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E-Book

Statistik

Verstehen durch Experimente mit SAS®

AutorBernd Paul Jäger, Paul Eberhard Rudolph
VerlagWalter de Gruyter GmbH & Co.KG
Erscheinungsjahr2016
ReiheDe Gruyter Studium 
Seitenanzahl506 Seiten
ISBN9783110402728
FormatePUB/PDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis54,95 EUR

This book is designed for individuals who work with statistics who also have knowledge of computer programming. Often, computer scientists only understand theoretical relationships once they have programmed the corresponding mathematical operations. This work illustrates a range of indispensible theories using experiments.



Bernd Jäger, Universität Greifswald; Paul Eberhard Rudolph, Rostock.

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Inhaltsverzeichnis
Inhalt??????????????????????????5
Vorwort????????????????????????????11
1. Erzeugung von Zufallszahlen undMonte-Carlo-Experimente????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15
1.1 MID-Square-Methode von John von Neumann????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15
1.2 Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen durch Restklassenoperationen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????19
1.2.1 Restklassenoperationen und die stetige Gleichverteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????19
1.2.2 MultiplikativerGenerator von Coveyou und MacPherson????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22
1.2.3 Additiver Zufallszahlengenerator (Fibonacci-Generator)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????24
1.2.4 Gemischter Zufallszahlengenerator????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????27
1.2.5 Quadratischer Blum-Blum-Shub-Zufallszahlengenerator????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????29
1.2.6 RANDU – ein besonders schlechter Zufallszahlengenerator????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????30
1.3 Zufallszahlengeneration mit Schieberegistern??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????33
1.3.1 Allgemeines feedback shift register (GFSR)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????33
1.3.2 Twisted GFSR-Generatoren(TGFSR)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????35
1.3.3 Mersenne-Twister??????????????????????????????????????????????????????????38
1.4 Erzeugung von Zufallszahlen mit beliebiger Verteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????40
1.4.1 Methode der Transformation der Verteilungsfunktion??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????40
1.5 Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen mit irrationalen Generatoren????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????47
1.5.1 Generatoren,die auf einem Satz vonWeyl beruhen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????47
1.5.2 Van der Corput-Folgen????????????????????????????????????????????????????????????????????50
1.5.3 Irrationaler Zufallszahlengenerator von Shuhai Li und YuminWang????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????52
1.6 Erzeugung von normal verteilten Zufallszahlen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????54
1.6.1 Methode nach dem großen Grenzwertsatz der Statistik????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????55
1.6.2 Polar-Methode von Marsaglia????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????56
1.7 Monte-Carlo-Methode????????????????????????????????????????????????????????????58
1.7.1 Nadelexperiment von Buffon??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????58
1.7.2 Experimentelle Berechnung der Zahl Pi????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????61
1.7.3 Monte-Carlo-Volumenbestimmung für Kegel, Kugel und Zylinder????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????63
1.7.4 Näherungsweise Berechnung von bestimmten Integralen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????65
1.7.5 Bestimmung des Ellipsenumfangs??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????69
1.7.6 VerbesserteMonte-Carlo-Berechnung bestimmter Integrale nach Sobol????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????72
1.8 Zufallszahlenerzeugung im Softwaresystem SAS??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????75
1.8.1 RANUNI- und UNIFORM-Funktion in SAS????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????75
1.8.2 Erzeugung von Zufallszahlen mit anderen Verteilungen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????75
2. Spielexperimente????????????????????????????????????????????????????77
2.1 Würfelexperimentmit einem gewöhnlichen Spielwürfel??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????77
2.1.1 Gewöhnlicher Spielwürfel??????????????????????????????????????????????????????????????????????????77
2.1.2 GezinkterWürfel????????????????????????????????????????????????????????81
2.2 Würfeln mit zwei Würfeln??????????????????????????????????????????????????????????????????????83
2.2.1 Augensumme von zwei Würfeln????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????83
2.2.2 Maximumund Minimumder Augenzahlen zweierWürfel??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????86
2.2.3 Produkt der Augenzahlen zweier Würfel????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????88
2.3 Wurfanzahl mit einem gewöhnlichen Spielwürfel, bis erstmals eine 6 fällt??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????90
2.4 Wähle dein Glück??????????????????????????????????????????????????????93
2.5 Yahtzee oder Kniffel??????????????????????????????????????????????????????????????96
2.6 Lotto-Spiel 6 aus 49??????????????????????????????????????????????????????????????101
2.7 Klassisches Pokerspiel??????????????????????????????????????????????????????????????????104
2.8 Wie man beim Spiel Schnick-Schnack-Schnuck gewinnt??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????107
2.9 VomWerfen einerMünze zumARC-SINUS-Gesetz??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????112
3. Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Dichten, Verteilungen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????117
3.1 Urnenmodelle??????????????????????????????????????????????117
3.1.1 Binomialmodell??????????????????????????????????????????????????????118
3.1.2 Polynomialmodell??????????????????????????????????????????????????????????124
3.1.3 HypergeometrischesModell??????????????????????????????????????????????????????????????????????????130
3.2 Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????133
3.2.1 Normalverteilungen N(?, ?2)133
3.2.2 Erzeugung von zweidimensional normalverteilten Zufallszahlen mit vorgegebenem Erwartungswertvektor und vorgegebener Kovarianzstruktur????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????136
3.3 Prüfverteilungen??????????????????????????????????????????????????????144
3.3.1 ?2-Verteilung????????????????????????????????????????????????????144
3.3.2 t-Verteilung??????????????????????????????????????????????????148
3.3.3 F-Verteilung??????????????????????????????????????????????????150
3.3.4 Kolmogorov-Smirnov-Verteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????153
3.4 Wichtige Verteilungen????????????????????????????????????????????????????????????????157
3.4.1 Poisson-Verteilung („Verteilungder seltenen Ereignisse“)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????157
3.4.2 Cauchy-Verteilung????????????????????????????????????????????????????????????163
3.4.3 Betaverteilung??????????????????????????????????????????????????????165
3.4.4 Pareto-Verteilung????????????????????????????????????????????????????????????169
3.4.5 Gammaverteilung????????????????????????????????????????????????????????172
3.4.6 Weibull-Verteilung??????????????????????????????????????????????????????????????176
3.4.7 Laplace-Verteilung??????????????????????????????????????????????????????????????178
3.4.8 Maxwell-Verteilung??????????????????????????????????????????????????????????????180
3.4.9 Inverse Gauß-Verteilung oderWald-Verteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????181
3.4.10 Erlang-Verteilung??????????????????????????????????????????????????????????????185
3.4.11 Logistische Verteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????187
3.4.12 Wichtige in SAS verfügbare Verteilungen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????190
4. Punktschätzungen????????????????????????????????????????????????????193
4.1 Stichprobe und Stichprobenfunktion??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????193
4.2 Momentenmethode als Punktschätzung für Verteilungsparameter????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????194
4.2.1 Einführung der Momentenmethode an einem Beispiel??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????194
4.2.2 Genauigkeit der Schätzwerte und Verteilungder Schätzungen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????197
4.2.3 Weitere Beispiele für Momentenschätzungen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????200
4.3 Maximum-Likelihood-Schätzungen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????201
4.3.1 Einführungsbeispiel für eine diskrete Zufallsgröße??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????201
4.3.2 Einführungsbeispiel für eine stetige Zufallsgröße????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????202
4.3.3 Erwartungstreueund asymptotische Erwartungstreue von Punktschätzungen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????203
4.3.4 Varianz und asymptotische Minimalvarianz von MLH-Punktschätzungen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????207
4.4 EM-Algorithmus zur Schätzung von Allelfrequenzen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????210
4.4.1 Einleitung??????????????????????????????????????????????210
4.4.2 Herleitung des EM-Algorithmus für das AB0-Blutgruppensystem????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????211
4.4.3 EM-Algorithmus für 2-Allelen-Systeme??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????215
4.5 Sequenzielle Schätzung??????????????????????????????????????????????????????????????????218
