Textprobe: Kapitel 3, Anwendung in der Schule: Nachdem ich mich nun mit den verschiedenen Primzahltests beschäftigt habe, möchte ich mich, wie bereits in der Einleitung angekündigt, mit der Anwendungstauglichkeit für die Schule befassen. Auch werde ich untermauern, warum ich gerade das SIEB DES ERATOSTHENES für sehr geeignet in der Schule halte und welche anderen Test sich ebenfalls anbieten würden. Zu erst werde ich untersuchen, wie die verschiedenen Lehrpläne der 16 deutschen Bundesländer gestaltet sind. Wo sich überall schon Primzahlen und vielleicht auch Primzahltests wiederfinden, welche Unterschiede sich erkennen lassen und selbstverständlich, ob es vielleicht deutschlandweite Gemeinsamkeiten im Bezug auf Primzahlen im Unterricht gibt, obwohl seit der Gründung der Bundesrepublik 'Bildung' eine Sache der Länder ist und dies auch im Grundgesetz verankert ist. 3.1, Lehrplananalyse: Bei der Suche nach Informationen über die Verwendung von Primzahlen im Unterricht fällt auf, dass die einzelnen Länder ein mehr oder weniger breites Spektrum an Schultypen haben und dementsprechend verschiedenen Lehrpläne, welche ich alle über den deutschen Bildungsserver bezogen habe ([fIPF]). Auch sind von der Umstellung in vielen alten Bundesländern vom neunjährigen auf das achtjährige Gymnasium noch Lehrpläne im Auslaufen, während die neuen schon in den ersten Jahrgängen angewendet werden. Darüber hinaus gibt es, vor allem in Bayern, schon vorläufige Lehrpläne, die bereits publik sind, aber noch keine Anwendung im gesamten Bundesland finden. Allgemein habe ich allerdings festgestellt, dass sich in allen Ländern die Primzahlen, sofern sie überhaupt im Lehrplan vorgesehen sind, bis zur Klasse 6 (mit einer Ausnahme) ansiedeln. Durch die unterschiedlich lange Dauer der Grundschule (4 oder 6 Jahre) und der damit verschobenen Eingrenzung der Sekundarstufe I (5. - 10. Klasse oder 7. - 10. Klasse) möchte ich auf eine Klassifizierung in dieser Hinsicht verzichten. Weiterhin sind in den verschiedenen Bundesländern verschiedenen Schultypen vorhanden, die zum Teil nur anders benannt, aber prinzipiell dasselbe darstellen, teilweise sich aber gänzlich in wesentlichen Dingen unterscheiden und somit nur in einem bestimmten Land vorkommen. Ein Beispiel für den ersten Sachverhalt ist die Benennung der Mittelschule in Sachsen mit dem Thüringer Pendant der Regelschule. Anders sieht es in Schleswig-Holstein aus. Hier gibt es ein Gymnasium und eine Gesamtschule, wobei die Gesamtschule aber auch bis zur Sekundarstufe II geleitet wird, was aber nicht in jedem Land, in dem es eine Gesamtschule gibt, der Fall ist. Um das Gesamte zu konkretisieren, habe ich festgestellt, dass bis auf die Länder Baden-Württemberg, Mecklenburg-Vorpommern und Nordrhein-Westfalen alle übrigen Bundesländer Primzahlen in ihren Lehrplänen verankert haben und explizit erwähnen. In den meisten anderen Bundesländern wird in der sogenannten Orientierungsstufe (Klasse 5 und 6), welche bei einigen Bundesländern noch in den Grundschulbereich, bei anderen bereits in den Gymnasial- und Mittelschulbereich gehört, die Bearbeitung von Primzahlen, im Zusammenhang mit den Eigenschaften von natürlichen Zahlen erkundet. Die Schüler sollen eine Primzahl erkennen, müssen also mit dem Begriff umgehen können. Oft tritt in diesem Zusammenhang der explizite Hinweis auf die Beschäftigung mit dem SIEB DES ERATOSTHENES auf. So in Berlin und Brandenburg (Grundschule, 6. Klasse), im