Textprobe: Kapitel 4, Locking: Locking ist ein Phänomen, das als Verschlechterung eines Konvergenzverhaltens aufgrund eines Parameters, der einem Grenzwert angenähert wird, beschrieben werden kann. Es gibt unterschiedliche Arten von Locking, wir betrachten für Scheibenprobleme Versteifungseffekte, die durch geometrische oder materielle Parameter verursacht werden können. Art Bezeichnung Ursache Im wesentlichen sind zweidimensionale Flächentragwerke nur durch zwei Locking-Phänomene, das Schub-Locking und das volumetrische Locking, geprägt. Diese Phänomene werden unter anderem in der Arbeit von Koschnick gut aufbereitet und beschrieben. Schubversteifungseffekte treten auf, wenn ein Element bestimmte Seitenverhältnisse (Geometrien) aufweist. So führen verzerrte Geometrien zu Versteifungen des Systems und damit zu einer schlechten Approximation für ein exaktes Ergebnis. Beachtet man die Devise stets eine gute Vernetzung, d.h. möglichst quadratförmige Elemente, zu generieren, kann man Schub-Locking-Effekte weitestgehend vermeiden. Das volumetrische Locking wird durch einen materiellen Parameter verursacht: die Poissonzahl. Sie spielt eine wichtige Rolle beim dilatorischen (volumetrischen) Anteil der Verzerrungen und somit auch bei den Normalspannungen. Der Kompressionsmodul strebt gegen unendlich, wenn die Querkontraktion v den Grenzwert 0:5 erreicht. Wichtig wird dieser Fall in allgemeiner 3D-Formulierung und in der Anwendung des ebenen Verzerrungszustandes bei zweidimensionaler Formulierung (vergleiche Stoffgesetzgleichungen 2.11 und 2.21). Im ebenen Spannungszustand (Gleichung 2.24) wird erst bei einer theoretischen Querkontraktion v = 1:0 (siehe 3.3) ein kritischer Grenzwert erreicht. Aus diesem Grund besitzt der ebene Spannungszustand für den Fall des volumetrischen Lockings keine Relevanz. Sobald Locking auftritt stehen verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung brauchbare Ergebnisse zu erzielen. Die einfachste Möglichkeit ist eine Verfeinerung des Netzes durch Erhöhung der Elementanzahl. Dies kann jedoch zu einem Rechenaufwand führen, der je nach Problemstellung die zur Verfügung stehenden Kapazitäten übersteigen kann. Eine andere Möglichkeit bietet sich in der Idee der gemischten Elementformulierungen, also Zwei- bzw. Drei-Feld-Methoden. Bei gemischten Elementmethoden sind mehrere Unbekannte gleichzeitig gesucht, was zunächst einen höheren Aufwand bedeutet. Dafür werden neben der Kräftegleichgewichtsbedingung, wie es bei der Verschiebungsmethode der Fall ist, weitere Forderungen gestellt und in der schwachen Form formuliert. Bei der Implementierung des Elementgleichungssystems findet eine statische Kondensation auf Elementebene statt, die es ermöglicht, obwohl mehrere Unbekannte gleichzeitig gesucht werden, die Größe des Gesamtgleichungssystems nicht erhöhen zu müssen und somit den Rechenaufwand in Grenzen zu halten. Der Vorteil beim Verwenden von gemischten Elementformulierungen liegt darin, dass es mit diesem Vorgehen möglich ist Locking-freie Elemente zu konstruieren, die selbst bei grobem Netz eine gute Näherung für das exakte Ergebnis bieten. So schafft man es den Rechenaufwand im Vergleich zum Einsatz eines feinen Netzes in erheblichem Umfang zu senken. In den nachstehenden Kapiteln 5 und 6 werden zwei sehr bekannte Spezialfälle der gemischten Methoden besprochen und bewertet. Ausführliche Tests und Veranschaulichungen zu den Versteifungsphänomenen können den numerischen Untersuchungen in Kapitel 8 entnommen werden.