8.6.1Kurvendiskussion	207
8.6.2Extremwertprobleme	208
8.6.3Einige Extremalprinzipien aus der Physik	209
8.6.4Ausgleichsrechnung: Beispiel Lineare Regression	211
8.6.5Maschinenbau: Wechselkräfte in einer Kolbenmaschine	212
8.6.6Das Newton-Verfahren zur numerischen Auflösung von Gleichungen	215
8.6.7Vereinfachung des Newton-Verfahrens: Regula falsi	219
8.6.8Bestimmung aller Lösungen einer algebraischen Gleichung	220
8.6.9Parameterbestimmung in der Physik: Gas-Zustandsgleichung	221
8.6.10Fehlerfortpflanzung	223
8.6.11Unsicherheitsabschätzung	224
8.7Übungsaufgaben	225
8.7.1Zu Abschnitt 8.1	225
8.7.2Zu Abschnitt 8.2	226
8.7.3Zu Abschnitt 8.3	226
8.7.4Zu Abschnitt 8.4	226
8.7.5Zu Abschnitt 8.6.2	228
9 Integralrechnung	232
9.1Das bestimmte Integral	232
9.1.1Begriffe und Grundlagen	232
9.1.2Berechnung bestimmter Integrale	233
9.2Die Stammfunktion und ihre Ableitung	234
9.3Das unbestimmte Integral	235
9.4Integrationsregeln	236
9.4.1Integrationsregeln aus Ableitungsregeln	236
9.4.2Logarithmische Ableitung	237
9.4.3Partielle Integration	237
9.4.4Integration durch Substitution	238
9.5Numerische Integration	238
9.5.1Integration durch Approximation	238
9.5.2Trapez-Integration	239
9.5.3Romberg-Integration	239
9.6Anwendungen	240
9.6.1Mittelwert einer Funktion in einem Intervall	240
9.6.2Flächenschwerpunkt	241
9.6.3Bogenlänge	242
9.6.4Linienschwerpunkt	243
9.6.5Flächen- und Trägheitsmomente	244
9.6.6Arbeit/Energie bei ortsabhängiger Kraft	245
9.6.7Das RC-Glied	247
9.6.8Leistung des Wechselstroms	248
9.6.9Frequenzanalyse (Fourier-Analyse, harmonische Analyse)	250
9.6.10Seilreibung	254
9.6.11Abkühlung	255
9.6.12Barometrische Höhenformel	257
9.6.13Berechnung des Integrals einer punktweise gegebenen Funktion	258
9.6.14Bewegungsprobleme in der Physik	258
Literaturverzeichnis	260
Sachwortverzeichnis	262

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