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Zahlen und Einheiten

In diesem Kapitel

• erfahren Sie, wie man mit Zahlen und Einheiten umgeht
  
• lernen Sie, wie man genau das richtige Maß an Präzision walten lässt
  
• erhalten Sie ein Werkzeug, das Ihnen die Umrechnung von Einheiten erleichtert
  

Wenn Sie Ihr Lehrbuch durchblättern und einen Blick auf die unterschiedlichen Übungsaufgaben werfen, die Sie in den jeweiligen Kapiteln eigenständig lösen sollen, erkennen Sie sofort, dass die Antwort fast immer aus einer Zahl besteht. Zwar wird gelegentlich auch nach einem Wirkprinzip oder der Erklärung eines Konzeptes gefragt, doch die meisten Lösungen erfordern irgendeine Art von Berechnung. Egal, ob es sich zum Beispiel um den pH-Wert einer Lösung oder die Standardbildungsenthalpie des Produktes irgendeiner chemische Reaktion handelt – in jedem Fall werden Sie relativ viel Zeit mit der Überlegung verbringen, welche Gleichungen erforderlich sind, um das gewünschte Resultat zu berechnen. Doch selbst wenn Sie die Gleichungen kennen und wissen, wie Sie die Berechnung durchführen müssen, ist es immer noch gut möglich, dass Ihre Lösung am Ende doch nicht stimmt.

Jede Lösung besteht aus ZWEI wichtigen Anteilen: (1) der Zahl und (2) der Einheit. Dazu drei einfache Beispiele:

Sobald Sie einen der beiden Teile nicht richtig angeben, ist Ihre ganze Lösung falsch. Sie sollten daher gleich von Anfang an lernen, wie Sie beide Teile der Lösung korrekt ermitteln, damit Sie nicht möglicherweise in einer Klausur entscheidende Punkte verlieren. Nehmen wir uns daher die Zeit, dieses Thema etwas detaillierter zu betrachten. (Fast alle Aufgaben in diesem Kapitel sind so einfach zu lösen, dass Sie es theoretisch überblättern könnten, und viele Fragen können Sie vermutlich mehr oder weniger intuitiv beantworten. Es geht hier aber vor allem darum, den sicheren Umgang mit der korrekten Angabe der Lösung zu üben – oder würden Sie sich in einer wichtigen Prüfung allein auf Ihre Intuition verlassen wollen?)

Wenn es ein wenig weiter unten in diesem Kapitel um Einheiten geht, werden Sie eine sehr wichtige Methode kennenlernen, mit der Sie sicherstellen, dass Ihre Lösung die richtige Einheit besitzt. Diese Methode (die man Dimensionsanalyse nennt) durchzieht dieses ganze Buch, also sollten Sie die unbedingt sicher beherrschen – je früher, desto besser.

Fangen wir aber mit dem ersten Teil jeder Lösung an: dem Zahlenwert.

Die signifikanten Stellen

Die Bedeutung der signifikanten Stellen einer Zahl lässt sich am besten anhand eines Beispiels erklären. Die Anzahl der Menschen auf der Erde liegt Schätzungen zufolge derzeit bei etwa 7,1 Milliarden – das wichtige Wort in diesem Zusammenhang ist „etwa“. Niemand kennt die exakte Zahl, es ist „nur“ ein geschätzter Wert. Angenommen, Sie sollten die gesamte Weltbevölkerung (7,1 Milliarden Menschen) auf drei Kontinente verteilen. Rein rechnerisch betrachtet wären das 7,1 Milliarden dividiert durch 3. Wenn Sie das in Ihren Taschenrechner eingeben, wird als Ergebnis der Wert 2 366 666 667 angezeigt. Die Rechnung ist zwar korrekt, dennoch können Sie ziemlich sicher sein, dass sich am Ende NICHT exakt diese Anzahl an Menschen auf jedem Kontinent befinden wird, da ja bereits unsere Ausgangszahl (7,1 Milliarden) mit zwei signifikanten Ziffern lediglich geschätzt war. Auch unser Ergebnis kann daher nur eine Schätzung sein. Wenn unsere Ausgangszahl nur zwei signifikante Ziffern besitzt (die 7 und die 1), kann unser Ergebnis nicht mehr signifikante Stellen haben als zwei. Die korrekte Antwort lautet in diesem Fall: Bei unserem Experiment landen auf jedem der drei Kontinente 2,4 Milliarden Menschen. Runden ist wichtig.

