Textprobe: Kapitel Einleitung: Die Algebra: Sie ist strukturierend und klar, voller Witz und Wunder, wenn man ist ihr nah. Sie bleibt selten auf einer ihrer Schienen, sondern verbindet die Disziplinen. Sie zieht mich in ihren Bann, in dem ich auch mal rechnen kann. Ein Leben lang mag ich an sie denken, ob sie mir wird weitere Ergebnisse schenken? Sie ist einfach wunderbar, die Konigin, die Algebra. (Sven Wirsing, im Mai 2013) Im Jahre 2003 hielt Manfred Schocker im Oberseminar Algebrentheorie an der Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel einen Vortrag uber seine neuesten Forschungsergebnisse zu der Modul-Struktur der Solomon-Tits-Algebra Tn der symmetrischen Gruppe Sn, die spater in dem Artikel [16] im Journal of Algebra von ihm veroentlicht worden sind (Eine Vorversion zu diesem Artikel ist im Internet unter http://arxiv.org/abs/math/0505137 frei zuganglich.). Zu dieser Zeit war ich als Promotions-Student Teilnehmer an diesem Oberseminar, dass von den Professoren Dieter Blessenohl und meinem Doktorvater Hartmut Laue geleitet wird. Der anregende Vortrag von Manfred Schocker war eine der Motivationen, mich naher mit Tn zu befassen. Die Solomon-Tits-Algebra leitet sich von einer speziellen Halbgruppenstruktur auf der Menge der Simplizes eines Coxeter1-Komplexes assoziiert zur symmetrischen Gruppe ab. Sie wurde ursprunglich von Jacques Tits in einem Anhang zu der Arbeit von Louis Solomon in [18] betrachtet. Die Simplizes stehen in 1-1-Korrespondenz zu den geordneten Mengenpartitionen n der Menge n:= f1; ; ng. Die Halbgruppenstruktur auf der Menge der Simplizes des Coxeter-Systems ndet ihr Analogon auf der Menge der geordneten Mengenpartitionen wieder: Sind (P1; ; Pl) und (Q1; Qk) zwei geordnete Mengenpartitionen, so ist ihr Produkt ^n deniert durch (P1; ; Pl) ^n (Q1; ;Qk):= (P1 \ Q1; P1 \ Q2; ; P1 \ Qk; ; Pl \ Q1; Pl \ Q2; ; Pl \ Qk);. Das Symbol ; bedeutet, das leere Mengen aus diesem Tupel entfernt werden. Es kann eingesehen werden, dass die Verknupfung eine Halbgruppenstruktur auf n deniert, sowie (n) neutral und jedes Element von n ein Idempotent bzgl. ^n ist. Ist K ein Korper, so ist die zu Tn isomorphe Monoidalgebra K n in diesem Buch der Gegenstand der Forschung: die Solomon-Tits-Algebra der symmetrischen Gruppe. Manfred Schocker beschreibt in seinem Artikel die Modul-Struktur der Solomon- Tits-Algebren der symmetrischen Gruppen. Diese Beschreibung beinhaltet u.a. die Konstruktion primitiver Idempotente, die Zerlegung in unzerlegbare Prinzipal-Moduln (PIM), die Beschreibung der Cartan2-Matrix, die Bestimmung der Nilpotenzlange des Jacobson3-Radikals, eine Beschreibung eines Radikalkomplementes mit orthogonalen unzerlegbaren Idempotenten, eine Beschreibung des Ext-Quivers und der absteigenden Loewy4-Reihe, um nur einige der Ergebnisse aus seinem Artikel zu nennen. Die Grundlage seiner Resultate ist der Ubergang von der naturlichen Basis n aus Idempotenten zu einer neuen Basis aus Idempotenten, mit denen Manfred Schocker seine Untersuchungen durchfuhrt. Seine Ergebnisse bilden die Basis einiger Ergebnisse in diesem Buch. Die symmetrische Gruppe Sn agiert auf der Menge n in naturlicherweise auf den Komponenten ihrer Elemente durch (P1; ; Pl) := (P1 ; ; Pl ) fur alle (P1; ; Pl) 2 n und 2 Sn. Diese Gruppenaktion respektiert das Produkt ^n auf n, also ist der Fixraum von Sn in K n eine Teilalgebra der Solomon-Tits Algebra. Patrick Bidigare zeigt in seinem Artikel [5], dass dieser Fixraum zu der sogenannten Solomon-Algebra Dn isomorph ist, eine Algebra, die in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen eine wichtige Rolle spielt und in vielen neuen Artikeln und Arbeiten ins Blickfeld der Forschung geruckt ist. Eine gute Literaturubersicht hierzu ist z.B. in den Arbeiten von Manfred Schocker [16] und Thorsten Bauer [3] enthalten. Das Einwirken der Solomon-Algebra in verschiedenen kombinatorischen und algebraischen Kontexten veranla te Thorsten Bauer, sich in seiner Dissertation [3] mit der algebraischen Struktur der Solomon Algebren (im nicht modularen Fall) zu beschaftigen. Ein wesentlicher Schritt hierbei ist es wieder, eine neue Basis zu nden, mit der sich diese Struktur analysieren la t. Thorsten Bauer beschreibt in seiner Dissertation u.a. die Stagnation der absteigenden und aufsteigenden Lie-Zentralreihen der Solomon-Algebra, ihre Derivationen und Algebrenautomorphismen, und er analysiert im Kontext von sogenannten au osbaren assoziativen Algebren die Carter Untergruppen der Einheitengruppe sowie die Cartan-Teilalgebren der assoziierten Lie-Algebra. Dies mundet in dem rundem Ergebnis, dass die Einheitengruppen der Cartan- Teilalgebren genau die Carter-Untergruppen sind. Seine Analysen und Ergebnisse sind fur mich der zweite Anreiz, mich mit der Struktur der Solomon-Tits-Algebren der symmetrischen Gruppen auseinanderzusetzen, und zwar hinsichtlich folgender Fragestellungen: Konnen die Schlussweisen von Thorsten Bauer zu den Solomon-Algebren so verallgemeinert werden, dass sie auch fur die Solomon-Tits-Algebren anwendbar sind? Gibt es weitere Zusammenhange bzgl. der Einheitengruppe und der assoziierten Lie5-Algebra einer auosbaren assoziativen Algebra? Welche Erkenntnisse gibt es zu der assoziativen Struktur der Solomon- Tits-Algebren, welche zu ihren assoziierten Lie-Algebren, welche zu ihren Einheitengruppen? Sind diese Erkenntnisse auch ubertragbar auf die Solomon-Algebren? Diese Fragestellungen werden in diesem Buch naturlich nicht allumfassend beantwortet, doch bilden sie den Leitfaden fur die Analysen, die hier dargelegt werden. Diese schildern wir nun abschliessend im Rahmen dieser Einleitung. Es wird dabei deutlich, dass assoziative auosbare zerfallende Algebren mit selbstzentralen Radikalkomplementen eine ubergeordnete Rolle spielen. Das erste Kapitel hat einleitenden Charakter. Da K n eine assoziative idempotente Monoidalgebra ist, betrachten wir in diesem allgemeineren Kontext folgende Thematiken, die teilweise auch schon von Kenneth Brown in [6] mit Hilfe einer Aquivalenzrelation auf einem idempotenten MonoidM analysiert worden sind und hier teilweise neu bewiesen und um neue Erkenntnisse erganzt werden: Beschreibung des assoziativen Radikals von KM mittels einer Aquivalenzrelation auf M, Beschreibung der Radikalfaktorstruktur von KM, fur die der Korper ein Zerfallungskorper ist (insbesondere auch fur die Solomon-Algebra), Zerlegung der Monoidalgebra in lokale Komponenten mittels der Aquivalenzrelation auf M, Identikation der Ableitung (im assoziativen wie auch im Lie-Sinne) als das Radikal der assoziativen Algebra KM, Beschreibung, wann KM kommutativ, separabel, halbeinfach, einfach oder eine Divisionsalgebra ist und Beispiele zu selbstzentralen Radikalkomplementen der assoziativen auosbaren Algebren K 1, K 2 und K 3. In Kapitel 2, das weiterhin einen einleitenden Charakter hat, fassen wir einige Hauptergebnisse der Analyse von Manfred Schocker aus [16] bzgl. K n zusammen, angereichert um neue Erkenntnisse: Ubergang zu einer neuen Basis fur K n, mit der Manfred Schockerseine Resultate in [16] durchsichtig darstellt, Beschreibung des Radikals und eines Radikalkomplementes bzgl. dieser neuen Basis, Beschreibung samtlicher Idempotente in K n, Betrachtung der K-Raum Summe aller Idempotente in K n und Betrachtung der beiden Extremfalle der K-Raum Summe aller Idempotente (identisch mit einem Radikalkomplement oder mit der ganzen Algebra) in auosbaren Algebren. In Kapitel 3 klaren wir folgende Thematiken bzgl. Dimensionsbetrachtungen zur Solomon-Tits-Algebra: Dimension von K n: Formeln fur die Anzahl der Menge der geordneten Mengenpartionen, Dimension