Einleitung

Möglicherweise haben Sie sich schon einmal darüber gewundert, wie viel Mathematik am Anfang eines ingenieurwissenschaftlichen Studienganges steht. Vieles davon ist noch aus der Schulzeit bekannt und dies und das taucht vielleicht zuerst in einem anderen Fach während der ersten Semester auf. Vieles geht aber doch deutlich über die Schulmathematik hinaus und scheint weder während noch nach dem Studium außerhalb der Mathematikvorlesungen jemals wieder notwendig zu sein. Warum also sollten Sie sich damit beschäftigen? Wozu die ohnehin recht knappe Zeit mit so viel Mathematik füllen?

Der tiefere Grund für die ganze Mathematik ist: Ingenieure müssen logisch und analytisch sauber denken können. Und nirgendwo tritt dieses analytische Denken so klar zu Tage wie in der Mathematik. Eigentlich ist Mathematik nichts anderes als analytisches Denken.

Mathematik ist abstrakt. Darüber kann man zwar wunderbar streiten (insbesondere mit angewandten Mathematikern!), aber eigentlich macht gerade das ihre Stärke aus: die Konzentration auf das Wesentliche, die Analyse. Das systematische Zerlegen in die einzelnen Bestandteile, alles »Beiwerk« wegzulassen, bis nur noch der Kern der Sache vorhanden ist. Schließlich die Fähigkeit, die so erworbenen Kenntnisse auf andere, prinzipiell ähnliche Situationen anzuwenden.

Zu diesem Buch

Dieses Buch ist im Wesentlichen für drei Gruppen von Lesern geschrieben worden: für Studierende der Ingenieurwissenschaften, die ihre ersten Mathematikvorlesungen hören, für fortgeschrittene Studierende, die ihre Mathematikkenntnisse aus dem Grundstudium und der Schule auffrischen wollen und für alle anderen, die eine Einführung in die Grundlagen der Ingenieursmathematik brauchen.

Natürlich können Sie dieses Buch auch einfach aus Interesse am Thema lesen.

Ganz gleich, aus welchem Grund Sie dieses Buch in die Hand genommen haben, Sie werden hier eine Einführung in die mathematischen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften finden, die die wichtigsten Themenbereiche der Ingenieursmathematik aus den ersten Semestern abdeckt. In diesem ersten Band werden Sie alles für das Grundstudium Wesentliche über reelle und komplexe Zahlen erfahren sowie das Handwerkszeug der linearen Algebra und die Grundkonzepte der eindimensionalen Analysis (Differentiation, Integration und unendliche Reihen) kennen lernen.

Wahrscheinlich werden Sie sich an einigen Stellen an Ihre Schulmathematik erinnern, allerdings geht die Mathematik für Ingenieure schon bei den Grundlagen meist deutlich tiefer, als das in der Schule üblich ist.

Trotzdem werden alle mathematischen Konzepte und Begriffe in verständlicher Sprache erklärt und durch viele Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen anschaulich gemacht.

Konventionen in diesem Buch

Damit Sie sich in diesem Buch leichter zurechtfinden, sind in der folgenden Liste die verwendeten Konventionen aufgeführt:

• Mathematische Begriffe sind bei ihrem ersten Auftreten kursiv gekennzeichnet und werden sofort definiert.
• Bei den Schritt-für-Schritt-Anleitungen werden die einzelnen Schritte fett dargestellt und gegebenenfalls von weiteren Erläuterungen begleitet.
• In einzelnen extra markierten Kästen werden möglicherweise interessante Details beschrieben, die aber für das Verständnis des Kapitels nicht benötigt werden.

Törichte Annahmen über den Leser

Natürlich sollte ich eigentlich überhaupt nichts über den Leser annehmen. Folgerichtig werden auch die Grundrechenarten neu eingeführt. Allerdings gehe ich stillschweigend doch davon aus, dass der Leser zumindest eine Ahnung von der üblichen Schulmathematik hat. Sie sollten:

• Ein paar Grundkenntnisse aus der Algebra wie zum Beispiel Bruchrechnen und die binomischen Formeln mitbringen.

  Kopfrechnen ist lästig und in Zeiten von Handys mit eingebauten Taschenrechnern und ausgefeilten Computeralgebraprogrammen sieht nicht jeder unbedingt ein, dass es sich dabei um eine nützliche Fähigkeit handelt. Allerdings können Sie die beschriebenen Beispiele wesentlich schneller und einfacher verfolgen, wenn Sie nicht bei jeder kleinen Rechnung zu einer Rechenhilfe greifen müssen.

• Eine Ahnung von den Grundbegriffen der Trigonometrie, Geometrie und Analysis haben.

  Falls Ihre Kenntnisse dazu doch ein wenig verstaubt sind, bieten Ihnen die Abschnitte zu Beginn eines jeden Teils eine gute Wiederholung. Natürlich können Sie auch ohne sichere Grundkenntnisse direkt zu einem für Sie besonders interessanten Thema springen. Sie riskieren dabei aber, dass Sie nicht jedes Beispiel direkt nachvollziehen können.

• Versuchen, die Beispiele selbstständig nachzurechnen.

  Mit der Mathematik ist es wie mit jeder Kunst: Sie können sie nur dann völlig begreifen, wenn Sie auch praktisch damit umgehen. Eine Möglichkeit dazu besteht darin, die Beispiele nicht einfach nur nachzulesen, sondern sich selbst am einen oder anderen zu versuchen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in Teile unterteilt, die einzelnen Teile in Kapitel gegliedert, die ihrerseits aus Abschnitten und Unterabschnitten bestehen. Die Teile fassen dabei die einzelnen Themenbereiche zusammen und die Kapitel eines Teils behandeln jeweils ein wesentliches Thema aus dem entsprechenden Bereich.

Teil I: Grundlegende lineare Algebra

Teil I behandelt die Basis der gesamten Ingenieursmathematik, insbesondere der linearen Algebra.

Das erste Kapitel beschäftigt sich dabei mit den Grundlagen der Logik und dem logischen Aufbau des Zahlensystems bis hin zu den komplexen Zahlen. Hier finden Sie eine ganze Menge mathematischer Grundkonzepte, die für alle Teilbereiche der Mathematik wichtig sind.

Das zentrale Thema der linearen Algebra sind lineare Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen. In der Gestalt von linearen Gleichungssystemen treten solche Abbildungen nicht nur in so gut wie allen Gebieten der Mathematik auf, sondern auch in vielen technischen und naturwissenschaftlichen Bereichen. Ohne die praktische Fähigkeit, ein lineares Gleichungssystem lösen zu können, kommt man in all diesen Bereichen sehr schnell an seine Grenzen.

Die beiden Kapitel 2 und 3 enthalten daher alles, was für die Lösung linearer Gleichungssysteme wichtig ist. Von den Grundlagen der Vektorrechnung über lineare Abbildungen und Determinantenrechnung bis hin zu zwei verschiedenen Algorithmen für lineare Gleichungssysteme, mit deren Hilfe Sie solche Systeme schließlich praktisch lösen können.

Zusätzlich stelle ich mit dem Matlab-kompatiblen Freewareprogramm octave ein sehr nützliches Hilfsmittel für alle Bereiche der Vektorrechnung vor und zeige in vielen Beispielen, wie Sie sich damit die Vektorrechnung leichter machen können.

Teil II: Viel mehr lineare Algebra

Der zweite Teil beschäftigt sich mit einigen weiteren wichtigen Themen der linearen Algebra: Eigenwertproblemen und quadratischen Formen. Zusätzlich beschreibe ich einige nützliche Dinge zur linearen Algebra dreidimensionaler Räume.

Das im vierten Kapitel behandelte Eigenwertproblem ist neben der Lösung linearer Gleichungssysteme vielleicht das in praktischer Hinsicht wichtigste Thema der linearen Algebra. Eigenwertprobleme treten bei sehr vielen physikalischen und technischen Fragestellungen auf. Das bekannteste Beispiel dazu sind die Eigenschwingungen eines Schwingkreises. Das vierte Kapitel liefert Ihnen alle nötigen Kenntnisse, um Eigenwertprobleme zu verstehen und prinzipiell lösen zu können.

Obwohl quadratische Formen keine linearen Abbildungen, sondern quadratische Abbildungen sind, gehört die Behandlung solcher Formen zu den Aufgaben der linearen Algebra. Das liegt daran, dass dabei Eigenwerte und Eigenvektoren eine große Rolle spielen. Ein wichtiges Anwendungsgebiet für quadratische Formen ist die lineare Ausgleichsrechnung, die sehr oft bei der Interpretation von Messwerten angewendet wird.

Teil III: Eindimensionale Analysis

Dieser Teil konzentriert sich auf die mathematische Behandlung von Funktionen einer einzigen reellen Variablen.

Solche Funktionen bilden die Grundlage für eine analytische Beschreibung unserer Welt. Diese ist zwar mehrdimensional und meist reichen Funktionen mit einer einzigen Variablen für eine gute Beschreibung nicht aus. Doch treten die meisten Begriffe und Methoden, die bei der Untersuchung von mehrdimensionalen Funktionen verwendet werden, schon in der eindimensionalen Analysis auf und sind dort oft einfacher zu verstehen.

Die wichtigsten Themenbereiche der eindimensionalen Analysis sind in den ersten fünf Kapiteln dieses Teils aufgeführt und stellen eine Wiederholung und Vertiefung der Analysisthemen aus der Schule dar: Folgen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung.

Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit einer speziellen Form von Folgen, den unendlichen Reihen. In der Form von Potenz- und Taylorreihen bilden diese ein Hilfsmittel zur mathematischen Untersuchung vieler Funktionen, das auch praktisch wichtig ist: Beispielsweise werden trigonometrische Funktionen wie Sinus und Kosinus auf dem Taschenrechner oder Computer...