Wenn Sie ein Resultat mit mehr signifikanten Stellen wünschen, müssen Sie von einer Schätzung ausgehen, die ebenfalls mehr signifikante Stellen umfasst. In diesem Fall nehmen wir an, die Weltbevölkerung liege bei schätzungsweise 7,147 Milliarden Menschen; folglich beginnen wir mit einer Zahl mit vier signifikanten Stellen (7,147 Milliarden) und teilen diese durch 3 (wir sind ja immer noch bei der Aufgabe von gerade eben). Wenn Sie das in Ihren Taschenrechner eintippen und das Resultat nach der vierten Stelle runden, lautet die korrekte Antwort 2,382 Milliarden.

Denken Sie immer daran, dass Ihr Ergebnis in einer Prüfung auch dann falsch ist, wenn Sie Ihre Antwort mit zu vielen oder zu wenigen signifikanten Stellen angeben. Wenn Sie 2,382 333 333 Milliarden anstatt 2,382 Milliarden als Lösung eintragen, ist Ihre Antwort FALSCH – selbst wenn der Taschenrechner genau das anzeigt. Wir werden also zunächst lernen, wie Sie die Anzahl der signifikanten Stellen bestimmen. Danach zeige ich Ihnen, wie Sie herausfinden, wie viele signifikante Stellen Ihre korrekte Antwort haben muss.

Sie zählen die signifikanten Ziffern wie folgt: Beginnen Sie auf der linken Seite der Zahl und bewegen sich nach rechts, bis Sie zur ersten Ziffer ungleich Null gelangen. Mit dieser Zahl beginnen Sie zu zählen. Dazu einige Beispiele:

Nun müssen Sie festlegen, wie weit Sie zählen müssen. Enthält die Zahl ein Komma (oder ein anderes Dezimaltrennzeichen; in der angloamerikanischen Fachliteratur wird z. B. kein Komma verwendet, sondern ein Punkt), zählen Sie immer bis zum Ende:

Bei einer Zahl ohne Dezimaltrennzeichen wird üblicherweise bis zur letzten Ziffer ungleich Null gezählt:

Im letzten Beispiel deutet sich bereits ein gewisses Problem an: Angenommen, es wird berichtet, die Anzahl der Zuschauer bei einem Fußballspiel betrage ungefähr 8500. (Das können dann genauso gut 8527 oder 8496 Zuschauer sein.) Aus der Art und Weise, wie Sie die Zuschauerzahl angeben (mit zwei signifikanten Ziffern, der 8 und der 5), wird bereits deutlich, dass Sie die Zahl auf den nächsten Hunderter gerundet haben. Gerundet auf den nächsten Tausender sind es geschätzte 9000 Zuschauer (mit nur einer signifikanten Stelle). Aber was, wenn Sie wissen, dass es ganz genau 8500 Zuschauer sind, keiner mehr und keiner weniger? Wie könnten Sie anzeigen, dass diese Zahl exakt gezählt und nicht geschätzt ist? Wenn Sie lediglich die Zahl 8500 nennen, wird jeder denken, hier seien nur zwei Stellen signifikant. Mit diesem Problem beschäftigen wir uns im nächsten Abschnitt. Momentan halten wir fest, dass die Zahl 8500 zunächst einmal zwei signifikante Stellen besitzt.

Üben wir das Zählen der signifikanten Stellen noch etwas, so dass Sie diese bei Ihren Berechnungen sicher angeben können.

Beispiel

Geben Sie die Anzahl signifikanter Stellen der Zahl 0,007520 an.

Lösung

Bewegen Sie sich von der linken Seite der Zahl nach rechts bis zur ersten Ziffer ungleich Null. Beginnen Sie Ihre Zählung mit dieser Ziffer, also in diesem Fall mit der Ziffer 7:

Nun überlegen Sie, wie weit Sie zählen sollten. Da in diesem Fall die Zahl ein Dezimaltrennzeichen enthält, zählen Sie bis zum Ende der Zahl.

Diese Zahl besitzt also vier signifikante Stellen.

Aufgaben

Bestimmen Sie bitte bei jeder der folgenden Aufgaben die Anzahl der signifikanten Stellen.

1.1

0,00713200

1.2

7 843 000

1.3

1,4800

1.4

100

1.5

100,0

1.6

894,003

1.7

89 400

1.8

0,03000

1.9

74,000

Noch einmal zur Erinnerung: