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E-Book

Numerische Mathematik

Eine beispielorientierte Einführung

Autor	Michael Knorrenschild
Verlag	Carl Hanser Fachbuchverlag
Erscheinungsjahr	2017
Seitenanzahl	186 Seiten
ISBN	9783446452619
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	11,99 EUR

Die wichtigsten Themen der numerischen Mathematik
Dieses kompakte Buch deckt die wichtigsten Themen der numerischen Mathematik ab: Grundlagen der Gleitpunktarithmetik, numerische Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen, Interpolation, Ausgleichsrechnung, numerische Differenziation und Integration sowie Grundlegendes zum numerischen Lösen von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differenzialgleichungen.
Das Buch wendet sich an Studierende der Ingenieurwissenschaften mit dem Ziel, sie mit wesentlichen Prinzipien und Algorithmen der Numerik vertraut zu machen. Die Begriffe und Methoden werden präzise formuliert und ihr Hintergrund veranschaulicht. Zugunsten einer Vielzahl von Beispielen und Aufgaben wird auf Beweise verzichtet. Dadurch eignet sich dieser Band besonders gut zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.

Prof. Dr. rer. nat. Michael Knorrenschild lehrt seit vielen Jahren Mathematik für Ingenieure und Informatiker an der Hochschule Bochum.

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Blick ins Buch

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis	7
1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen	10
1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik	10
1.2 Auslöschung	17
1.3 Fehlerrechnung	18
1.3.1 Fehlerfortpflanzung in arithmetischen Operationen	18
1.3.2 Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen	19
2 Numerische Lösung von Nullstellenproblemen	26
2.1 Problemstellung	26
2.2 Das Bisektionsverfahren	26
2.3 Die Fixpunktiteration	28
2.4 Das Newton-Verfahren	33
2.5 Konvergenzgeschwindigkeit	37
3 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme	40
3.1 Problemstellung	40
3.2 Der Gauß-Algorithmus	41
3.3 Fehlerfortpflanzung beim Gauß-Algorithmus und Pivotisierung	46
3.4 Dreieckszerlegungen von Matrizen	48
3.4.1 Die LR-Zerlegung	48
3.4.2 Die Cholesky-Zerlegung	50
3.4.3 Die QR-Zerlegung	53
3.5 Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen	60
3.6 Iterative Verfahren	65
4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme	73
4.1 Problemstellung	73
4.2 Das Newton-Verfahren für Systeme	74
5 Interpolation	79
5.1 Problemstellung	79
5.2 Polynominterpolation	80
5.2.1 Das Neville-Aitken-Schema	85
5.2.2 Der Fehler bei der Polynominterpolation	86
5.3 Splineinterpolation	90
5.3.1 Problemstellung	90
5.3.2 Interpolation mit kubischen Splines	92
6 Ausgleichsrechnung	99
6.1 Problemstellung	99
6.2 Lineare Ausgleichsprobleme	100
6.3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme	107
6.4 Das Gauß-Newton-Verfahren	109
7 Numerische Differenziation und Integration	113
7.1 Numerische Differenziation	113
7.1.1 Problemstellung	113
7.1.2 Differenzenformeln für höhere Ableitungen	118
7.1.3 Differenzenformeln für partielle Ableitungen	119
7.1.4 Extrapolation	120
7.2 Numerische Integration	127
7.2.1 Problemstellung	127
7.2.2 Interpolatorische Quadraturformeln	131
7.2.3 Der Quadraturfehler	131
7.2.4 Transformation auf das Intervall [a, b]	133
7.2.5 Der Fehler der summierten Quadraturformeln	135
7.2.6 Newton-Cotes-Formeln	137
7.2.7 Gauß-Formeln	137
7.2.8 Extrapolationsquadratur	140
7.2.9 Praktische Aspekte	144
8 Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen	146
8.1 Problemstellung	146
8.2 Das Euler-Verfahren	148
8.3 Praktische Aspekte	154
8.4 Weitere Einschrittverfahren	155
8.5 Weitere Verfahren	161
Lösungen	163
Literaturverzeichnis	182
Sachwortverzeichnis	183

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