Kapitel eins
Die Magie der Zahlen
Zahlenmuster
Die Erkundung der Mathematik beginnt mit Zahlen. Nachdem wir in der Schule zu zählen und Zahlen in Wörtern oder Ziffern oder physischen Objekten darzustellen gelernt haben, verbringen wir viele Jahre damit, mithilfe von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und weiteren Rechenarten mit Zahlen zu jonglieren. Leider bekommen wir oft nicht gezeigt, dass Zahlen einen ganz eigenen Zauber haben, der uns bannen könnte, wenn wir nur unter die Oberfläche blicken könnten.
Beginnen wir mit einer Aufgabe, die Carl Friedrich Gauß als Schulbub gestellt bekam. Gauß’ Lehrer trug der Klasse auf, alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen – eine mühselige Arbeit, die die Schüler eine Zeitlang beschäftigen sollte. Gauß verblüffte Lehrer und Mitschüler, indem er die Lösung sofort hinschrieb: 5050. Wie war er darauf gekommen? Gauß hatte sich die Zahlen 1 bis 100 in zwei Zeilen hingeschrieben vorgestellt: oben die Zahlen von 1 bis 50, darunter die Zahlen von 51 bis 100, allerdings in umgekehrter Reihenfolge (s. u.). Gauß erkannte, dass alle 50 Spalten jeweils 101 ergaben, die Gesamtsumme betrug also 50 x 101 gleich 5050.
Die Zahlen von 1 bis 100 in zwei Zeilen notiert; jede Spalte summiert sich zu 101.
Gauß wuchs später zum größten Mathematiker des neunzehnten Jahrhunderts heran – aber nicht, weil er schnell im Kopf rechnete, sondern weil er es verstand, die Zahlen zum Tanzen zu bringen. In diesem Kapitel erkunden wir viele interessante Zahlenmuster und bekommen eine erste Ahnung davon, wie Zahlen tanzen. Einige dieser Muster helfen tatsächlich beim Kopfrechnen, andere sind einfach nur schön.
Gut, wir wissen nun dank Gauß, wie man die Zahlen von 1 bis 100 zusammenrechnet. Doch was ist, wenn wir alle Zahlen von 1 bis 17 oder bis 1000 oder bis 1.000.000 addieren wollen? Kein Problem, die Methode funktioniert auch in diesen Fällen. Nennen wir die Zahl, bis zu der wir addieren wollen, n. Dieses n dürfen wir beliebig wählen. Manche Menschen finden Zahlen weniger abstrakt, wenn sie sie sich bildlich vorstellen können. Wir nennen die Zahlen 1, 3, 6, 10 und 15 Dreieckszahlen, da wir mit 1, 3, 6, 10, 15 usw. Punkten Dreiecke, wie unten gezeigt, bauen können. (Die 1 gilt hierbei auch als Dreieckszahl.) Die offizielle Definition lautet: Die n-te Dreieckszahl ist 1 + 2 + 3 + … + n.
Die ersten Dreieckszahlen sind 1, 3, 6, 10 und 15
Sehen Sie, was passiert, wenn man zwei Dreiecke wie unten abgebildet aneinanderlegt?
Wie viele Punkte befinden sich in dem Rechteck?
Da die zwei (identischen) Dreiecke ein Rechteck mit 5 Zeilen und 6 Spalten bilden, gibt es insgesamt 30 Punkte. Folglich musste jedes der Ausgangsdreiecke halb so viele Punkte haben, nämlich 15. Klar, das wussten wir schon, aber nach der gleichen Logik können wir verallgemeinern: Nimmt man zwei Dreiecke mit n Zeilen und legt sie wie gezeigt aneinander, entsteht ein Rechteck mit n Zeilen und n + 1 Spalten, das n × (n + 1) Punkte enthält (oder prägnanter: n(n + 1)). Damit haben wir die versprochene Formel für die Summe der ersten n Zahlen abgeleitet:
Haben Sie gemerkt, was wir soeben getan haben? Wir haben ein Muster erkannt (wie man die ersten 100 Zahlen addiert) und es auf alle anderen Aufgaben dieser Art übertragen. Müssten wir alle Zahlen von 1 bis 1.000.000 addieren, könnten wir das in zwei Schritten tun: Erst 1.000.000 mit 1.000.001 multiplizieren und das Ganze dann durch 2 teilen!
Hat man erst einmal eine Formel gefunden, ergeben sich daraus schnell weitere Formeln. Multiplizieren wir z. B. beide Seiten der obigen Gleichung mit 2, bekommen wir eine Formel für die Summe der ersten n geraden Zahlen:
Und wie sieht es mit der Summe der ersten n ungeraden Zahlen aus? Betrachten wir uns die Zahlen einmal:
Was ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen?
Rechts vom Gleichheitszeichen stehen lauter Quadratzahlen: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 usw. Das Muster, das die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n × n (meist n2 geschrieben) sein könnte, springt sofort ins Auge. Doch wie können wir sicher sein, dass wir keinem Zufall aufsitzen? In Kapitel 6 stelle ich mehrere Methoden vor, um solche Zusammenhänge zu beweisen, aber ein so einfaches Muster sollte auch eine einfache Erklärung haben. Am besten nehme ich dazu wieder meine Punkte. Warum sollten sich die ersten fünf ungeraden Zahlen genau zu 52 addieren? Betrachten Sie nun folgende Abbildung eines Quadrats mit Kantenlänge 5:
Wie viele Punkte befinden sich in dem Quadrat?