Saarland, wo in der 4. Klasse der Grundschule das Sieb genutzt wird, um die Primzahlen bis 100 herauszufinden und es in der erweiterten Realschule und der Gesamtschule in der Orientierungsstufe als Verfahren der Primzahlbestimmung erläutert werden können muss. Interessant ist, dass am Gymnasium das Sieb nur fakultativ ist, genauso wie der SATZ VON EUKLID mit Beweis, dafür aber die Primfaktorzerlegung mit Potenzschreibweise im Unterricht behandelt wird. Ebenso wie der EUKLIDISCHE ALGORITHMUS als eine Möglichkeit, den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen. Auch in Sachsen steht das SIEB DES ERATOSTHENES auf dem Lehrplan der Mittelschulen in Klasse 5. Am Gymnasium müssen die Schüler laut Lehrplan in der 5. Klasse Primzahlen nur kennen. Allerdings gibt es in Klasse 6 ein Wahlpflichtgebiet, welches Primzahlen heißt und sich mit der Bedeutung von Primzahlen für zusammengesetzte Zahlen mit Ausblick auf die Kryptologie beschäftigt. Des Weiteren werden Zahlen in Primfaktoren zerlegt, die Siebmethode wird behandelt und es wird ein Ausblick gegeben, wie die Wissenschaft versucht, eine Formel für Primzahlen zu finden. Es kann der Beweis geführt werden, dass es keine größte Primzahl gibt. Außerdem sollen die Schüler Einblick in zahlentheoretische Probleme wie die Primzahlzwillinge, die Umsetzung des EUKLIDISCHEN ALGORITHMUS und noch vieles andere bekommen. In vielen Ländern wird auch die Primfaktorzerlegung behandelt, so beispielsweise in Sachsen-Anhalt, Hessen, Hamburg und im neuen Lehrplan von Bayern für das achtjährige Gymnasium. Im alten Lehrplan für das neunjährige Gymnasium war auch die Behandlung des Sieb des Eratosthenes in Bayern vorgesehen. Auch in Thüringen ist im neuen Lehrplan das Gebiet der Primzahlen wesentlich kleiner gefasst als im alten. Dass es auch anders geht, zeigt Hessen. Hier hat sich vom alten zum neuen Lehrplan inhaltlich nichts geändert, lediglich dass die Primzahlen jetzt in Klasse 5 statt vorher in der 6. Klasse behandelt werden. Einen kleine Anmerkung nun noch zu den weiter oben genannten Abweichungen der bloßen Behandlung von Primzahlen laut Lehrplan in der Orientierungsphase. In Rheinland- Pfalz gibt es für die Sekundarstufe II ein Angebot an verschiedenen Themen für fächerübergreifenden Unterricht. Beim Problem der Unendlichkeit wird vorgeschlagen, sich der Frage zu widmen, ob es unendlich viele Primzahlen bzw. Primzahlzwillinge gibt. Darüber hinaus gibt es in Schleswig-Holstein am Gymnasium und an der Gesamtschule in der 13. Klasse einen Substitutionskurs Mathematik und Informatik, der sich unter anderem mit der Kryptologie beschäftigt. Dabei liegt das Augenmerk vor allem auf Primzahlen und die für ihre Bestimmung so notwendigen Primzahltests. Es zeigt sich also, dass durchaus Potenzial für die Behandlung von Primalitätstests in der Sekundarstufe II vorhanden ist. Doch dazu später mehr. 3.2, Das Sieb des Eratosthenes in der Schule: Aus den gerade geführten Lehrplanvergleichen lässt sich schon ableiten, dass die Wahl des SIEB DES ERATOSTHENES (als ein gutes Beispiel für Primzahltests in der Schule) nicht willkürlich von mir war. In der Vielzahl der Lehrpläne, auch im sächsischen, wird diese Siebmethode gerade deswegen eingebracht, weil sie so einfach und leicht nachzuvollziehen ist. Der Algorithmus, der hinter dieser Siebmethode steht, ist leicht zu verstehen. Bereits Kinder am Ende der Grundschule können leicht erkennen, dass alle Vielfache einer Zahl keine