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E-Book

Mathematik für Chemiker

Autor	Ansgar Jüngel, Hans Gerhard Zachmann
Verlag	Wiley-VCH
Erscheinungsjahr	2014
Seitenanzahl	739 Seiten
ISBN	9783527675517
Format	PDF
Kopierschutz	DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	52,99 EUR

Ein unentbehrlicher Begleiter für die Grundvorlesung in Mathematik, der auch während des gesamten Chemiestudiums gute Dienste bei allen mathematischen Fragen und Problemen leistet. Jetzt ergänzt um ein neues Kapitel zu numerischen Verfahren.

Ansgar Jüngel ist Professor für partielle Differentialgleichungen und dynamische Systeme am Institut für Analysis und wissenschaftliches Rechnen der Technischen Universität Wien. In seiner Lehrtätigkeit widmet er sich vor allem der Anwendung von Differentialgleichungen in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften. Er ist seit 2007 federführend für das Buch 'Mathematik für Chemiker', welches von H. G. Zachmann begründet wurde.

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Inhaltsverzeichnis

Mathematik für Chemiker	1
Inhaltsverzeichnis	7
Vorwort zur siebten Auflage	15
Vorwort zur sechsten Auflage	17
Vorwort zur ersten Auflage	19
1 Mathematische Grundlagen	23
1.1 Die Sprache der Mathematik	23
1.2 Mengenlehre	25
1.3 Zahlen	28
1.4 Einige Rechenregeln	34
1.5 Kombinatorik	37
2 Lineare Algebra	45
2.1 Matrizen	45
2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus	53
2.3 Determinanten	60
2.3.1 Definition	60
2.3.2 Rechenregeln	63
2.3.3 Berechnung von Determinanten	66
2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix	68
2.4.1 Lineare Unabhängigkeit	68
2.4.2 Rang einer Matrix	70
2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme	72
2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme	72
2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix	77
3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen	81
3.1 Unendliche Zahlenfolgen	81
3.1.1 Definitionen und Beispiele	81
3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge	83
3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten	86
3.2 Unendliche Reihen	90
3.2.1 Definitionen und Beispiele	90
3.2.2 Konvergenzkriterien	93
3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen	96
3.2.4 Potenzreihen	98
4 Funktionen	101
4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes	101
4.2 Funktionen einer Variablen	102
4.2.1 Darstellung	102
4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion	104
4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen	106
4.2.4 Einige spezielle Funktionen	107
4.2.5 Stetigkeit	118
4.2.6 Funktionenfolgen	121
4.3 Funktionen mehrerer Variablen	124
4.3.1 Darstellung	124
4.3.2 Definitionsbereiche	129
4.3.3 Stetigkeit	130
5 Vektoralgebra	133
5.1 Rechnen mit Vektoren	133
5.1.1 Definition eines Vektors	133
5.1.2 Rechenregeln für Vektoren	136
5.1.3 Skalarprodukt	139
5.1.4 Vektorprodukt	141
5.1.5 Spatprodukt	144
5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen	147
5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren	147
5.2.2 Basis im R3 und Basiswechsel	150
5.2.3 Orthonormalbasis	154
6 Analytische Geometrie	159
6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen	159
6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in x, y und z	159
6.1.2 Parameterdarstellung	168
6.2 Lineare Abbildungen	171
6.2.1 Definitionen	171
6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren	173
6.2.3 Drehungen und Spiegelungen	177
6.3 Koordinatentransformationen	184
6.3.1 Lineare Transformationen	184
6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten	191
7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen	197
7.1 Differenziation	197
7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion	197
7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren	201
7.1.3 Differenziation einiger Funktionen	205
7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen	209
7.1.5 Höhere Ableitungen	213
7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung	214
7.1.7 Anwendungen	215
7.2 Integration von Funktionen	218
7.2.1 Das bestimmte Integral	218
7.2.2 Das unbestimmte Integral	225
7.2.3 Integrationsmethoden	229
7.2.4 Uneigentliche Integrale	238
7.2.5 Anwendungen	242
7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen	248
7.4 Die Taylor-Formel	250
7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l'Hospital	258
7.6 Kurvendiskussion	264
7.6.1 Definitionen	264
7.6.2 Bestimmung von Nullstellen	266
7.6.3 Bestimmung von Extrema	269
7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten	271
8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen	273
8.1 Differenziation	273
8.1.1 Die partielle Ableitung	273
8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz	277
8.1.3 Existenz einer Tangentialebene	280
8.1.4 Das totale Differenzial	281
8.1.5 Die Kettenregel	284
8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen	287
8.1.7 Partielle Ableitungen in der Thermodynamik	290
8.2 Einfache Integrale	293
8.3 Bereichsintegrale	297
8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals	297
8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals	300
8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale	304
8.3.4 Transformationsformel	305
8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen	312
8.4 Kurvenintegrale	321
8.4.1 Definition und Berechnung	321
8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals	326
8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial	330
8.4.4 Satz von Gauß im R2	332
8.5 Oberflächenintegrale	335
8.6 Die Taylor-Formel	339
8.7 Extremwerte	342
8.7.1 Definitionen	342
8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten	344
8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen	347
9 Vektoranalysis und Tensorrechnung	355
9.1 Vektoranalysis	355
9.1.1 Vektor- und Skalarfelder	355
9.1.2 Der Gradient	357
9.1.3 Konservative Vektorfelder	360
9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im R3	362
9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes	366
9.1.6 Rechenregeln	369
9.1.7 Krummlinige Koordinaten	371
9.2 Tensorrechnung	376
9.2.1 Tensoren zweiter Stufe	376
9.2.2 Tensoren höherer Stufe	380
10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation	383
10.1 Fourier-Reihen	383
10.1.1 Reelle Fourier-Reihen	383
10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen	390
10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen	392
10.2 Fourier-Transformation	395
10.2.1 Definitionen	395
10.2.2 Beispiele	400
10.2.3 Eigenschaften	404
10.2.4 Anwendungen in der Chemie	414
10.3 Orthonormalsysteme	421
11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen	427
11.1 Beispiele und Definitionen	427
11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung	434
11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen	434
11.2.2 Trennung der Variablen	437
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen	439
11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen	443
11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen	453
11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen	455
11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung	461
11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen	461
11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung	465
11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung	471
11.3.4 Die erzwungene Schwingung	473
11.3.5 Systeme von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung	477
11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung	483
11.4.1 Potenzreihenansatz	483
11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung	486
11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung	492
11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung	496
12 Partielle Differenzialgleichungen	501
12.1 Definition und Beispiele	501
12.2 Die Potenzialgleichung	505
12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation	505
12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz	506
12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten	509
12.3 Die Wärmeleitungsgleichung	511
12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation	511
12.3.2 Lösung durch Separationsansatz	513
12.4 Die Wellengleichung	516
12.4.1 Lösung durch Separationsansatz	516
12.4.2 Allgemeine Lösungsformel	519
12.4.3 Die schwingende Membran	521
12.5 Die Schrödinger-Gleichung	526
12.5.1 Die stationäre Gleichung	526
12.5.2 Der harmonische Oszillator	527
12.5.3 Das Wasserstoffatom	531
13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik	541
13.1 Einführung	541
13.1.1 Quantenmechanische Begriffe	541
13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik	545
13.2 Hilbert-Räume	548
13.2.1 Sobolev-Räume	548
13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme	554
13.2.3 Lineare Operatoren	558
13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation	559
13.3 Beschränkte lineare Operatoren	563
13.3.1 Definition und Beispiele	563
13.3.2 Projektoren	567
13.3.3 Symmetrische Operatoren	569
13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren	577
13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren	577
13.4.2 Die Heisenberg'sche Unschärferelation	582
13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren	584
13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme	593
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung	597
14.1 Einleitung	597
14.1.1 Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung	597
14.1.2 Der Ereignisraum	599
14.1.3 Zufallsgrößen	600
14.2 Diskrete Zufallsgrößen	602
14.2.1 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit	602
14.2.2 Summe von Ereignissen	604
14.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit	606
14.2.4 Produkt von Ereignissen	609
14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit	610
14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen	612
14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte	612
14.3.2 Verteilungsfunktion	615
14.4 Kette von unabhängigen Versuchen	620
14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen	620
14.4.2 Diskussion der Funktion Pn(m)	623
14.4.3 Näherungsgesetze für große n	624
14.4.4 Markow'sche Ketten	629
14.5 Stochastische Prozesse	636
14.5.1 Definitionen	636
14.5.2 Der Poisson-Prozess	637
15 Fehler- und Ausgleichsrechnung	641
15.1 Zufällige und systematische Fehler	641
15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen	642
15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert	642
15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen	644
15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung	645
15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen	646
15.3 Fehlerfortpflanzung	648
15.3.1 Maximaler Fehler	648
15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers	650
15.3.3 Mittlerer Fehler des Mittelwertes	653
16 Numerische Methoden	655
16.1 Lineare Gleichungssysteme	655
16.1.1 Gauß-Algorithmus	655
16.1.2 Thomas-Algorithmus	659
16.1.3 Iterative Lösungsmethoden	661
16.1.4 Ausgleichsrechnung	664
16.2 Nichtlineare Gleichungen	668
16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen	668
16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen	669
16.3 Eigenwertprobleme	672
16.3.1 Potenzmethode	672
16.3.2 QR-Verfahren	675
16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen	678
16.4.1 Euler-Verfahren	678
16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren	681
16.4.3 Steife Differenzialgleichungen	684
16.5 Softwarepakete	687
Antworten und Lösungen	689
Literaturverzeichnis	723
Weiterführende Literatur	725
Stichwortverzeichnis	729

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