Textprobe: Kapitel 3, Der Value-at-Risk als Maßgröße für das Risikopotential: Nachstehend werden zunächst die Anforderungen an Risikomaße erläutert bzw. einfache Risikomaße, der Value-at-Risk bzw. der Expected Shortfall definiert. Abschließend wird ein Vergleich zwischen den Risikomaßen VaR und ES vorgenommen. 3.1, Anforderungen an ein Risikomaß: Es wurden bereits die generellen Anforderungen an die Risikoquantifizierung erläutert. Da zur Risikoquantifizierung ein Risikomaß (Maß mit dem es möglich ist, die (Gesamt)- Risikoposition eines Unternehmens zu erfassen) benötigt wird, wird auch kurz auf die Eigenschaften, die Risikomaße erfüllen sollen, eingegangen. Wie bereits erwähnt, entwickelten Artzner et al. ein mittlerweile allgemein anerkanntes axiomatisches System, mit dem Risikomaße bewertet werden können. Ein Risikomaß r wird hierbei als eine Abbildung definiert, die jedem Portfolio mit dem zukünftigen Wert X eine Zahl r(X) zuweist. Ein Risikomaß soll den folgenden vier Kohärenzeigenschaften genügen: Subadditivität: Das Risiko eines aggregierten Portfolios darf nicht größer sein als die Summe seiner Einzelrisiken (Grundlage der Diversifikation). r (X + Y) £ r (X ) + r (Y). Positive Homogenität: Wird eine riskante Position um einen positiven Faktor t erhöht, steigt das Risiko proportional. r (t × X ) £ t ×r (X ) wenn t > 0. Monotonie: Das Risiko einer Position X, deren Wert in jedem Zustand nicht größer ist als der Wert einer Position Y, ist höher als das Risiko der Position Y. r (X ) ³ r (Y) wenn X £ Y. Translationsinvarianz: Bei Hinzunahme eines sicheren Betrages n zur Position X, wird das Risiko genau um diesen sicheren Betrag n reduziert. r (X + n) = r (X ) ? n wenn n > 0. Ein Risikomaß ist kohärent, wenn es über alle vier Kohärenzeigenschaften verfügt. Es gewährleistet, dass die Konvexität der Risikofunktion (durch die positive Homogenität in Verbindung mit der Subadditivität) sichergestellt ist und dass eine Portfolio-Optimierung (Minimierung des Risikos) auf der Grundlage dieses Risikomaßes möglich ist. Das Risikomaß Value-at-Risk, welches für diese Arbeit im Vordergrund steht, verstößt gegen das Axiom der Subadditivität (außer bei Risiken, denen man eine Normalverteilung unterstellen kann. 3.2, Darstellung einfacher Risikomaße: Zur Messung des Risikos bedarf es eines Risikomaßes, wie zB der Standardabweichung, Varianz, Kovarianz, Korrelation, Erwartungswert, Value-at-Risk, Expected Shortfall etc. Bevor näher auf den Value-at-Risk bzw. Expected Shortfall eingegangen wird, werden zu Beginn einfache Risikomaße definiert: Erwartungswert: Er ist der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Durchschnitt aller Ergebnismöglichkeiten und wird gebildet indem zunächst jeder mögliche Wert der Zufallszahl mit seiner Wahrscheinlichkeitsdichte multipliziert wird und nachfolgend alle gewichteten Werte aufaddiert werden.