Einleitung

Stehen Sie gerade im Buchladen, blättern in verschiedenen Büchern über Differenzialgleichungen und sind dabei zufällig auch auf dieses Buch gestoßen? Oder haben Sie es womöglich schon gekauft oder geschenkt bekommen und fragen sich, ob es das richtige für Sie ist?

Ich kann Ihnen weiterhelfen.

Die Grundlagen der Differenzialgleichungen für Dummies führen Sie behutsam und sehr umfassend in die Welt der Differenzialgleichungen ein. Behutsam, weil Sie außer ein paar algebraischen Grundkenntnissen wie Bruchrechnen oder Terme umformen kein Vorwissen benötigen. Umfassend, weil Ihnen alle Voraussetzungen, die Sie benötigen, um Differenzialgleichungen lösen zu können, vorgestellt werden. Das ist das Besondere an diesem Buch.

Es bietet Ihnen also den optimalen Einstieg (gerne auch im Sinne einer ersten Kontaktaufnahme) in das weite und wichtige Feld der Differenzialgleichungen, ja die ganze Bandbreite zu dem Thema: das Rüstzeug, Lösungsmethoden und zahlreiche Übungsbeispiele.

Über dieses Buch

Wenn Sie bereits andere Dummies-Bücher kennen, wissen Sie es schon: Sie können dieses Buch in nahezu beliebiger Reihenfolge lesen und müssen es nicht von vorne bis hinten durcharbeiten. Die Kapitel sind, jedes für sich genommen, verständlich.

Dies gilt vor allem für den Teil mit den Voraussetzungen, die Sie benötigen, um Differenzialgleichungen lösen zu können. Da werden Sie womöglich auf alte Bekannte stoßen, die Sie getrost links liegen lassen können. Falls Sie aber nicht den Mut haben, ein ganzes Kapitel zu überspringen (was mir auch so ginge; schließlich könnte ja doch noch etwas Wichtiges drin stehen), will ich Sie gerne dazu animieren, auch größere Passagen quer zu lesen. Der Aufbau ist so übersichtlich, dass Sie schnell merken werden, wenn Ihnen Teile doch nicht so vertraut sind, wie Sie erst dachten.

Konventionen in diesem Buch

Alle Zeichen, die in dem Buch auftauchen, und Ihnen womöglich noch nie im Leben zuvor begegnet sind, werde ich an der Stelle, an der sie auftauchen, erklären; und das nicht nur einmal. Sicher ist sicher! Und dann gibt es noch die verschiedenen Schriftarten, die ich wie folgt verwende:

• Kursivschrift verwende ich einerseits bei betonten Wörtern, zum Beispiel

  »Mama, ich will einen Hund!« (und nicht etwa eine Katze)

  »Papa, ich will einen Hund!« (und nicht etwa zwei oder drei)

• Kursivschrift verwende ich aber auch bei wichtigen mathematischen Begriffen, wenn Sie beispielsweise zum ersten Mal auftreten.
• Dezimalzahlen schreibe ich mit Punkt und nicht mit Komma, um dem Missverständnis vorzubeugen, es könne sich um zwei, durch ein Komma getrennte Zahlen handeln. So schreibe ich beispielsweise:
• Matrizen (was immer das sind) unterstreiche ich.
• Symbole am Rand werden Ihnen helfen, die wichtigsten Passagen zu erkennen.

Wie Sie sehen, gibt es in diesem Buch nicht rasend viele Konventionen, und auswendig lernen brauchen Sie diese paar natürlich auch nicht.

Was Sie nicht lesen müssen

Abgesehen davon, dass es Ihnen natürlich freigestellt ist, was Sie lesen wollen und was nicht, möchte ich gerne noch auf zwei Besonderheiten hinweisen:

• Hinter dem Symbol »Achtung Technik!« (siehe Ende dieser Einleitung) verbergen sich Hinweise für Profis und solche, die es werden wollen. Sie können diese gerne mit gutem Gewissen außen vor lassen.
• An ein paar Stellen im Buch stehen Anekdoten oder gar Witze, beziehungsweise fachliche oder historische Hintergrundinformationen, die Sie auch nicht benötigen, um dem roten Faden des Buches zu folgen. Aber vielleicht geht es Ihnen ja wie mir, dass Sie sich nämlich Zusammenhänge einfacher merken können, wenn Sie eine kleine Geschichte damit verbinden.

Törichte Annahmen über die Leser

Zunächst mal gehe ich davon aus, dass Sie zwar wissen, was die Summe aus zwei Drittel und einem Sechstel ist, aber nicht, wie man die Logarithmusfunktion ableitet. Ich nehme an, Sie beherrschen die Mitternachtsformel, wissen aber nicht, wie man die Eigenwerte einer Matrix ausrechnet. Und Sie kennen die Potenzregeln, aber wissen mit den Eulerformeln in den komplexen Zahlen nichts anzufangen.

Mir ist natürlich klar, dass das törichte und stark verallgemeinerte Annahmen über Sie sind. Womöglich beherrschen Sie nämlich alles eben Genannte aus dem Effeff und suchen lediglich einen Einstieg in die Differenzialgleichungen. Dann ist für Sie das Buch fast nur noch halb so dick. Sie können nämlich dann den Teil I komplett überblättern.

Kurz gesagt: Ich gehe davon aus, dass Sie über einfache algebraische Fertigkeiten wie das Ausmultiplizieren, das Ausklammern, das Bruchrechnen, die Potenzgesetze, die binomischen Formeln oder das Vereinfachen von Termen verfügen. Darüber hinaus setze ich nichts voraus. Nichts? Doch, Ihre Bereitschaft, mir zu folgen.

Um ganz ehrlich zu sein, ich stelle mir Sie so vor:

• Sie sind Schüler beziehungsweise Student, und kommen an Ihrer Schule beziehungsweise Hochschule mit Differenzialgleichungen erstmals in Kontakt, oder
• Sie sind Student und kommen mit den typischen Lehrbüchern für Differenzialgleichungen noch nicht klar, weil die Voraussetzungen dieser Bücher zu abstrakt sind oder zu viel voraussetzen, oder
• Sie sind einfach so an Differenzialgleichungen interessiert, weil so viele davon reden.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch besteht aus 5 Teilen. Jeder Teil wiederum besteht aus Kapiteln und jedes Kapitel aus Unterkapiteln. Um Ihnen einen Überblick zu geben, was Sie in dem Buch erwartet beziehungsweise um es Ihnen einfacher zu machen, wo im Buch Sie anfangen wollen zu lesen, finden Sie hier eine Beschreibung der einzelnen Teile:

Teil I: Was Sie alles brauchen – die Zutaten

Hier taucht alles, aber auch wirklich alles auf, was Sie an Handwerkszeug benötigen. Sogar etwas mehr, wenn ich zum Beispiel an den Funktionenzoo denke. Vermutlich benötigen Sie nicht alle Funktionen, die in diesem Zoo vorgestellt werden, aber wo Sie schon mal einen Besuch im Zoo machen, schauen Sie sich natürlich alles an. Womöglich sagen Sie bei manchen Fertigkeiten, dass Sie die längst beherrschen, wie zum Beispiel das Ableiten; bei anderen wiederum sind Sie froh, dass Sie es nochmals nachlesen können (vielleicht bei den Matrizen?). Oder Sie wissen mit komplexen Zahlen noch gar nichts anzufangen?

In diesem Teil finden Sie alles, was man benötigt, um Differenzialgleichungen zu lösen, ob Sie nun Experte im einen Bereich oder Neuling im anderen sind. Und Sie können je nach eigenem Wissens- und Kenntnisstand großzügig überspringen oder intensiv nachlesen. Ist das ein Angebot?

Teil II: Was, bitteschön, sind Differenzialgleichungen?

Vielleicht fragen Sie sich schon die ganze Zeit: Wenn diese Differenzialgleichungen so enorm wichtig sind, wie der Autor tut, warum habe ich das dann noch nicht in der Schule gelernt? Antwort: Das haben Sie vermutlich schon, und ganz ohne Ihr Wissen. So ging's mir auch. Warum soll's Ihnen besser gehen? Was heißt differenzieren, was ist eine Gleichung, was ist beides zusammen? Wofür braucht man sie, oder schwieriger: Wofür braucht man sie nicht? Alle Welt redet davon. Nach diesem Teil auch Sie!

In diesem Teil stelle ich Ihnen die Hauptdarsteller vor: nämlich die Differenzialgleichungen und die Differenzialgleichungssysteme. Außerdem werden Sie in diesem Teil die vier Möglichkeiten kennen lernen, die es gibt, wie man eine Differenzialgleichung angehen kann, nämlich rechnerisch, zeichnerisch, ratend und mit dem Computer.

Teil III: Differenzialgleichungen – rechnerisch gelöst

In die vielfältigen Lösungsprozeduren, die es für Differenzialgleichungen mittlerweile gibt, kann man beliebig tief einsteigen. So kann man vorgehen, muss man aber nicht. In diesem Buch fängt es einfach an und geht dann nach und nach mehr und mehr in die Breite, nicht in die Tiefe. Nach dem Durchlesen dieses Teils werden Sie schon einige Arten von Differenzialgleichungen kennen gelernt haben und in Zukunft vor keiner mehr erschrecken, die Ihnen begegnet, sondern ihr mit dem Gefühl entgegentreten: Ich kenne Dich zwar noch nicht, aber ich kenne Deine Verwandten, und mit denen bin ich gut zurechtgekommen.

In diesem Teil werden Sie gängige Lösungsmethoden, vor allem für lineare Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssysteme, kennen lernen, für die Sie die Fertigkeiten aus Teil I benötigen. Welche Fertigkeiten das im Einzelnen sind, erfahren Sie zu Beginn eines jeden Kapitels in diesem Teil. Anhand vielfältiger einfacher Beispiele bekommen Sie hier auch die Gelegenheit, die Methoden zu üben und zu vertiefen. Außerdem finden sich hier Querverweise zu Differenzialgleichungen aus den verschiedensten Fachrichtungen aus Teil IV.

Teil IV: Die große weite Welt der Differenzialgleichungen

Es ist erstaunlich, wo...