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Elementare Algebra und Zahlentheorie

Autor	Rainer Schulze-Pillot-Ziemen
Verlag	Springer-Verlag
Erscheinungsjahr	2007
Seitenanzahl	257 Seiten
ISBN	9783540453802
Format	PDF
Kopierschutz	DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	9,99 EUR

Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verknüpft und für die Verwendung in Bachelorstudiengängen und modularisierten Lehramtsstudiengängen konzipiert ist. Es führt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der für Nichtspezialisten das nötige Handwerkszeug für die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Beschäftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und für diese eine gute Ausgangsbasis bildet. Für die zweite Auflage wurden Korrekturen vorgenommen, ferner wurden ein ergänzendes Kapitel über Galoistheorie und ein ergänzender Abschnitt über Anwendungen der Theorie endlicher Körper auf zyklische fehlerkorrigierende Codes neu aufgenommen.

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	5
Inhaltsverzeichnis	8
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen	11
0.1 Äquivalenzklassen, Gruppen, Ringe	11
0.2 Polynomring	15
0.3 Ergänzung: Formale Potenzreihen	23
Übungen	24
1 Natürliche und ganze Zahlen	25
1.1 Axiomatik bzw. Konstruktion	25
1.2 Zahldarstellungen	29
Übungen	32
2 Teilbarkeit und Primzahlen	33
2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen	33
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik	39
2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge	42
2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemannsche Zetafunktion	43
2.5 Sieb des Eratosthenes	44
Übungen	46
3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und diophantische Gleichungen	48
3.1 Größter gemeinsamer Teiler	48
3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung	52
3.3 Euklidischer Algorithmus und euklidische Ringe	54
3.4 Lineare diophantische Gleichungen	58
3.5 Ergänzung: Multiplikative Funktionen	60
Übungen	62
4 Kongruenzen und Ideale	64
4.1 Kongruenzen	64
4.2 Restklassenring und Homomorphiesatz	70
4.3 Simultane Kongruenzen und chinesischer Restsatz	75
4.4 Lineare Kongruenzen und prime Restklassengruppe	81
4.5 Ergänzung: Polynomiale Kongruenzen	86
4.6 Ergänzung: Gauß’sche Primzahlen	90
Übungen	93
5 Gruppen	95
5.1 Grundbegriffe	95
5.2 Nebenklassen, Faktorgruppe und Homomorphiesatz	107
5.3 Isomorphiesätze und direktes Produkt	116
5.4 Ergänzung: Semidirektes Produkt	121
Übungen	122
6 Operationen von Gruppen auf Mengen	124
6.1 Grundbegriffe	124
6.2 Bahnformel und Klassengleichung	128
6.3 Ergänzung: Sätze von Sylow	131
Übungen	134
7 Abelsche Gruppen und Charaktere	136
7.1 Abelsche Gruppen und der Hauptsatz	136
7.2 Charaktergruppe	143
7.3 Diskrete Fouriertransformation	147
7.4 Ergänzung: Moduln über Hauptidealringen	153
Übungen	162
8 Prime Restklassengruppe und quadratische Reste	164
8.1 Struktur der primen Restklassengruppe	164
8.2 Primitivwurzeln und Potenzreste	171
8.3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz	177
8.4 Ergänzung: Primzahltests	189
Übungen	195
9 Körper und Körpererweiterungen	198
9.1 Konstruktion von Körpern	198
9.2 Körpererweiterungen	203
9.3 Nullstellen von Polynomen in Erweiterungskörpern	209
9.4 Zerf ällungskörper und algebraischer Abschluss	214
9.5 Ergänzung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal	221
Übungen	224
10 Endliche Körper	226
10.1 Konstruktion und Klassifikation	226
10.2 Erweiterungen endlicher Körper und Automorphismen	232
10.3 Endliche K örper und quadratisches Reziprozitätsgesetz	234
Übungen	237
11 Endliche Körper und Faktorisierung von Polynomen	239
11.1 Gauß’sches Lemma und Irreduzibilitätskriterien	239
11.2 Ergänzung: Algorithmische Faktorzerlegung über endlichen Körpern	243
Übungen	251
Sachverzeichnis	252

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