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E-Book

Graphentheorie

Eine anwendungsorientierte Einführung

Autor	Peter Tittmann
Verlag	Carl Hanser Fachbuchverlag
Erscheinungsjahr	2011
Seitenanzahl	166 Seiten
ISBN	9783446428539
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	11,99 EUR

Prof. Tittmann hält Vorlesungen zur Mathematik für Ingenieur- und Informatikstudenten an der Hochschule Mittweida.Dieses Buch liefert eine Einführung in die Graphentheorie - ein Lehrgebiet, das heute nicht nur in der Mathematikausbildung eine große Rolle spielt. Die vielfältigen Anwendungen der Graphentheorie erlangten auch für Informatiker, Wirtschaftler, Chemiker und Ingenieure eine große Bedeutung.

Die ersten acht Kapitel dieses Buches behandeln die Grundlagen der Theorie ungerichteter Graphen. Nach einer Einführung in den Sprachgebrauch der Graphentheorie im ersten Kapitel sind planare Graphen, Unabhängigkeit, Färbungsprobleme, der Zusammenhang von Graphen sowie Bäume und Kreise weitere Schwerpunkte. Das letzte Kapitel befasst sich mit dem Thema gerichtete Graphen.

Die hier vorliegende Einführung in die Graphentheorie entstand aus einer Vorlesungsreihe zur Graphentheorie für Studierende der Computertechnologie und der Angewandten Mathematik an der Hochschule Mittweida.leicht verständliche Einführung in das Thema
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben
Hervorragend zum Selbststudium geeignetMathematikDieses Buch liefert eine Einführung in die Graphentheorie - ein Lehrgebiet, das heute nicht nur in der Mathematikausbildung eine große Rolle spielt. Die vielfältigen Anwendungen der Graphentheorie erlangten auch für Informatiker, Wirtschaftler, Chemiker und Ingenieure eine große Bedeutung.

Die ersten acht Kapitel dieses Buches behandeln die Grundlagen der Theorie ungerichteter Graphen. Nach einer Einführung in den Sprachgebrauch der Graphentheorie im ersten Kapitel sind planare Graphen, Unabhängigkeit, Färbungsprobleme, der Zusammenhang von Graphen sowie Bäume und Kreise weitere Schwerpunkte. Das letzte Kapitel befasst sich mit dem Thema gerichtete Graphen.

Die hier vorliegende Einführung in die Graphentheorie entstand aus einer Vorlesungsreihe zur Graphentheorie für Studierende der Computertechnologie und der Angewandten Mathematik an der Hochschule Mittweida.- Graphen
- Graphen und Matrizen
- Planare Graphen
- Unabhängige Knoten- und Kantenmengen
- Färbungen von Graphen
- Der Zusammenhang von Graphen
- Bäume
- Kreise
- Gerichtete Graphen

