2 Funktionen und Algebra

2.1 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

2.1.1 Potenzen

Potenzen sind definiert als eine verkürzte Schreibweise einer Multiplikation von gleichen Faktoren. Das sieht dann so aus: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25. Das Rechnen mit Potenzen ist eigentlich gar nicht so schwer wie man oft denkt, wenn man die 7 Rechenregeln für Potenzen befolgt. Sehr wichtig ist nämlich zu beachten, dass Potenzen nicht einfach addiert werden können!

23 + 24 ≠ 27, denn 23 = 8, 24 = 16 und 27 = 128.

Bezeichnungen:

ab = c : a ist die Basis, b der Exponent und c der Potenzwert.

Rechenregeln:

2.1.2 Wurzeln

Wer verstanden hat, wie man mit Potenzen rechnet, sollte auch mit Wurzeln keine Probleme haben. Die Rechenregeln für Wurzeln sind prinzipiell dieselben wie die für Potenzen, denn Wurzeln kann man alle als Potenzen auffassen.

Bezeichnungen:

a ist der Wurzelexponent, b der Radikand (wenn a gerade ist z.B. bei Quadratwurzeln, darf b nie kleiner als 0 sein!) und c der Wurzelwert. Wenn a = 2 ist, lässt man die 2 einfach weg und meint damit automatisch die Quadratwurzel.

Rechenregeln: (Hier für Quadratwurzeln! Für alle anderen analog.)

Zwei Wurzeln werden multipliziert/ dividiert, indem die Radikanden multipliziert/ dividiert werden.

2.1.3 Potenzen mit rationalen Exponenten

In Kapitel 2.1 habt ihr die Potenzen mit ganzzahligen Exponenten kennen gelernt. Für den Exponenten ist aber auch der Bereich der rationalen Zahlen zugelassen. Die Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich als Wurzel schreiben. Die Regel hierfür lautet:

„Der Zähler des Exponenten wird zum Exponenten unter der Wurzel und den Nenner schreibt man auf die Wurzel.“

Dies kann nützlich oder sogar notwendig sein, wenn man mit Potenzen und Wurzeln in ein und demselben Rechenvorgang rechnet oder wenn man mit Potenz- oder Wurzelfunktionen arbeitet.

Damit erklärt sich auch die Aussage aus Kapitel 2.1.2, dass man alle Wurzeln auch als Potenzen auffassen kann. Die Quadratwurzel z.B. ist nach obiger Regel nichts anderes als eine Potenz mit dem Exponenten :

2.1.4 Logarithmen

Der Logarithmus ist zuerst einmal „einfach“ nur die „Umkehrung“ der Rechnung ax. So wie man eine Addition mit einer Subtraktion, eine Multiplikation mit einer Division und ein Quadrieren (und jedes andere Potenzieren) mit dem Radizieren (Wurzelziehen) rückgängig machen kann, so kann man das Logarithmieren als Umkehroperation des Exponenzierens auffassen. Für eine Gleichung der Art 2x = b ist der Logarithmus log2(b) (gelesen: „Logarithmus von b zur Basis 2“) die Lösung der Gleichung. Das heißt, der Logarithmus ist hier der gesuchte Exponent x, mit dem man die Zahl 2 potenzieren muss, um b zu erhalten. Allgemein gilt:

Wenn ax = b, dann ist loga(b) = x

Also log2 32 = 5, denn 25 = 32.

Beim Rechnen mit Logarithmen gibt es ein paar grundsätzliche Regeln, die denen der Potenzrechnung sehr ähnlich sind (es sind eigentlich die gleichen Regeln, sie sehen nur etwas „komplizierter“ aus).

Wichtig ist dabei, dass der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist! log2(0) bzw. log2(−1) ist also nicht definiert. Dies liegt daran, dass es keine Zahl x gibt, so dass 2x = 0 bzw. 2x = −1 ist.

Logarithmusgesetze

wobei das b eine beliebige natürliche Zahl ist

loga(1) = 0 und loga(a) = 1

Beispiele:

Um Potenzen, Wurzeln oder Logarithmen in den Taschenrechner einzugeben, muss man ähnlich vorgehen wie bei den Brüchen. Beim ClassPad nutzt man wieder die Taste „Keyboard“, um sich die Tastatur anzeigen zu lassen. Dort geht man dann auf „Math1“. Beim TI nutzt man wieder die Taste direkt rechts von der 9.

Übungsaufgaben: Potenzen und Wurzeln (Lösung S. →)

Aufgabe 1: Berechne!

a)

b) 23 ; 2−3 ; 242 ; 53: 52 ; 34 ∙ 43 ; 234 ; 153: 53

Aufgabe 2: Vereinfache mithilfe der Rechenregeln!

a) a3 ∙ a2 ; z3: z2 ; 5b ∙ 15b ; 25a: 5a ; a34: a12

b)

2.2 Funktionen

2.2.1 Funktionsbegriff

Um sich mit dem großen Thema der Funktionen beschäftigen zu können, muss man sich als erstes einmal klar machen, was der Begriff Funktion in der Mathematik eigentlich bedeutet. Dazu folgende formale Definition:

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Wert aus dem Definitionsbereich (x-Wert) genau einen Wert aus dem Wertebereich (y-Wert) zuordnet.

Es ist sehr wichtig, genau einen Wert zuzuordnen. Ansonsten handelt es sich um keine Funktion. Beispiele dazu folgen etwas weiter unten.

Der Definitionsbereich ist der Bereich (bzw. die Menge), in dem alle Zahlen liegen, die eingesetzt werden dürfen. Wenn eine Funktion z.B. zu der Anzahl der Brötchen den Preis zuordnet, ist der Definitionsbereich z.B. alle natürlichen Zahlen inklusive der 0. Der Wertebereich sind die Zahlen, die als Ergebnis auftreten können, also hier alle Geldbeträge in Euro. Kostet ein Brötchen 0,25 € lautet die Zuordnungsvorschrift z.B. f(x) = 0,25x. Da der y-Wert von dem x-Wert abhängig ist, weil er ja durch die Zuordnungsvorschrift berechnet wird, schreibt man f(x) (gelesen als „f von x“) an Stelle von y. Da ich zu jeder beliebigen Anzahl an Brötchen den Preis nennen kann, handelt es sich bei der Zuordnung Anzahl Brötchen → Preis in Euro (der „→“ wird gelesen als „wird zugeordnet“) um eine Funktion.

In Abbildung 1 ist die oben genannte Funktion als Graph gezeichnet. Anhand der drei gestrichelten Geraden (Parallelen zur y-Achse) sieht man, dass diese die Funktionsgerade nur einmal schneiden (und zwar in den Punkten A, B und C). Damit ist jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet. Gäbe es eine parallele Gerade zur y-Achse, die den Funktionsgraphen mehr als einmal schneidet, wäre es kein Graph einer Funktion.

Ein Beispiel hierfür ist ein Kreis, der in der zweiten Abbildung zu sehen ist.

Dort ist eine gestrichelte Gerade (wieder parallel zur y-Achse) zu sehen, die den Kreis zweimal schneidet (in den Punkten A und B). Damit gibt es einen x-Wert, dem zwei y-Werte zugeordnet sind. Aus diesem Grund kann es sich bei dem Kreis nicht um einen Graphen einer Funktion handeln.

Beispiele:

Einwohner Deutschlands → Geburtsstadt ist eine Funktion, denn jeder Einwohner hat eine Geburtsstadt.

Geburtsstadt → Einwohner Deutschlands ist keine Funktion, denn in Köln z.B. sind mehr als ein Einwohner Deutschlands geboren.

Muttersprache → Heimatland ist keine...