Textprobe: Einleitung: In der Strukturtheorie assoziativer Algebren spielen das Nilradikal und seine Faktorstruktur eine zentrale Rolle. Das Nilradikal führt zur Untersuchung nilpotenter und seine Faktorstruktur zur Untersuchung halbeinfacher Algebren. Ist die Radikalfaktorstruktur einer endlich-dimensionalen assoziativen unitären Algebra separabel, so besagt der Satz von Wedderburn-Malcev, dass die Algebra eine zur Radikalfaktorstruktur isomorphe Teilalgebra besitzt und dass je zwei solche Teilalgebren, die in dieser Arbeit auch Radikalkomplemente genannt werden, unter der Einheitengruppe der Algebra konjugiert sind. Eine Einführung in diese Theorie wird im ersten Kapitel dieser Arbeit bereitgestellt. Dort betrachten wir auch Beispiele separabler Algebren und Beispiele zur Thematik des Satzes von Wedderburn-Malcev. In der gängigen Literatur wird der Satz von Wedderburn-Malcev durchweg nur für unitäre Algebren bewiesen. Anschließend wird kurz erwähnt, dass jede Algebra in eine unitäre eingebettet und demzufolge der Satz auch für nicht notwendig unitäre Algebren gilt (vgl. z.B. [4], erster Absatz auf Seite 3). Somit ist ein Vorschlag für diese Erweiterung vorhanden, doch existiert in der gängigen Literatur kein Beweis dazu. Deswegen widmen wir uns diesem Beweis in Kapitel 2 dieses Werkes. Durch eine genaue Analyse der im ersten Abschnitt dieses Kapitels (Adjunktion einer Eins) vorgestellten Einbettung sowie durch eine Untersuchung halbeinfacher Algebren in Hinblick auf die Existenz eines Einselementes können wir im zweiten Abschnitt die Existenzaussage des Satzes von Wedderburn-Malcev für nicht notwendig unitäre Algebren beweisen. Danach stellt sich die Frage, in welchem Sinne zwei Radikalkomplemente in nicht-unitären Algebren konjugiert sein könnten. Deswegen betrachten wir im dritten Abschnitt die Sterngruppe, eine Verallgemeinerung der Einheitengruppe einer assoziativen Algebra. Das Zusammenspiel der Sterngruppe mit der Adjunktion einer Eins wird untersucht mit dem Ergebnis, dass je zwei Radikalkomplemente unter der Sterngruppe konjugiert sind. Das bedeutet, dass die Sterngruppe vermöge Konjugation transitiv auf der Menge der Radikalkomplemente operiert. Demzufolge widmen wir uns im vierten Abschnitt dieser Operation und bestimmen den zugehörigen Stabilisator und somit auch die Kardinalität der Menge der Radikalkomplemente. Im Falle der Algebra der unteren Dreiecksmatrizen werden wir diese Kardinalität explizit berechnen. Im letzten Abschnitt des zweiten Kapitels beginnen wir mit der Untersuchung von Verträglichkeitsbeziehungen des Satzes von Wedderburn-Malcev mit Teil- und Faktorstrukturen. Dabei liegt dieser Untersuchung die Idee zu Grunde, aus Radikalkomplementen der Algebra Radikalkomplemente für Teil- und Faktorstrukturen zu gewinnen. Dass keine allgemeinen Resultate für Teilalgebren zu erwarten sind, wird an einem Beispiel gezeigt. Allerdings liefern eine Schnittbildung bei zentralen Teilalgebren und Idealen sowie eine Faktorisierung bei Faktorstrukturen befriedigende Ergebnisse. Da unter den Voraussetzungen des Satzes von Wedderburn-Malcev die Existenz eines Radikalkomplementes garantiert wird, stellen sich sofort zwei Fragen: Wie berechnet man konkret ein Radikalkomplement und wie stellt man ein Element der Algebra als Summe aus einem Radikalelement und einem Element eines Radikalkomplementes konstruktiv dar? Diesen Fragen und der der Verträglichkeit mit Teilstrukturen gehen wir in den nächsten Kapiteln nach, sie sind die Hauptfragen dieser Arbeit. Allerdings spezialisieren wir nun die betrachteten Algebren und erhalten dadurch Antworten auf unsere Fragestellungen. In Kapitel 3 betrachten wir auflösbare assoziative Algebren, die in der einschlägigen Literatur noch nicht behandelt wurden. Lediglich in [2] werden einige verblüffende Strukturaussagen über auflösbare Algebren hergeleitet, nicht zuletzt motiviert durch Solomons Algebra und deren enge Verknüpfung mit der Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen. Der