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E-Book

Mathematik für das Ingenieurstudium

Autor	Jürgen Koch, Martin Stämpfle
Verlag	Carl Hanser Fachbuchverlag
Erscheinungsjahr	2018
Seitenanzahl	751 Seiten
ISBN	9783446455818
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	35,99 EUR

Mathematische Grundlagen endlich verständlich
Dieses Buch enthält die Grundlagen der Mathematik eines technisch orientierten Studiums.
Alle wesentlichen Themen sind in einem Band zusammengefasst und dabei in Form und Inhalt auf die speziellen Anforderungen eines Bachelor-Studiums ausgerichtet.
Der Zugang zu mathematischen Sachverhalten erfolgt durch verständliche Herleitungen, farbige Grafiken und sorgfältig ausgewählte Beispiele. Viel Wert wird auf Klarheit und Transparenz in Struktur und Sprache gelegt.
Viele Kapitel enthalten einen Abschnitt mit ausgewählten Anwendungen. Eine kleine Formelsammlung und Kurzporträts einiger bedeutender Mathematiker im Anhang runden die Darstellung ab.
Das Buch eignet sich zum vorlesungsbegleitenden Selbstlernen. Alle Beispiele enthalten einen ausführlichen Rechenweg mit vielen Zwischenschritten und Abbildungen. Zahlreiche Aufgaben zum Verständnis, zur Rechentechnik und zu Anwendungen dienen der Vertiefung und Prüfungsvorbereitung. Lösungen zu den Aufgaben sind über die Internetseiten der Autoren abrufbar:
www.mathematik-fuer-ingenieure.de
Im Dozentenportal des Verlages werden Präsentationsfolien zur Verwendung in der Vorlesung bereitgestellt.

Prof. Dr. Jürgen Koch hält Vorlesungen zur Mathematik an der Hochschule Esslingen.