Primzahl sein können und damit herausgestrichen werden. Gerade der visuelle Aspekt spricht noch mehr Lerntypen an, so dass auch Schüler, denen das Lernen auf dem klassischen Weg der Wissensvermittlung schwerer fällt, hier eine Chance haben, den Sachverhalt in einem anderen Rahmen zu verstehen. Es bietet sich nach der Einführung und Erklärung des Primzahlbegriffs an, die Schüler selbstständig arbeiten zu lassen. Dazu kann ein Arbeitsblatt erstellt werden, welches ein vorgegebenes Sieb beinhaltet (wie das von mir erstellte weiter oben), allerdings ohne Graustufungen und Striche und in der Größenordnung von 100 bis maximal 200. Dazu ist es optimal, eine schriftliche Arbeitsanweisung auszuhändigen, welche den Algorithmus in einfachenWorten wiedergibt. Dann wissen die Lernenden auch später noch, was sie getan haben und können es nachvollziehen. Eine mögliche Formulierung wäre zum Beispiel: Vor über 2200 Jahren fand der griechische Mathematiker Eratosthenes ein mathematisches Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen; es wird Sieb des Eratosthenes genannt. Dieses funktioniert nach folgendem Prinzip: Schreibt man eine Liste aller natürlichen Zahlen auf, die man überprüfen will, dann sieht das nachher z.B. für die Zahlen von 1 bis 200 so aus: 1. Nun streicht man als erstes die 1 weg, da es sich bei 1 um keine Primzahl handelt. 2. Es folgt die 2. 2 wurde bis jetzt nicht weggestrichen und ist deshalb Primzahl. Wir markieren 2 mit einem Kreis als Primzahl. 3. Wir streichen nun alle durch 2 teilbaren Zahlen, weil diese nicht Primzahlen sein können (Sie hätten jeweils die Teiler 1, 2 und sich selbst.). 4. Die 3 ist nun die nächste nicht gestrichene Zahl! Wir markieren 3 mit einem Kreis als Primzahl. 5. Wir streichen nun alle durch 3 teilbaren Zahlen, weil diese ebenfalls keine Primzahlen mehr sein können. 6. Nun wiederholen wir die Schritte 4 und 5 solange, bis alle Zahlen entweder als Primzahlen markiert oder als Nichtprimzahlen durchgestrichen sind. Danach bietet es sich an, noch einmal alle Primzahlen niederschreiben zu lassen, um eine gewisse Übersichtlichkeit zu wahren. Auch kann in jüngeren Jahren gut mit einem Buch von HANS MAGNUS ENZENSBERGER gearbeitet werden. 'DER ZAHLENTEUFEL' bezeichnet sich selbst als ein Buch, dass die Angst vor der Mathematik nehmen soll. Das Kinderbuch ist unterhaltsam geschrieben und nicht nur für Kinder geeignet. Speziell das SIEB DES ERATOSTHENES wird, ohne dass der Name genannt wird, in einer der Geschichten (vgl. Enzensberger 2007 [Enz07],S. 57 ' 61) erklärt. Hier werden die Primzahlen als 'prima Zahlen' bezeichnet. In der Geschichte erklärt der Zahlenteufel das Anfangsprinzip, lässt dann aber Platz für den Leser oder Zuhörer, selber ein Sieb auszufüllen, beziehungsweise zu vervollständigen. Gerade für den Einstiegsunterricht ist dies eine motivierende Variante, bei der die Schüler auf eine spielerische Art und Weise an Wissen gelangen. Weiterhin ermöglicht eine Unterrichtssequenz mit dieser Siebmethode differenziertes Vorgehen in der Unterrichtsgestaltung. Hat man eine pfiffige Klasse, sind die Hinweise, die man gibt, sparsam einzusetzen. Man kann darauf hinarbeiten, dass die Schüler selbst herausfinden oder zumindest begründen können, warum alle Vielfachen einer Primzahl nie prim sind und daher gestrichen werden. Man überprüft somit auch, inwieweit der Begriff von den Schülern verstanden wurde und schließlich angewendet werden kann. Bei schwächeren Schülern kann man aber auch immer wieder Impulse setzen: so dass zu erst die 1 gestrichen wird, da sie keine Primzahl ist, wie es aus der Definition und den Erklärungen, die zu diesem Thema im Vorfeld gekommen sein müssen, ersichtlich ist. Danach kann die 2 als Primzahl ausgewiesen werden, da sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Schrittweise können bei Bedarf immer mehr Hinweise gegeben werden, so dass alle Vielfachen der 2 keine Primzahlen sein können, da sie durch 1, 2 und sich selbst teilbar sind. Weiter geht es mit der Tatsache, dass die 3 die nächste nicht durchgestrichene Zahl ist und somit eine Primzahl sein muss. Dies lässt sich auch schnell überprüfen, es fallen wiederum - mit analoger Begründung - die Vielfachen weg. So kann man peu à peu auch schwächere Schüler an das Thema heranführen, ohne sie auf der einen Seite zu überfordern und ihnen aber gleichzeitig Raum geben, dass sie, sobald sie das System erkannt haben, selbständig und ohne Hilfestellung weiterarbeiten können. Es ist unglaublich motivierend, wenn sie sehen, was für ein Rest an Hinweisen noch vorhanden gewesen wäre! Für schnelle Schüler kann man das Sieb einfach vergrößern, man kann auch Besonderheiten untersuchen lassen, wie das Auftreten von Primzahlzwillingen. Konkrete Aufgabenstellungen und Arbeitsblätter findet man bei Roland Baum (Baum 2007 [Bau07]). Dieser hat die Unterrichtsstunde für eine dritte Klasse in Niedersachsen geplant. Anhand der Materialien sieht man, dass bereits in der Grundschule mit den entsprechend angepassten Aufgabenstellungen Primzahlen und das SIEB DES ERATOSTHENES behandelt werden können. Ich denke, in dem kurzen Ausschnitt hat sich doch erkennbar zeigen lassen, dass diese Art der Siebmethode viele Möglichkeiten der differenzierten Unterrichtsgestaltung bietet und sich gut und vor allem einfach visualisieren lässt. Zwei Faktoren, die sich im Mathematikunterricht nicht immer verständlich umsetzen lassen. Des Weitern spricht ein abwechslungsreiches und im verschiedenen Sinne ansprechendes Unterrichtskonzept für eine Unterrichtsstunde mit viel Potenzial. Die Erfolgswahrscheinlichkeit, dass die Schüler mit mehr Wissen nach Hause gehen, ist in so einer Stunde vielleicht nicht unbedingt höher. Aber der Eigenantrieb, die Sache zu verstehen, wird auf jeden Fall erhöht. Allerdings finde ich, und es zeigt sich auch in der Lehrplananordnung, dass sich das SIEB DES ERATOSTHENES eher für den Grund- und Sekundar I-Bereich anbietet. Für ältere Schüler dürfte es dennoch schnell trivial werden. Gerade im Hinblick auf anwendungsorientierten Mathematikunterricht zeigen sich deutlich die Schwächen des Siebes. Wie bereits weiter oben diskutiert, eignet sich die Siebmethode nicht für große Zahlen, wie sie aber in der Praxis benötigt werden. Die Verschlüsselung von Daten ist gerade in einer Zeit, wo das Internet einen immer größeren Stellenwert einnimmt, ein zentrales Thema. Hier wären auch Anknüpfungspunkte an die Lebenswelt der Schüler geschaffen. Aber gibt es denn Primzahltests, die man eingängig den Schüler erklären kann, ohne dass sie an zu vielen mathematischen Sätzen und Beweisen verzweifeln? Eignet sich der ein oder andere von mir vorgestellte Primzahltest, um eine Gruppe von Schülern in der Sekundarstufe II zu beschäftigen und zu begeistern, ohne dass sie besondere Begabungen mitbringen? Um diese Fragen soll es zumindest in Ansätzen im Folgenden und gleichzeitig letzten Kapitel meiner Arbeit gehen.