Begriff der auflösbaren Algebra erweitert in natürlicher Weise den der kommutativen Algebra. Deshalb dient die Einführung und Analyse dieser Algebren hier auch der Vorbereitung des letzten Kapitels. Im ersten Abschnitt des dritten Kapitels sehen wir, dass die endlich-dimensionalen auflösbaren Algebren diejenigen mit kommutativer Radikalfaktorstruktur sind. In Abschnitt zwei zeigt sich dann, dass eine endlich-dimensionale assoziative Algebra für einen Körper der Charakteristik ungleich 2 genau dann auflösbar ist, wenn ihre assoziierte Lie-Algebra auflösbar ist. Mit dem Satz von Cartan erhalten wir daraus eine Kennzeichnung auflösbarer assoziativer Algebren mittels einer gewissen symmetrischen Bilinearform. Die Kennzeichnung auflösbarer assoziativer Algebren durch ihre assoziierte Lie-Algebra wirft die Frage auf, wie die auflösbaren Stufen der beiden Algebren zusammenhängen. Dieser Frage gehen wir durch Behandlung der Dreiecksmatrizen nach, und es zeigt sich, dass in den Beispielen diese Stufen und die ihrer auflösbaren Einheitengruppe übereinstimmen. An einem etwas größeren Beispiel werden die Resultate des dritten Kapitels konkretisiert und abschließend die Bedeutung der Dreiecksmatrizen für auflösbare assoziative Algebren untersucht. Die in Kapitel 4 betrachteten Algebren, die von den verallgemeinerten Quaternionenalgebren abgeleitet werden können, liefern Beispiele für kommutative Algebren. Mit diesen Algebren werden die Resultate des fünften Kapitels illustriert. Des Weiteren wird eine Algebra, die zwei nicht-konjugierte Radikalkomplemente besitzt, vorgestellt. In der gängigen Literatur findet man zu dieser Fragestellung nur sehr wenige Beispiele. Schließlich werden in einem Exkurs die in Kapitel 4 betrachteten Algebren in Hinblick auf Isomorphie klassiziert. Bezüglich der Hauptfragen dieser Arbeit werden die meisten Ergebnisse bei kommutativen Algebren (Kapitel 5) erzielt. Diese Algebren zeichnen sich dadurch aus, dass sie genau ein Radikalkomplement besitzen. Standardbeispiele kommutativer Algebren sind Zentren von Algebren. Mit der Idee der Verträglichkeit können wir das Radikalkomplement des Zentrums von 'außen' beschreiben: Schnittbildung jedes Radikalkomplementes mit dem Zentrum liefert das Radikalkomplement des Zentrums. Bei auflösbaren assoziativen Algebren ist das Radikalkomplement des Zentrums schlicht der Schnitt aller Radikalkomplemente der Algebra. Nach dieser externen Beschreibung beschäftigen wir uns mit dem Innenleben kommutativer Algebren. Das Radikalkomplement wird als die Menge der Elemente, deren Minimalpolynom quadratfrei und separabel ist, identifiziert. Solche Elemente werden in dieser Arbeit auch vollseparabel genannt. Auch die Zerlegungsfrage kann beantwortet werden, indem die Jordan-Zerlegung für Zerfallsendomorphismen verallgemeinert wird. Diese Zerlegung kann durch Lösen von Kongruenzen im Polynomring berechnet werden. In der vorgestellten allgemeineren Version müssen, grob gesagt, zusätzlich nur Divisionen mit Rest durchgeführt werden. Bei der Verallgemeinerung der Jordan-Zerlegung treten zwei Teilalgebren auf, die den Zusammenhang mit der bekannten Jordan-Zerlegung für Zerfallsendomorphismen klären: die Teilalgebra der diagonalisierbaren und die der zerfallenden Elemente. Deswegen untersuchen wir die Beziehungen zwischen diesen beiden Teilalgebren, dem Radikal sowie dem Radikalkomplement. Dabei werden wir zunächst voraussetzen, dass die Algebra unitär ist. Mit einer Untersuchung von Minimalpolynomen bei Algebren werden schließlich die gewonnenen Ergebnisse mit der Methode aus Kapitel 2 (Adjunktion einer Eins) auf nicht notwendig unitäre Algebren erweitert. Zum Abschluss dieser Arbeit untersuchen wir auflösbare assoziative Algebren bezüglich unserer Hauptfragen. Es zeigt sich, dass wir die Zerlegungsfrage mittels der verallgemeinerten Jordan-Zerlegung beantworten und die Radikalkomplemente mit der Menge der vollseparablen Elelemente kennzeichnen können.