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Mathematische Grundlagen

1.1 Die Sprache der Mathematik

Die Aussagen der Umgangssprache sind häufig nicht eindeutig. So wird beispielsweise das Wort „oder“ in sehr unterschiedlichem Sinne gebraucht. Im Satz „Schwimm, oder Du ertrinkst“ verbindet es zwei alternative Möglichkeiten, von denen nur eine zutreffen kann. Wenn dagegen auf einem Schild in einem Büro zu lesen ist: „Wer stiehlt oder betrügt, wird entlassen“, so wird hier das Wort „oder“ nicht im Sinne des Ausschließens gebraucht; wenn jemand stiehlt und betrügt, so wird er natürlich auch entlassen.

Für die Mathematik sind derartige Unsicherheiten untragbar und müssen daher vermieden werden. Am konsequentesten lässt sich das mithilfe der Aussagenlogik erreichen. In dieser werden den grundlegenden Verknüpfungen bestimmte Symbole zugeordnet. Beispielsweise steht das Symbol „∧“ für die Verknüpfung „und“ im Sinne von „sowohl als auch“ und das Zeichen „∨“ für die Verknüpfung „oder“ im oben als zweites genannten Sinne. Auf diese Art erhält man eine sehr kompakte, völlig eindeutige Zeichensprache. Da aber diese Sprache nur mit erheblicher Mühe gelesen werden kann und sich nicht allgemein eingebürgert hat, soll sie im vorliegenden Buch nicht verwendet werden. Wir wollen uns vielmehr bemühen, die gewöhnliche Sprache in möglichst eindeutiger Weise zu benutzen.

Um das zu erreichen, müssen wir vor allem auf die Formulierung mathematischer Sätze eingehen. Sie wird gewöhnlich nach dem folgenden Schema vorgenommen: Man legt zunächst die Voraussetzungen dar, unter denen der Satz gilt, und gibt dann den Satz in Form einer Behauptung an. Natürlich muss die Richtigkeit der Behauptung mit einem Beweis sichergestellt werden, doch in diesem Buch verzichten wir weitestgehend auf Beweise und verweisen hierfür auf die mathematische Literatur.

Von besonderem Interesse ist die Frage, ob die Umkehrung eines gegebenen Satzes, die man durch eine Vertauschung der Behauptung und Voraussetzung erhält, richtig ist. Damit dies der Fall ist, muss im ursprünglichen Satz aus dem Zutreffen der Behauptung das Zutreffen der Voraussetzung folgen. Mathematische Sätze, für die das gilt, nennt man umkehrbar. Nicht alle mathematischen Aussagen sind umkehrbar.

Wenn auch die Umkehrung eines Satzes richtig ist, so nennt man dessen Voraussetzung eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Behauptung. Man sagt z. B.: „Die Bedingung, dass die Winkel in einem Dreieck gleich sind, ist hinreichend und notwendig dafür, dass auch die Seiten gleich sind.“ Kürzer kann man das auch in folgender Weise formulieren: „Die Seiten eines Dreiecks sind genau dann gleich, wenn die Winkel gleich sind.“ Ist ein Satz nicht umkehrbar, so nennt man die Voraussetzung nur eine hinreichende Bedingung. Man sagt z. B.: „Die Bedingung, dass a und b ungerade sind, ist hinreichend dafür, dass a + b gerade ist.“ (Sie ist nicht notwendig, denn auch bei geraden Zahlen a und b ist die Summe geradzahlig.) Schließlich gibt es auch Bedingungen, die nur notwendig sind.

Man sieht daraus: Aus dem zu Beginn dieses Abschnitts angegebenen Schema „Voraussetzung und Behauptung“ kann man jeweils nur entnehmen, dass die Voraussetzung hinreichend ist. Will man angeben, ob die Voraussetzung auch eine notwendige Bedingung ist, muss man den Satz ausführlicher formulieren, so wie das eben angedeutet wurde.

1.2 Mengenlehre

Was ist eine Menge? Eine Menge erhält man durch die Zusammenfassung von irgendwelchen Objekten unserer Anschauung. Die entsprechenden Objekte nennt man Elemente der Menge. Die Objekte „Haus, Katze und Schornstein“ z. B. bilden eine Menge von drei Elementen. Ebenso bilden die ganzen Zahlen oder die Gesamtheit aller chemischen Reaktionen, bei denen Sauerstoff frei wird, jeweils eine Menge. Die Elemente einer bestimmten Menge kann man entweder durch Aufzählung angeben, wie das im ersten Beispiel getan wurde, oder durch Angabe irgendwelcher Merkmale, an denen man die Zugehörigkeit eines Elementes zur Menge erkennen kann, wie beim zweiten und dritten Beispiel. Bei der Aufzählung pflegt man die Elemente zwischen geschweifte Klammern zu setzen. Wenn zum Beispiel die Menge M aus den Elementen a und b besteht, so schreibt man:

Enthält die Menge kein einziges Element, so spricht man von einer leeren Menge und bezeichnet diese mit dem Symbol ∅. Elemente einer Menge werden nur einmal aufgelistet, d. h., es gibt keine Mengen der Form {a, a, b}. Außerdem spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, d. h., die Menge {a, b} kann auch als {b, a} geschrieben werden.

Mengen von Zahlen, die bestimmten Eigenschaften genügen, schreibt man in der Form {x : x …}, wobei die Punkte die Eigenschaften angeben. So lautet beispielsweise die Menge aller Zahlen 1, 2, 3, …, die gerade sind, {x : x ist eine gerade Zahl}; diese Menge kann natürlich auch als {2, 4, 6, …} geschrieben werden.

Wir betrachten nun zwei Mengen M1 und M2. Unter der Vereinigung von M1 und M2 versteht man diejenige Menge, die durch Vereinigung aller Elemente aus M1 und M2 entsteht. Man bezeichnet die Vereinigung mit M1 ∪ M2. Die Elemente aus M1 ∪ M2 sind also Elemente aus M1 oder aus M2:

Der Durchschnitt von M1 und M2 wird durch diejenigen Elemente gebildet, die beiden Mengen gemeinsam angehören. Man bezeichnet ihn mit M1 ∩ M2. Es gilt also:

Die Restmenge M1\M2 (gelesen: „M1 ohne M2“) enthält alle Elemente aus der Menge M1, die nicht Element aus M2 sind:

Das kartesische Produkt der beiden Mengen wird durch alle Elemente gebildet, die man durch Zusammenfassung je eines Elementes aus M1 mit einem Element aus M2 erhält. Man bezeichnet es mit M1 × M2: