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Numerik-Algorithmen

Verfahren, Beispiele, Anwendungen

Autor	Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka
Verlag	Springer-Verlag
Erscheinungsjahr	2010
Seitenanzahl	756 Seiten
ISBN	9783642134739
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	66,99 EUR

Die praxisnahe Einführung behandelt grundlegende Aufgabengebiete der Numerischen Mathematik, u. a. lineare und nichtlineare Gleichungen und Systeme, Eigenwerte von Matrizen, Approximation, Quadratur und Kubatur sowie Ausgangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die Autoren beschreiben die mathematischen und numerischen Prinzipien und stellen leistungsfähige Algorithmen vor. Für die Auswahl der jeweils geeigneten Methode liefern sie Entscheidungshilfen. Eigens entwickelte Programme in C stehen im Internet zur Verfügung.

Gisela Engeln-Müllges war von 1982 bis 2005 Professorin am Fachbereich Maschinenbau und Mechatronik der Fachhochschule Aachen mit dem Lehr- und Forschungsgebiet Numerische Mathematik und Datenverarbeitung, 1991 bis 2005 Prorektorin für Forschung. Von 1997 bis 2003 war sie Mitglied des Wissenschaftsrates. Seit 2005 ist sie in diversen wissenschaftsbezogenen Gremien, Jurys und Arbeitsgruppen tätig.

Klaus Niederdrenk ist seit 1993 als Professor an der Fachhochschule Münster tätig. Von 1998 bis 2008 war er Rektor dieser Einrichtung, seit 2009 gehört er dem Fachbereich Wirtschaft mit dem Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik, Quantitative Methoden an. Von 2004 bis 2007 war er Vorstandsmitglied im DAAD, seit 2007 ist er Mitglied im Wissenschaftsrat. Außerdem ist er in zahlreichen wissenschaftsbezogenen Gremien und Kommissionen engagiert.

Reinhard Wodicka arbeitete von 1953 bis 1988 am Institut für Geometrie und Praktische Mathematik der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen in verschiedenen Positionen, zuletzt war er dort ab 1975 als Studienprofessor tätig. Nach seiner Pensionierung setzte er sich intensiv mit Fragen der Numerischen Mathematik auseinander.

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur 10. korrigiertenund erweiterten Auflage	6
Informationen zu Quelltexten f¨ur diebeschriebenen Algorithmen	8
Bemerkungen zur vorliegenden C-Version	10
Weitere Software im Umfeld der Numerik-Bibliothek	11
Bezeichnungen	12
Inhaltsverzeichnis	14
Kapitel 1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse,Kondition und Stabilit¨at	22
1.1 Definition von Fehlergr¨oßen	22
1.2 Zahlensysteme	24
1.2.1 Darstellung ganzer Zahlen	24
1.2.2 Darstellung reeller Zahlen	27
1.3 Rechnung mit endlicher Stellenzahl	32
1.4 Fehlerquellen	38
1.4.1 Eingabefehler	38
1.4.2 Verfahrensfehler	39
1.4.3 Fehlerfortpflanzung und die Kondition eines Problems	40
1.4.4 Rechnungsfehler und numerische Stabilit¨at	45
Kapitel 2 Numerische Verfahren zur L¨osungnichtlinearer Gleichungen	48
2.1 Aufgabenstellung und Motivation	48
2.2 Definitionen und S¨atze ¨uber Nullstellen	50
2.3 Allgemeines Iterationsverfahren	52
2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition	52
2.3.2 Existenz einer L¨osung und Eindeutigkeit der L¨osung	55
2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens	58
2.3.3.1 Heuristische Betrachtungen	58
2.3.3.2 Analytische Betrachtung	60
2.3.4 Fehlerabsch¨atzungen und Rechnungsfehler	61
2.3.5 Praktische Durchf¨uhrung	67
2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens	70
2.5 Newtonsche Verfahren	72
2.5.1 Das Newtonsche Verfahren f¨ur einfache Nullstellen	72
2.5.2 Ged¨ampftes Newton-Verfahren	78
2.5.3 Das Newtonsche Verfahren f¨ur mehrfache Nullstellen.Das modifizierte Newtonsche Verfahren	78
2.6 Das Sekantenverfahren	84
2.6.1 Das Sekantenverfahren f¨ur einfache Nullstellen	84
2.6.2 Das modifizierte Sekantenverfahrenf¨ur mehrfache Nullstellen	87
2.7 Einschlussverfahren	87
2.7.1 Das Prinzip der Einschlussverfahren	88
2.7.2 Das Bisektionsverfahren	90
2.7.3 Die Regula falsi	92
2.7.4 Das Pegasus-Verfahren	95
2.7.5 Das Verfahren von Anderson-Bj¨orck	98
2.7.6 Die Verfahren von King und Anderson-Bj¨orck-King.Das Illinois-Verfahren	101
2.7.7 Ein kombiniertes Einschlussverfahren	102
2.7.8 Das Zeroin-Verfahren	104
2.8 Anwendungsbeispiele	106
2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen	110
Kapitel 3 Verfahren zur L¨osung algebraischerGleichungen	112
3.1 Vorbemerkungen	112
3.2 Das Horner-Schema	113
3.2.1 Das einfache Horner-Schema f¨ur reelle Argumentwerte	114
3.2.2 Das einfache Horner-Schema f¨ur komplexe Argumentwerte	116
3.2.3 Das vollst¨andige Horner-Schema f¨ur reelle Argumentwerte	118
3.2.4 Anwendungen	121
3.3 Methoden zur Bestimmung s¨amtlicherL¨osungen algebraischer Gleichungen	122
3.3.1 Vorbemerkungen und ¨Uberblick	122
3.3.2 Das Verfahren von Muller	123
3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber	130
3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Traub	132
3.4 Anwendungsbeispiel	133
3.5 Entscheidungshilfen	134
Kapitel 4 Direkte Verfahrenzur L¨osung linearer Gleichungssysteme	135
4.1 Aufgabenstellung und Motivation	135
4.2 Definitionen und S¨atze	140
4.3 L¨osbarkeitsbedingungenf¨ur ein lineares Gleichungssystem	152
4.4 Prinzip der direkten Methodenzur L¨osung linearer Gleichungssysteme	153
4.5 Der Gauß-Algorithmus	156
4.5.1 Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotsucheals Rechenschema	156
4.5.2 Spaltenpivotsuche	161
4.5.3 Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung	165
4.5.4 Gauß-Algorithmus f¨ur Systememit mehreren rechten Seiten	169
4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß-Algorithmus	171
4.7 Verfahren f¨ur Systememit symmetrischen Matrizen	173
4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regul¨arer Matrix	174
4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.Cholesky-Verfahren	175
4.7.3 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.Verfahren der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren)	180
4.8 Das Gauß-Jordan-Verfahren	184
4.9 Gleichungssysteme mit tridiagonaler Matrix	185
4.9.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix	185
4.9.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler,positiv definiter Matrix	189
4.10 Gleichungssystememit zyklisch tridiagonaler Matrix	192
4.10.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix	192
4.10.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix	195
4.11 Gleichungssysteme mit f¨unfdiagonaler Matrix	197
4.11.1 Systeme mit f¨unfdiagonaler Matrix	197
4.11.2 Systeme mit symmetrischer, f¨unfdiagonaler,positiv definiter Matrix	200
4.12 Gleichungssysteme mit Bandmatrix	203
4.13 L¨osung ¨uberbestimmter linearer Gleichungssystememit Householdertransformation	214
4.14 Fehler, Kondition und Nachiteration	219
4.14.1 Fehler und Kondition	219
4.14.2 Konditionssch¨atzung	223
4.14.3 M¨oglichkeiten zur Konditionsverbesserung	228
4.14.4 Nachiteration	228
4.15 Gleichungssysteme mit Blockmatrix	230
4.15.1 Vorbemerkungen	230
4.15.2 Gauß-Algorithmus f¨ur Blocksysteme	231
4.15.3 Gauß-Algorithmus f¨ur tridiagonale Blocksysteme	233
4.15.4 Weitere Block-Verfahren	234
4.16 Algorithmus von Cuthill-McKeef¨ur d¨unn besetzte, symmetrische Matrizen	235
4.17 Entscheidungshilfenf¨ur die Auswahl des Verfahrens	239
Kapitel 5 Iterationsverfahren zur L¨osunglinearer Gleichungssysteme	242
5.1 Vorbemerkungen	242
5.2 Vektor- und Matrizennormen	242
5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten	244
5.4 Das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren,Iteration in Einzelschritten	253
5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren	255
5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren.SOR-Verfahren	255
5.6.1 Sch¨atzung des Relaxationskoeffizienten.Adaptives SOR-Verfahren	256
Kapitel 6 Systeme nichtlinearer Gleichungen	259
6.1 Aufgabenstellung und Motivation	259
6.2 Allgemeines Iterationsverfahren f¨ur Systeme	262
6.3 Spezielle Iterationsverfahren	268
6.3.1 Newtonsche Verfahren f¨ur nichtlineare Systeme	268
6.3.1.1 Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren	268
6.3.1.2 Ged¨ampftes Newton-Verfahren f¨ur Systeme	271
6.3.2 Sekantenverfahren f¨ur nichtlineare Systeme	272
6.3.3 Das Verfahren des st¨arksten Abstiegs(Gradientenverfahren) f¨ur nichtlineare Systeme	273
6.3.4 Das Verfahren von Brown f¨ur Systeme	275
6.4 Entscheidungshilfen f¨ur die Auswahl der Methode	276
Kapitel 7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen	277
7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen	277
7.2 Diagonal¨ahnliche Matrizen	278
7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises	280
7.3.1 Bestimmung des betragsgr¨oßten Eigenwertesund des zugeh¨origen Eigenvektors	280
7.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes	287
7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren	287
7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen	289
7.5 Das Verfahren von Krylov	290
7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte	290
7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter,symmetrischer, tridiagonaler Matrizen mit Hilfedes QD-Algorithmus	293
7.7 Transformationen auf Hessenbergform,LR- und QR-Verfahren	294
7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform	294
7.7.2 LR - Verfahren	298
7.7.3 QR - Verfahren	300
7.8 Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoreneiner Matrix nach den Verfahren von Martin,Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson	301
7.9 Entscheidungshilfen	302
7.10 Anwendungsbeispiel	303
Kapitel 8 Lineare und nichtlineare Approximation	308
8.1 Aufgabenstellung und Motivation	308
8.2 Lineare Approximation	311
8.2.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation	311
8.2.2 Kontinuierliche lineare Approximationim quadratischen Mittel	313
8.2.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel	319
8.2.3.1 Normalgleichungen f¨ur den diskreten linearen Ausgleich	319
8.2.3.2 Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynomeunter Verwendung orthogonaler Polynome	325
8.2.3.3 Lineare Regression. Ausgleich durch lineare algebraische Polynome	327
8.2.3.4 Householder-Transformationzur L¨osung des linearen Ausgleichsproblems	330
8.2.4 Approximation von Polynomendurch Tschebyscheff-Polynome	333
8.2.4.1 Beste gleichm¨aßige Approximation, Definition	333
8.2.4.2 Approximation durch Tschebyscheff-Polynome	334
8.2.5 Approximation periodischer Funktionen	340
8.2.5.1 Kontinuierliche Approximation periodischer Funktionenim quadratischen Mittel	341
8.2.5.2 Diskrete Approximation periodischer Funktionenim quadratischen Mittel	343
8.2.5.3 Fourier-Transformation und FFT	346
8.2.6 Fehlerabsch¨atzungen f¨ur lineare Approximationen	353
8.2.6.1 Gleichm¨aßige Approximation durch algebraische Polynome	354
8.2.6.2 Gleichm¨aßige Approximation durch trigonometrische Polynome	357
8.3 Diskrete nichtlineare Approximation	359
8.3.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich	359
8.3.2 Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel	365
8.4 Entscheidungshilfen	365
Kapitel 9 Polynomiale Interpolation sowieShepard-Interpolation	367
9.1 Aufgabenstellung	367
9.2 Interpolationsformeln von Lagrange	369
9.2.1 Lagrangesche Formel f¨ur beliebige St¨utzstellen	369
9.2.2 Lagrangesche Formel f¨ur ¨aquidistante St¨utzstellen	371
9.3 Aitken-Interpolationsschemaf¨ur beliebige St¨utzstellen	372
9.4 Inverse Interpolation nach Aitken	376
9.5 Interpolationsformeln von Newton	378
9.5.1 Newtonsche Formel f¨ur beliebige St¨utzstellen	378
9.5.2 Newtonsche Formel f¨ur ¨aquidistante St¨utzstellen	381
9.6 Absch¨atzung und Sch¨atzungdes Interpolationsfehlers	384
9.7 Zweidimensionale Interpolation	389
9.7.1 Zweidimensionale Interpolationsformel von Lagrange	390
9.7.2 Shepard-Interpolation	392
9.8 Entscheidungshilfen	401
Kapitel 10 Interpolierende Polynom-Splines zurKonstruktion glatter Kurven	403
10.1 Polynom-Splines dritten Grades	403
10.1.1 Aufgabenstellung	406
10.1.2 Woher kommen Splines? Mathematische Analyse	411
10.1.3 Anwendungsbeispiele	413
10.1.4 Definition verschiedener Arten nichtparametrischerkubischer Splinefunktionen	418
10.1.5 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines	424
10.1.6 Berechnung der parametrischen kubischen Splines	441
10.1.7 Kombinierte interpolierende Polynom-Splines	449
10.1.8 N¨aherungsweise Ermittlung von Randableitungendurch Interpolation	454
10.1.9 Konvergenz und Fehlerabsch¨atzungeninterpolierender kubischer Splines	456
10.2 Hermite-Splines f¨unften Grades	458
10.2.1 Definition der nichtparametrischenund parametrischen Hermite-Splines	458
10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite-Splines	459
10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite-Splines	463
10.3 Polynomiale kubische Ausgleichssplines	468
10.3.1 Aufgabenstellung und Motivation	468
10.3.2 Konstruktion der nichtparametrischen Ausgleichssplines	472
10.3.3 Berechnung der parametrischen kubischenAusgleichssplines	480
10.4 Entscheidungshilfen f¨ur die Auswahleiner geeigneten Splinemethode	481
Kapitel 11 Akima- und Renner-Subsplines	485
11.1 Akima-Subsplines	485
11.2 Renner-Subsplines	492
11.3 Abrundung von Eckenbei Akima- und Renner-Kurven	502
11.4 Berechnung der L¨ange einer Kurve	506
11.5 Fl¨acheninhalt einer geschlossenen ebenen Kurve	509
11.6 Entscheidungshilfen	512
Kapitel 12 Zweidimensionale Splines,Oberfl¨achensplines, B´ezier-Splines, B-Splines	513
12.1 Interpolierende zweidimensionalePolynomsplines dritten Gradeszur Konstruktion glatter Fl¨achen	513
12.2 Zweidimensionale interpolierendeOberfl¨achensplines	527
12.3 B´ezier-Splines	530
12.3.1 B´ezier-Spline-Kurven	531
12.3.2 B´ezier-Spline-Fl¨achen	535
12.3.3 Modifizierte (interpolierende) kubische B´ezier-Splines	543
12.4 B-Splines	544
12.4.1 B-Spline-Kurven	544
12.4.2 B-Spline-Fl¨achen	550
12.5 Anwendungsbeispiel	555
12.6 Entscheidungshilfen	560
Kapitel 13 Numerische Differentiation	562
13.1 Aufgabenstellung und Motivation	562
13.2 Differentiation mit Hilfe einesInterpolationspolynoms	563
13.3 Differentiation mit Hilfeinterpolierender kubischer Polynom-Splines	566
13.4 Differentiation mit dem Romberg-Verfahren	568
13.5 Entscheidungshilfen	574
Kapitel 14 Numerische Quadratur	575
14.1 Vorbemerkungen	575
14.2 Konstruktion vonInterpolationsquadraturformeln	578
14.3 Newton-Cotes-Formeln	581
14.3.1 Die Sehnentrapezformel	583
14.3.2 Die Simpsonsche Formel	589
14.3.3 Die 3/8-Formel	593
14.3.4 Weitere Newton-Cotes-Formeln	597
14.3.5 Zusammenfassung zur Fehlerordnungvon Newton-Cotes-Formeln	601
14.4 Quadraturformeln von Maclaurin	602
14.4.1 Die Tangententrapezformel	602
14.4.2 Weitere Maclaurin-Formeln	605
14.5 Die Euler-Maclaurin-Formeln	606
14.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln	609
14.7 Quadraturformeln von Gauß	611
14.8 Berechnung von Gewichten und St¨utzstellenverallgemeinerter Gauß-Quadraturformeln	615
14.9 Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis	618
14.10 Das Verfahren von Romberg	619
14.11 Fehlersch¨atzung und Rechnungsfehler	626
14.12 Adaptive Quadraturverfahren	628
14.13 Konvergenz der Quadraturformeln	629
14.14 Anwendungsbeispiel	631
14.15 Entscheidungshilfen f¨ur die Auswahlder geeigneten Methode	632
Kapitel 15 Numerische Kubatur	633
15.1 Problemstellung	633
15.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln	635
15.3 Newton-Cotes-Formelnf¨ur rechteckige Integrationsbereiche	638
15.4 Das Romberg-Kubaturverfahren f¨urRechteckbereiche	646
15.5 Gauß-Kubaturformeln f¨ur Rechteckbereiche	649
15.6 Berechnung des Riemannschen Fl¨achenintegralsmit bikubischen Splines	652
15.7 Vergleich der Verfahren anhand von Beispielen	652
15.8 Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche	657
15.8.1 Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten	657
15.8.1.1 Newton-Cotes-Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche mitachsenparallelen Katheten	657
15.8.1.2 Gauß-Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten	660
15.8.2 Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche allgemeiner Lage	664
15.8.2.1 Newton-Cotes-Kubaturformelnf¨ur Dreieckbereiche allgemeiner Lage	665
15.8.2.2 Gauß-Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche allgemeiner Lage	668
15.9 Entscheidungshilfen	671
Kapitel 16 Anfangswertprobleme bei gew¨ohnlichenDifferentialgleichungen	672
16.1 Problemstellung	672
16.2 Prinzip der numerischen Verfahren	673
16.3 Einschrittverfahren	674
16.3.1 Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy	674
16.3.2 Das verbesserte Euler-Cauchy-Verfahren	677
16.3.3 Praediktor-Korrektor-Verfahren von Heun	682
16.3.4 Explizite Runge-Kutta-Verfahren	686
16.3.4.1 Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren	686
16.3.4.2 Klassisches Runge-Kutta-Verfahren	686
16.3.4.3 Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta-Formeln	692
16.3.4.4 Einbettungsformeln	697
16.3.5 Implizite Runge-Kutta-Verfahren vom Gauß-Typ	709
16.3.6 Gemeinsame Darstellung aller Einschrittverfahren.Verfahrensfunktion eines Einschrittverfahrens. Konsistenz	711
16.3.7 Fehlersch¨atzung und automatische Schrittweitensteuerung	713
16.3.7.1 Fehlersch¨atzung	713
16.3.7.2 Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung.Adaptive Anfangswertprobleml¨oser	714
16.4 Mehrschrittverfahren	717
16.4.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren	717
16.4.2 Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth	718
16.4.3 Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton	720
16.4.4 Verfahren von Adams-St¨ormer	726
16.4.5 Fehlersch¨atzungsformeln f¨ur Mehrschrittverfahren	727
16.5 Extrapolationsverfahren vonBulirsch-Stoer-Gragg	728
16.6 Stabilit¨at	730
16.6.1 Vorbemerkungen	730
16.6.2 Stabilit¨at der Differentialgleichung	731
16.6.3 Stabilit¨at des numerischen Verfahrens	731
16.7 Steife Differentialgleichungssysteme	736
16.7.1 Problemstellung	736
16.7.2 Kriterien f¨ur Steifheit eines Systems	736
16.7.3 Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme	737
16.8 Entscheidungshilfen bei derWahl des Verfahrens	741
Literaturverzeichnis	745
Sachwortverzeichnis	757

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