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	6
Inhaltsverzeichnis	8
1 Graphen	12
1.1 Definitionen	13
1.1.1 Knotengrade	14
1.1.2 Wege und Kreise	16
1.1.3 Zusammenhang	16
1.2 Operationen mit Graphen	17
1.2.1 Entfernen von Knoten und Kanten	17
1.2.2 Fusion und Kontraktion	18
1.2.3 Brücken und Artikulationen	19
1.2.4 Operationen mit Graphen	19
1.3 Spezielle Graphen	21
1.3.1 Der vollständige Graph	21
1.3.2 Weg und Kreis	22
1.3.3 Bäume	22
1.3.4 Bipartite Graphen	24
1.3.5 Reguläre Graphen	25
1.4 Isomorphe Graphen	26
1.4.1 Isomorphie	26
1.4.2 Gradfolgen	27
2 Graphen und Matrizen	30
2.1 Die Adjazenzmatrix eines Graphen	30
2.1.1 Potenzen der Adjazenzmatrix	31
2.1.2 Zerlegbare Matrizen	32
2.2 Die Inzidenzmatrix	33
2.2.1 Die Gradmatrix	34
2.3 Abstände in Graphen	34
2.3.1 Radius, Durchmesser und Zentrum	35
2.3.2 Die Abstandsmatrix	37
2.4 Gerüste	38
2.4.1 Die Anzahl der Gerüste	38
2.4.2 Die Admittanzmatrix und der Satz von Kirchhoff	40
3 Planare Graphen	44
3.1 Planare Einbettungen	44
3.1.1 Ebene Kurven und Einbettungen	44
3.1.2 Flächen eines planaren Graphen	46
3.1.3 Einbettungen auf der Kugel	46
3.1.4 Kreuzungszahl und Dicke	47
3.2 Die Eulersche Polyederformel	48
3.2.1 Polyeder	48
3.2.2 Die Polyederformel für zusammenhängende Graphen	49
3.2.3 Die Polyederformel für nicht zusammenhängende Graphen	51
3.3 Anwendungen der Polyederformel	51
3.3.1 Nichtplanare Graphen	51
3.3.2 Der Satz von Kuratowski	52
3.3.3 Maximale Kantenzahl planarer Graphen	54
3.3.4 Knotengrade in planaren Graphen	54
3.3.5 Platonische Körper	55
3.4 Der duale Graph	56
4 Unabhängige Knoten- und Kantenmengen	60
4.1 Unabhängige Knotenmengen	61
4.1.1 Die Unabhängigkeitszahl	61
4.1.2 Cliquen	64
4.1.3 Die Überdeckungszahl	65
4.2 Matchings	66
4.2.1 Alternierende Wege – der Satz von Berge	67
4.2.2 Der Satz von König	69
4.3 Der Kantengraph	70
4.4 Faktoren	72
5 Färbungen von Graphen	75
5.1 Grundlagen	75
5.1.1 Zulässige Färbungen	75
5.1.2 Die chromatische Zahl	76
5.1.3 Schranken für die chromatische Zahl	77
5.2 Färbungen von planaren Graphen	79
5.3 Das chromatische Polynom	81
5.3.1 Der vollständige Graph	82
5.3.2 Der Baum	82
5.3.3 Die Dekompositionsgleichung	82
5.3.4 Der Kreis	84
5.3.5 Chromatisches Polynom und chromatische Zahl	85
5.3.6 Partitionen der Knotenmenge	86
5.4 Eine Anwendung	87
6 Der Zusammenhang von Graphen	92
6.1 Der Knotenzusammenhang	92
6.2 Der Kantenzusammenhang	95
6.2.1 Schnittmengen	95
6.2.2 Schnitte	96
6.2.3 Die Kantenzusammenhangszahl	97
6.2.4 Knotenzusammenhang und Kantenzusammenhang	97
6.3 Trennende Knotenmengen	98
6.3.1 Anwendung zur Berechnung der Unabhängigkeitszahl	98
6.3.2 Ein Berechnungsbeispiel	99
6.3.3 Die Berechnung des chromatischen Polynoms	100
6.4 Partielle k-Bäume	102
6.4.1 k-Bäume	102
6.4.2 Partielle k-Bäume	103
6.4.3 Serien-Parallel-Graphen	104
7 Bäume	107
7.1 Eigenschaften von Bäumen	107
7.1.1 Die Anzahl der Bäume	108
7.1.2 Der Prüfercode und der Satz von Cayley	109
7.1.3 Isomorphieklassen von Bäumen	111
7.2 Wurzelbäume	111
7.3 Binäre Bäume	114
8 Kreise	118
8.1 Kreise in Graphen	118
8.1.1 Taille und Umfang	119
8.1.2 Basiskreise	120
8.2 Hamiltonkreise	121
8.3 Eulerkreise	124
9 Gerichtete Graphen	128
9.1 Definitionen und Eigenschaften gerichteter Graphen	128
9.1.1 Wege und Erreichbarkeit	129
9.1.2 Zusammenhang und starker Zusammenhang	129
9.1.3 Orientierungen	130
9.1.4 Innen- und Außengrad	131
9.1.5 Quellen und Senken	132
9.1.6 Vektorräume	133
9.1.7 Kozyklen	134
9.1.8 Zyklen- und Kozyklenräume	135
9.2 Turniere	139
9.3 Flüsse in Graphen	142
Lösungen	147
Literaturverzeichnis	159
Symbolverzeichnis	161
Sachwortverzeichnis	162

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