Dieses Quadrat hat 5 × 5 = 25 Punkte, doch zählen wir sie mal anders. Beginnen wir mit dem 1. Punkt in der oberen linken Ecke. An ihn grenzen 3 Punkte, dann 5 Punkte, dann 7 Punkte, dann 9 Punkte. Folglich gilt:
Gehen wir allgemein von einem Quadrat mit Kantenlänge n aus und teilen es in n Regionen in Form umgedrehter Ls mit 1, 3, 5, …, (2n – 1) Punkten auf. So bekommen wir eine Formel für die ersten n ungeraden Zahlen:
Nebenbemerkung
Weiter hinten im Buch sehen wir, wie einfaches Punktezählen (und generell der Ansatz, Aufgaben auf zweierlei Weise anzugehen) selbst in der höheren Mathematik zu einigen interessanten Erkenntnissen führt. Manchmal werden einem damit ganz grundsätzliche Dinge klar. Zum Beispiel: Warum gilt eigentlich, dass 3 × 5 = 5 × 3? Ich bin mir sicher, dass Sie diese Aussage nie hinterfragt haben, schließlich hat man Ihnen in der Schule erzählt, dass die Reihenfolge in Multiplikationen keine Rolle spielt. (Mathematiker nennen das „Kommutativität“.) Aber warum sollten 3 Tüten mit je 5 Murmeln ebenso viele Murmeln enthalten wie 5 Tüten mit je 3 Murmeln? Die Erklärung dafür ist ganz einfach, wenn man die Punkte in einem Rechteck von 3 x 5 Punkten zählt. Zählt man zeilenweise, sieht man 3 Zeilen mit je 5 Punkten, also 3 x 5 Punkte. Zählt man hingegen spaltenweise, sieht man 5 Spalten mit je 3 Punkten, also 5 x 3 Punkte.
Warum ist 3 x 5 genau so viel wie 5 x 3?
Dieses Muster für die Summe ungerader Zahlen lässt sich in ein noch hübscheres Muster überführen. Ich habe versprochen, wir würden die Zahlen zum Tanzen bringen – und hier führen sie einen kleinen Square-Dance vor (engl. square heißt Quadrat).
Betrachten Sie diese interessante Pyramide von Gleichungen:
Welches Muster erkennen Sie? Die Anzahl von Zahlen in jeder Zeile lässt sich einfach erkennen: 3, 5, 7, 9, 11 usw. Doch dann kommt ein unerwartetes Muster. Was ist die erste Zahl in jeder Zeile? 1, 4, 9, 16 und 25 – die Quadratzahlen. Wie kommt das?
Betrachten wir die fünfte Zeile. Wie viele Zahlen gibt es in dieser Zeile? In den Zeilen davor waren es 3, 5, 7 und 9. Zählt man das zusammen und fügt noch die 1 als erste ungerade Zahl hinzu, bekommt man die erste Zahl in Zeile 5: 25 bzw. 52, die Summe der ersten 5 ungeraden Zahlen.
Überprüfen wir nun die fünfte Gleichung, allerdings ohne Zusammenzählen. Was würde Gauss tun? Vernachlässigen wir die 25 am Anfang der Zeile zunächst; dann stehen links noch 5 Zahlen, die jeweils um 5 kleiner sind als die dazugehörigen Zahlen auf der rechten Seite der Gleichung.
Ein Vergleich der linken Seite von Zeile 5 mit der rechten Seite
Die fünf Zahlen rechts sind zusammen genommen um 25 größer als die dazugehörigen Zahlen auf der linken Seite. Folglich geht die Gleichung wie versprochen auf. Mit der gleichen Logik und ein wenig Algebra lässt sich zeigen, dass dieses Muster sich unendlich fortsetzt.
Nebenbemerkung
Hier die Algebra dahinter: Vor Zeile n stehen 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2 – 1 Zahlen, folglich beginnt die linke Seite der Zeile mit der Zahl n2, gefolgt von den nächsten n Zahlen, n2 + 1 bis n2 + n. Auf der rechten Seite stehen die nächsten n Zahlen, von n2 + n + 1 bis n2 + 2n. Ignorieren wir das n2 auf der linken Seite einmal, sehen wir, dass die n Zahlen rechts jeweils um n größer sind als die dazugehörigen Zahlen auf der linken Seite, sodass die Differenz n × n entspricht, also n2. Aber das wird vom n2 ganz links in der Zeile ausgeglichen, sodass die Gleichung aufgeht.
Zeit für ein neues Muster: Wir haben gesehen, dass sich mit ungeraden Zahlen Quadrate bilden lassen. Schauen wir jetzt mal, was passiert, wenn wir alle ungeraden Zahlen in ein großes Dreieck packen.
Wir sehen, dass 3 + 5 = 8, 7 + 9 + 11 = 27, 13 + 15 + 17 + 19 = 64. Und was haben die Zahlen 1, 8, 27 und 64 gemeinsam? Sie sind alles Kubikzahlen! Addiert man die fünf Zahlen in der fünften Zeile, bekommt man:
Ein gerades Dreieck aus ungeraden Zahlen
In der...
