Textprobe: Einleitung Die Gruppentheorie hat sich über Jahrzehnte zu einem zentralen Gebiet der Algebra entwickelt. Neben spezifisch gruppentheoretischen Methoden werden auch Methoden aus anderen Bereichen der Algebra zur Klärung der Struktur von Gruppen eingesetzt. An vorderer Stelle sind hier etwa die Darstellungstheorie und die damit eng verknüpfte Charaktertheorie zu nennen. Das genaue Studium der Gruppenalgebra ist die Quelle der Einsichten über Moduln und Charaktere, die jene Theorien so überaus erfolgreich machen. Es ist daher seit langem zu einem inhaltsreichen Forschungsgebiet von eigenständigem Interesse innerhalb der Algebrentheorie geworden (S. Jennings [14], 1941 und D.S. Passman [19], 1977). Ob eine Gruppenalgebra über einem Körper K halbeinfach ist oder der modulare Fall vorliegt, lässt sich bekanntlich nach dem Satz von Maschke an der Charakteristik von K erkennen. Die vorliegende Arbeit widmet sich dem Studium der Einheitengruppen von Gruppenalgebren über p -Gruppen und Körpern der Charakteristik p. Die Struktur der Einheitengruppe der Gruppenalgebra wurde für abelsche p -Gruppen und endliche Körper der Charakteristik p von R. Sandling in [22], von A. Albrecht in [1] sowie von A.A. Bovdi und A. Szakacs in [6] behandelt. Ein Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung des Zentrums der Einheitengruppe E(KG) = (1G+rad(KG)) _ (Knf0Kg) _1G der Gruppenalgebra KG für eine nicht-abelsche p -Gruppe G und einen Körper K der Charakteristik p. In Verallgemeinerung eines Resultats von K.R. Pearson [20] zeigen wir im ersten Kapitel für eine beliebige Untergruppe U von G zunächst, da_ Z(G) \ U das Herz von U in 1G + rad(KG) ist (1.2.3). Der Normalisator von U in 1G +rad(KG) ist durch NG(U) _ C1G+rad(KG)(U) gegeben, wie im Anschlu_ bewiesen wird (1.3.6). Der Spezialfall U = G findet sich bereits in einer Arbeit von D.B. Coleman ([8]). Unser Zugang zum Zentrum von E(KG) verwendet das { in dieser Arbeit entwickelte { Konzept der sogenannten ,,endvertauschbaren Anordnung' von Algebren-Elementen, das im zweiten Kapitel vorgestellt wird. Wir zeigen in 2.3.6, da_ eine endliche Gruppe G genau dann nilpotent ist, wenn jede Konjugiertenklasse von G endvertauschbar angeordnet werden kann. Darüber hinaus erhalten wir in 2.1.5 auf einfache Weise für endvertauschbar angeordnete K-Algebren-Elemente a1; : : : ; an die wichtige Identität ( Pn i=1 ai) pr = Pn i=1 a pr i (p = char(K); r 2 N). Für den { auch für unsere Zwecke { besonders interessierenden Fall, da_ fa1; : : : ; ang eine Konjugiertenklasse einer endlichen p-Gruppe G ist, haben A.A. Bovdi und Z. Patay in [3] diese bereits auf andere Weise hergeleitet. Als Anwendung erhalten wir einen Satz derselben Autoren, der zeigt, da_ und wie sich der Exponent von Z(1G + rad(KG)) allein durch Berechnungen innerhalb der Gruppe G bestimmen lässt (2.4.8). Schließlich beweisen wir als Vorbereitung auf Kapitel 3 einige Abschätzungen für diesen Exponenten. Die Zahl jGj p2 ist der maximal mögliche Wert, den der Exponent von Z(1G + rad(KG)) für eine nicht-abelsche p -Gruppe G annehmen kann (2.5.3). In Abschnitt 1 von Kapitel 3 gelingt es uns, die Gruppen zu beschreiben, bei denen dieser Maximalwert angenommen wird: Entweder ist das Zentrum von G zur zyklischen Gruppe der Ordnung jGj p2 isomorph oder es gibt eine zyklische maximale Untergruppe in G (3.1.6). Die Gruppen, für die das Zentrum von 1G+rad(KG) elementar-abelsch ist, konnen wir andererseits in Abschnitt 2 von Kapitel 3 wie folgt kennzeichnen: Das Zentrum von G ist elementar-abelsch, und für alle g 2 G n Z(G) gilt CG(g) < CG(gp) (3.2.1). Zum Beispiel erfüllen die p -Sylow-Untergruppen von GL(n;GF(pk)) diese Bedingungen (3.2.2.6). In diversen interessanten Fällen ist der Exponent von Z(1G + rad(KG)) einfach gleich dem von Z(G): Wir beweisen dies für p -Gruppen G, für die exp(G=Z(G)) _ exp(Z(G)) gilt (3.2.3) sowie { mit ganz anderer Begründung { für reguläre p -Gruppen (3.2.5). In den weiteren Abschnitten dieses Kapitels studieren wir das Verhalten des Exponenten unter Gruppenkonstruktionen. Bei direkten Produkten zweier p -Gruppen G;H mit vereinigten zentralen Untergruppen ergibt sich derselbe Exponent wie spezieller beim direkten Produkt, nämlich maxfexp(Z(1G + rad(KG))); exp(Z(1G + rad(KH)))g (3.3.7). Weiter gelingt es uns, die Berechnung des Exponenten auf die zur Konstruktion des Kranzproduktes Go_H verwendeten Ingredienzien G;H und _ zu reduzieren (3.4.11). Insbesondere erhalten wir, da_ er sich bei beliebiger Operation _ nach unten durch exp(Z(1G+rad(KG))) und nach oben durch exp(Z(1G_H + rad(G _ H))) abschätzen lässt (3.4.18). Die untere Schranke wird zum Beispiel bei treuer (3.4.16) und die obere Schranke zum Beispiel bei trivialer Operation angenommen (3.4.17). Bei Dieder- und Quaternionengruppen gleicher Ordnung ist der Exponent des Zentrums von 1G + rad(KG) derselbe. In der generellen Situation von Erweiterungen abelscher p -Gruppen bei gleicher Operation erhalten wir, allerdings nur unter einer geeigneten Zusatz-Voraussetzung, das entsprechende Resultat (3.5.6). Das Konzept der endvertauschbaren Anordnung erlaubt neben der Berechnung des Exponenten von Z(1G + rad(KG)) auch die Beschreibung der p -Potenz-Struktur von Z(1G+rad(KG)) und damit { in dem Fall eines endlichen Körpers { die Ermittlung der Invarianten dieser abelschen p -Gruppe. Dieses Problem reduziert sich auf das entsprechende für den direkten Faktor 1G + rad(KZ(G)) und den Kofaktor 1G + hf P x2gG x j g 2 G n Z(G)giK des Zentrums von 1G + rad(KG) (4.1.5). Die Invarianten des ersten Faktors sind { wie eingangs erwähnt { vollständig bekannt, und die des zweiten Faktors beschreiben wir auf zweierlei Weisen allein durch Berechnungen in der Gruppe G und in dem Körper K (4.3.1.3, 4.3.2.6). Eine weitere Beschreibung _ndet sich in der Arbeit von A.A. Bovdi und Z. Patay in [4]. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels berechnen wir die Invarianten in einigen Beispielen. Dabei zeigt sich u.a., da_ die Zentren von 1G +rad(KG) für die Quaternionen-, Dieder- und Semidiedergruppen gleicher Ordnung und einem endlichen Körper der Charakteristik 2 isomorph sind (4.5.2.2). Im letzten Kapitel dieser Arbeit beweisen wir zunächst, da_ die Ableitung von 1G + rad(KG) nur für abelsches G zyklisch ist (5.1.4). Unerwartet aufwendiger ist der anschließend bewiesene Satz, da_ (1G + rad(KG)) p genau dann zyklisch ist, wenn entweder G elementar-abelsch ist oder G abelsch ist und p =j G2 j=j K2 j= 2 gilt (5.2.11). Leicht lässt sich einsehen, da_ die Gruppe 1G + rad(KG) nur für eine extra-spezielle 2 -Gruppe G speziell sein kann (5.3.9). Für eine solche stimmt das elementar-abelsche Zentrum von 1G + rad(KG) stets mit der Frattini-Untergruppe von 1G + rad(KG) überein (5.3.2, 5.3.3). Die vollständige Klärung der Frage, für welche extra-speziellen 2 -Gruppen G und Körper K der Charakteristik 2 die Gruppe 1G+rad(KG) eine spezielle 2 -Gruppe ist, erfolgt im Rahmen dieser Arbeit nicht. In dem kleinsten relevanten Fall besitzt die Ableitung von 1G + rad(KG) genau den Index 2 in Z(1G + rad(KG)) (5.3.10).