der Radikalfaktorstruktur: Anzahlformeln ungeordneter Mengenpartionen (Bell-Zahlen, Stirling-Zahlen), Dimension des Radikals als Dierenz dieser Dimensionen, Wachstumsbetrachtungen dieser Dimensionen und untere Schranken fur diese Dimensionen durch die Solomon-Algebra. Das vierte Kapitel betrachtet folgende Thematiken bzgl. Links- und Rechtsidealen zur Solomon-Tits-Algebra: Einbettungen von K n in K n+1: Hauptrechtsidealeigenschaft und Komplemente ihrer Bilder, K n und (Quasi)-Frobeniusalgebren, K n und Uniserialitat, K n und Lokalitat, Teilalgebren von K n isomorph zu Gruppenalgebren symmetrischer Gruppen eine spezielle Idealkette in K n basierend auf der Langenfunktion auf n, Beispiele fur Hauptlinksideale von K n, die keine Hauptrechtsideale und keine Hauptideale sind (und entsprechende Beispiele fur die anderen Variationen). In Kapitel 5 behandeln wir exkursartig einige Thematiken aus der Theorie der Duo-Algebren angeregt durch die Frage nach einem simultanen Erzeuger fur Ideale, die sowohl ein Rechts- als auch ein Linkshauptideal sind, in Bemerkung 12 am Ende des vorherigen Kapitels: positive Beantwortung der einleitenden Frage der Existenz eines simultanen Erzeugers im Rahmen von Bi-Moduln ausgewahlte Konsequenzen der Existenz eines simultanen Erzeugers bekannte Kennzeichnungen von Duo-Algebren und Erweiterungen mit Hilfe der Existenz eines simultanen Erzeugers, eine notwendige Lie-Bedingung fur Duo-Algebren und ihre Anwendung auf K n und Dn. Das sechste Kapitel behandelt folgende Thematiken zu Cartan-Teilalgebren der assoziierten Lie-Algebra von K n und allgemeiner einer assoziativen auosbaren Algebra: Beschreibung der Cartan-Teilalgebren der assoziierten Lie-Algebra von endlich-dimensionalen assoziativen unitaren Algebren mit diagonalisierbarer Radikalfaktorstruktur durch Pierce-Komponenten Kriterium fur die Existenzeines selbstzentralen Radikalkomplementes durch spezielle Pierce-Komponenten, Beschreibung der ganzen Algebra, des Radikals und der Radikalkomplemente mit Hilfe von Pierce-Komponenten bei Vorliegen von selbstzentralen Radikalkomplementen in auosbaren zerfallenden assoziativen Algebren, Selbstzentralitat der Radikalkomplemente der assoziierten Lie-Algebra von K n und Beschreibung der Cartan-Teilalgebren von K n. Kapitel 7 behandelt folgende Thematiken zur der auosbaren Einheitengruppe von K n und allgemeiner einer auosbaren assoziativen Algebra: Beschreibung der Carter-Untergruppen von E(K n) mit Hilfe allgemeiner Resultate aus [3], Beschreibung, wann die Einheitengruppe von K n abelsch bzw. nilpotent ist, Bestimmung der p-Sylow-6Untergruppe der Einheitengruppe einer auosbaren assoziativen unitaren endlich-dimensionalen K-Algebra uber einen endlichen Korper der Charakteristik p, Beschreibung und Bestimmung der Anzahl der p0-Hall-7Untergruppen der Einheitengruppe einer auosbaren assoziativen unitaren endlich-dimensionalen K-Algebra uber einen endlichen Korper der Charakteristik P, Zusammenhang zwischen Carter-Untergruppen und p0-Hall-Untergruppen, Untergruppen der Einheitengruppe einer auosbaren assoziativen unitaren endlich-dimensionalen K-Algebra uber einen endlichen Korper der Charakteristikp und Folgerungen aus den letzten beiden Thematiken fur E(K n) wie z.B. die Selbstzentralitat der p0-Hall-Untergruppen. Das Zentrum von K n und das ihrer Einheitengruppe stehen im Fokus von Kapitel 8: Zentralitat von K n, Beschreibung des Zentrums von K n durch Schnittbildung der Radikalkomplemente, direkte Unzerlegbarkeit von K n, Beschreibung des Zentrums von n mittels einer Aquivalenzrelation auf n (siehe Kapitel 1), interne Beschreibung des Zentrums der Einheitengruppe sowie von au en durch Schnittbildung der Carter-Untergruppen und Zusammenhang des Zentrums der Einheitengruppe und der Einheitengruppe des Zentrums von K n.