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Blick ins Buch

Inhaltsverzeichnis

Vorwort	6
Inhaltsverzeichnis	8
1 Grundlagen	20
1.1 Logik und Mengen	20
1.1.1 Aussagenlogik	20
1.1.2 Mengen	23
1.2 Zahlen	26
1.2.1 Natürliche Zahlen	26
1.2.2 Ganze Zahlen	27
1.2.3 Rationale Zahlen	28
1.2.4 Reelle Zahlen	29
1.2.5 Ordnung	31
1.2.6 Intervalle	32
1.2.7 Betrag und Signum	33
1.2.8 Summe und Produkt	36
1.3 Potenz und Wurzel	37
1.3.1 Potenzen	37
1.3.2 Potenzgesetze	38
1.3.3 Wurzeln	38
1.3.4 Binomischer Satz	39
1.4 Trigonometrie	41
1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck	41
1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß	43
1.4.3 Sinus- und Kosinussatz	44
1.5 Gleichungen und Ungleichungen	45
1.5.1 Lineare Gleichungen	46
1.5.2 Potenzgleichungen	47
1.5.3 Quadratische Gleichungen	47
1.5.4 Wurzelgleichungen	49
1.5.5 Ungleichungen	50
1.6 Beweise	52
1.6.1 Direkter Beweis	53
1.6.2 Indirekter Beweis	53
1.6.3 Konstruktiver Beweis	54
1.6.4 Vollständige Induktion	55
1.7 Aufgaben	57
2 Lineare Gleichungssysteme	62
2.1 Einführung	62
2.2 Gauß-Algorithmus	64
2.2.1 Äquivalenzumformungen	65
2.2.2 Vorwärtselimination	66
2.2.3 Rückwärtseinsetzen	67
2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren	68
2.2.5 Rechenschema	69
2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme	71
2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung	71
2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen	72
2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen	73
2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme	74
2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme	75
2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme	76
2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern	78
2.4 Numerische Verfahren	80
2.4.1 Jacobi-Iteration	80
2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration	81
2.5 Anwendungen	82
2.5.1 Produktion	82
2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik	83
2.6 Aufgaben	84
3 Vektoren	86
3.1 Der Begriff eines Vektors	86
3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten	88
3.2.1 Addition und Subtraktion	88
3.2.2 Skalare Multiplikation	90
3.2.3 Skalarprodukt	91
3.2.4 Vektorprodukt	95
3.2.5 Spatprodukt	97
3.2.6 Lineare Unabhängigkeit	99
3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung	103
3.3.1 Koordinatendarstellung	104
3.3.2 Addition und Subtraktion	105
3.3.3 Skalare Multiplikation	106
3.3.4 Skalarprodukt	106
3.3.5 Vektorprodukt	108
3.3.6 Spatprodukt	110
3.3.7 Lineare Unabhängigkeit	110
3.4 Punkte, Geraden und Ebenen	113
3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem	113
3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen	115
3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen	117
3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen	118
3.4.5 Abstände	120
3.4.6 Winkel	123
3.5 Anwendungen	125
3.5.1 Kraft	125
3.5.2 Arbeit	125
3.5.3 Drehmoment	126
3.6 Aufgaben	127
4 Matrizen	132
4.1 Der Begriff einer Matrix	132
4.2 Rechnen mit Matrizen	136
4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation	137
4.2.2 Multiplikation von Matrizen	138
4.3 Determinanten	144
4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix	144
4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix	146
4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix	150
4.4 Inverse Matrix	153
4.4.1 Invertierbare Matrizen	154
4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix	155
4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem	156
4.4.4 Orthogonale Matrizen	156
4.5 Lineare Abbildungen	157
4.5.1 Matrizen als Abbildungen	157
4.5.2 Koordinatentransformation	158
4.5.3 Kern, Bild und Rang	160
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren	161
4.7 Numerische Verfahren	167
4.8 Anwendungen	168
4.9 Aufgaben	170
5 Funktionen	174
5.1 Relationen und Funktionen	174
5.1.1 Relationen	174
5.1.2 Funktionen	175
5.2 Reelle Funktionen	177
5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge	177
5.2.2 Wertetabelle und Schaubild	179
5.2.3 Explizite und implizite Darstellung	181
5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen	182
5.2.5 Funktionsschar	184
5.2.6 Verkettung von Funktionen	185
5.3 Eigenschaften	188
5.3.1 Symmetrie	189
5.3.2 Periode	192
5.3.3 Monotonie	193
5.3.4 Beschränktheit	194
5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion	195
5.5 Anwendungen	198
5.5.1 Messwerte	198
5.5.2 Kennfelder	199
5.6 Aufgaben	200
6 Elementare Funktionen	202
6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen	202
6.1.1 Potenzfunktionen	202
6.1.2 Wurzelfunktionen	204
6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen	205
6.2.1 Polynome	205
6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen	213
6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen	221
6.3.1 Definition am Einheitskreis	221
6.3.2 Eigenschaften	222
6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion	225
6.3.4 Arkusfunktionen	227
6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen	232
6.4.1 Exponentialfunktionen	232
6.4.2 Die e-Funktion	233
6.4.3 Logarithmusfunktionen	235
6.5 Hyperbel- und Areafunktionen	238
6.5.1 Hyperbelfunktionen	238
6.5.2 Areafunktionen	240
6.6 Anwendungen	241
6.6.1 Freileitungen	241
6.6.2 Industrieroboter	242
6.7 Aufgaben	243
7 Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit	246
7.1 Folgen	246
7.1.1 Zahlenfolgen	246
7.1.2 Grenzwert einer Folge	250
7.2 Funktionsgrenzwerte	254
7.3 Stetigkeit	256
7.4 Asymptotisches Verhalten	261
7.5 Numerische Verfahren	265
7.5.1 Berechnung von Funktionswerten	266
7.5.2 Bisektionsverfahren	267
7.6 Anwendungen	269
7.7 Aufgaben	270
8 Differenzialrechnung	272
8.1 Steigung und Ableitungsfunktion	272
8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit	272
8.1.2 Differenzial	276
8.1.3 Ableitungsfunktion	276
8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung	280
8.1.5 Höhere Ableitungen	281
8.2 Ableitungstechnik	282
8.2.1 Ableitungsregeln	282
8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion	287
8.2.3 Logarithmisches Differenzieren	289
8.2.4 Implizites Differenzieren	290
8.2.5 Zusammenfassung	291
8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital	292
8.4 Geometrische Bedeutung der 8.4 Ableitungen	296
8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel	296
8.4.2 Monotonie	298
8.4.3 Krümmung	299
8.4.4 Lokale Extrema	300
8.4.5 Wendepunkte	304
8.4.6 Globale Extrema	305
8.5 Numerische Verfahren	306
8.5.1 Numerische Differenziation	307
8.5.2 Newton-Verfahren	308
8.5.3 Sekantenverfahren	310
8.6 Anwendungen	311
8.6.1 Fehlerrechnung	311
8.6.2 Extremwertaufgaben	313
8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit	315
8.7 Aufgaben	316
9 Integralrechnung	322
9.1 Flächenproblem	322
9.1.1 Integralsymbol	322
9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen	323
9.1.3 Bestimmtes Integral	325
9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral	326
9.2.1 Integralfunktion	326
9.2.2 Stammfunktion	328
9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion	330
9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung	331
9.3 Integrationstechnik	333
9.3.1 Integrationsregeln	333
9.3.2 Integration durch Substitution	337
9.3.3 Partielle Integration	344
9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen	346
9.3.5 Uneigentliche Integrale	349
9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen	352
9.4.1 Flächeninhalte	352
9.4.2 Bogenlänge	354
9.4.3 Rotationskörper	356
9.5 Numerische Verfahren	360
9.5.1 Trapezregel	361
9.5.2 Romberg-Verfahren	363
9.6 Anwendungen	363
9.6.1 Effektivwert	363
9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen	364
9.7 Aufgaben	368
10 Potenzreihen	372
10.1 Unendliche Reihen	373
10.2 Potenzreihen und Konvergenz	377
10.3 Taylor-Reihen	378
10.4 Eigenschaften	380
10.5 Numerische Verfahren	386
10.6 Anwendungen	387
10.7 Aufgaben	388
11 Kurven	390
11.1 Parameterdarstellung	390
11.2 Kegelschnitte	393
11.3 Tangente	399
11.4 Krümmung	401
11.5 Bogenlänge	404
11.6 Numerische Verfahren	406
11.7 Anwendungen	408
11.7.1 Mechanik	408
11.7.2 Straßenbau	409
11.8 Aufgaben	411
12 Funktionen mit mehreren Variablen	414
12.1 Definition und Darstellung	414
12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen	414
12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen	415
12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien	415
12.2 Grenzwert und Stetigkeit	419
12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen	419
12.2.2 Stetigkeit	420
12.3 Differenziation	421
12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit	421
12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene	424
12.3.3 Gradient und Richtungsableitung	426
12.3.4 Differenzial	429
12.3.5 Höhere partielle Ableitungen	432
12.3.6 Extremwerte	434
12.4 Ausgleichsrechnung	436
12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate	436
12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen	437
12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung	441
12.5 Vektorwertige Funktionen	443
12.6 Numerische Verfahren	444
12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren	444
12.6.2 Gradientenverfahren	446
12.7 Anwendungen	448
12.8 Aufgaben	450
13 Komplexe Zahlen und Funktionen	452
13.1 Definition und Darstellung	452
13.1.1 Komplexe Zahlen	452
13.1.2 Gaußsche Zahlenebene	453
13.1.3 Polarkoordinaten	454
13.1.4 Exponentialform	456
13.2 Rechenregeln	458
13.2.1 Gleichheit	458
13.2.2 Addition und Subtraktion	458
13.2.3 Multiplikation und Division	459
13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl	461
13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl	461
13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome	463
13.3.1 Potenzen	464
13.3.2 Wurzeln	464
13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra	467
13.4 Komplexe Funktionen	469
13.4.1 Ortskurven	470
13.4.2 Harmonische Schwingungen	471
13.4.3 Transformationen	475
13.5 Anwendungen	479
13.6 Aufgaben	480
14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen	482
14.1 Einführung	482
14.1.1 Grundbegriffe	482
14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem	485
14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie	487
14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar	489
14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung	490
14.2.1 Separation der Variablen	491
14.2.2 Lineare Substitution	493
14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen	494
14.3 Lineare Differenzialgleichungen	495
14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen	495
14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung	498
14.3.3 Allgemeine Eigenschaften	502
14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten	505
14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen	518
14.4.1 Allgemeine Form	518
14.4.2 Freie Schwingung	519
14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung	521
14.4.4 Frequenzgänge	525
14.5 Differenzialgleichungssysteme	527
14.5.1 Eliminationsverfahren	527
14.5.2 Zustandsvariablen	529
14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten	531
14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System	537
14.5.5 Stabilität	539
14.6 Numerische Verfahren	543
14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler	543
14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme	545
14.7 Anwendungen	546
14.7.1 Temperaturverlauf	546
14.7.2 Radioaktiver Zerfall	546
14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand	547
14.7.4 Feder-Masse-Schwinger	548
14.7.5 Pendel	549
14.7.6 Wechselstromkreise	549
14.8 Aufgaben	552
15 Differenzengleichungen	558
15.1 Lineare Differenzengleichungen	558
15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung	560
15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung	562
15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen	566
15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung	567
15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung	569
15.2.3 Asymptotisches Verhalten	570
15.3 Anwendungen	572
15.4 Aufgaben	573
16 Fourier-Reihen	574
16.1 Fourier-Analyse	574
16.1.1 Periodische Funktionen	574
16.1.2 Trigonometrische Polynome	576
16.1.3 Fourier-Reihe	578
16.1.4 Satz von Fourier	579
16.1.5 Gibbssches Phänomen	582
16.2 Komplexe Darstellung	584
16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe	584
16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten	586
16.2.3 Spektrum	588
16.2.4 Minimaleigenschaft	591
16.3 Eigenschaften	593
16.3.1 Symmetrie	593
16.3.2 Integrationsintervall	594
16.3.3 Mittelwert	595
16.3.4 Linearität	595
16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	597
16.3.6 Zeitverschiebung	598
16.4 Aufgaben	600
17 Verallgemeinerte Funktionen	602
17.1 Heaviside-Funktion	602
17.2 Dirac-Distribution	604
17.3 Verallgemeinerte Ableitung	606
17.4 Faltung	608
17.5 Anwendungen	612
17.6 Aufgaben	613
18 Fourier-Transformation	614
18.1 Integraltransformation	614
18.1.1 Definition	614
18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil	616
18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation	618
18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen	619
18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase	621
18.2 Eigenschaften	622
18.2.1 Linearität	623
18.2.2 Zeitverschiebung	624
18.2.3 Amplitudenmodulation	626
18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	628
18.3 Inverse Fourier-Transformation	629
18.3.1 Definition	629
18.3.2 Vertauschungssatz	631
18.3.3 Linearität	632
18.4 Differenziation, Integration und Faltung	632
18.4.1 Differenziation im Zeitbereich	632
18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich	634
18.4.3 Multiplikationssatz	634
18.4.4 Integration	635
18.4.5 Faltung	636
18.5 Periodische Funktionen	636
18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe	637
18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe	637
18.5.3 Grenzwertbetrachtung	639
18.6 Anwendungen	641
18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme	641
18.6.2 Tiefpassfilter	643
18.7 Aufgaben	645
19 Laplace-Transformation	648
19.1 Bildbereich	648
19.1.1 Definition	648
19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation	651
19.2 Eigenschaften	652
19.2.1 Linearität	652
19.2.2 Ähnlichkeit	653
19.2.3 Zeitverschiebung	654
19.2.4 Dämpfung	655
19.3 Differenziation, Integration und Faltung	656
19.3.1 Differenziation	656
19.3.2 Integration	658
19.3.3 Faltung	659
19.3.4 Grenzwerte	660
19.4 Transformation periodischer Funktionen	660
19.5 Rücktransformation	662
19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen	663
19.7 Anwendungen	669
19.8 Aufgaben	672
20 z-Transformation	674
20.1 Transformation diskreter Signale	674
20.1.1 Definition	674
20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation	676
20.2 Eigenschaften	677
20.2.1 Linearität	677
20.2.2 Dämpfung	677
20.2.3 Verschiebung	678
20.2.4 Vorwärtsdifferenzen	679
20.2.5 Multiplikationssatz	680
20.2.6 Diskrete Faltung	681
20.3 Lösung von Differenzengleichungen	683
20.4 Anwendungen	686
20.5 Aufgaben	688
21 Elementare Zahlentheorie	690
21.1 Teilbarkeit	690
21.2 Kongruente Zahlen	694
21.3 Primzahlen	699
21.4 Anwendungen	703
21.4.1 International Bank Account Number (IBAN)	703
21.4.2 Linearer Kongruenzgenerator für Pseudozufallszahlen	704
21.5 Aufgaben	705
A Anhang	706
A.1 Bedeutende Mathematiker	706
A.2 Trigonometrische Funktionen	725
A.3 Ableitungen	726
A.4 Ableitungsregeln	726
A.5 Integrale	727
A.6 Integralregeln	728
A.7 Potenzreihen	728
A.8 Fourier-Reihen	729
A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation	731
A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation	733
A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation	734
A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation	735
A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen	736
A.14 Eigenschaften der z-Transformationen	736
A.15 Griechisches Alphabet	737
Literaturverzeichnis	738
Sachwortverzeichnis	740

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