4.5.1 Sequenzielle Schätzung des Binomialparameters p und ihre Eigenschaften??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????218
4.5.2 Erwartungswert und Varianz des zufälligen Stichprobenumfangs??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????220
4.5.3 Schätzungen für den Verteilungsparameter p der Binomialverteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????222
4.6 Sequenzielle MLH-Schätzung für Allelfrequenzen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????230
4.6.1 Allelfrequenzschätzungen,wenn Allel B über A dominiert??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????230
4.6.2 Konfidenzintervalle für p = P(A), wenn Allel B über A dominiert????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????236
4.6.3 Sequenzielle Allelfrequenzschätzungen,wenn Allel A über B dominiert????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????237
4.6.4 Konfidenzschätzungen für p = P(A), wenn Allel A über B dominiert??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????239
4.7 Andere Verfahren zur Parameterbestimmung??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????240
4.7.1 Methode der kleinsten Quadrate (MKQ oder MLS)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????240
4.7.2 Minimum-?2-Methode (MCHIQ)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????241
5. Konfidenzschätzungen????????????????????????????????????????????????????????????243
5.1 Konfidenzintervalle für den Parameter ?der N(?, ?2)-Verteilungen243
5.1.1 Konfidenzintervalle für ? bei bekannter Varianz ?2243
5.1.2 Konfidenzintervalle für ? bei unbekannter und geschätzter Varianz s2244
5.2 Konfidenzschätzung für den Median????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????245
5.3 Konfidenzintervalle für die Differenzen vonMedianen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????248
5.3.1 Ungepaarter Fall??????????????????????????????????????????????????????????248
5.3.2 Gepaarter Fall??????????????????????????????????????????????????????249
5.4 Konfidenzintervall für den Parameter p der Binomialverteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????250
5.4.1 Asymptotische Konfidenzintervalle für den Parameter p der Binomialverteilung??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????250
5.4.2 Exaktes Konfidenzintervall für den Parameter p der Binomialverteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????253
5.4.3 Bewertung dreier Konfidenzintervalle für den Parameter p einer BinomialverteilungB(n, p)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????254
5.4.4 Zusammenfassung und Empfehlung??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????255
5.5 Konfidenzintervalle für epidemiologische Risikomaße????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????256
5.5.1 Konfidenzintervalle für die Risikodifferenz RD??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????258
5.5.2 Konfidenzintervall für das relative Risiko RR????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????261
5.5.3 Konfidenzintervalle für den Chancenquotienten OR??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????263
5.6 Konfidenzschätzung für eine Verteilungsfunktion????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????275
5.7 Transformation von Konfidenzgrenzen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????278
6. Statistische Tests????????????????????????????????????????????????????????281
6.1 Prinzip eines statistischen Tests????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????281
6.2 Einstichprobentests????????????????????????????????????????????????????????????282
6.2.1 Einstichprobentest für den Parameter p der Binomialverteilung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????282
6.2.2 Einstichprobentest für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????283
6.2.3 Einstichproben-Trendtest nach Mann??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????284
6.3 Simulation einer Prüfgröße, dargestellt für den David-Test??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????286
6.3.1 Zielstellung??????????????????????????????????????????????????286
6.3.2 Einleitung??????????????????????????????????????????????287
6.3.3 Theoretische Beschreibung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????288
6.3.4 Simulationsexperiment????????????????????????????????????????????????????????????????????290
6.3.5 Ergebnisse??????????????????????????????????????????????291
6.4 Zweistichprobentests für zentrale Tendenzen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????295
6.4.1 Tests für verbundene Stichproben??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????295
6.4.2 Tests für unverbundene Stichproben??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????305
6.5 Tests zur Untersuchung der Gleichheit von Varianzen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????318
6.5.1 Parametrischer F-Test, ein Test auf Gleichheit zweier Varianzen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????318
6.5.2 Hartley-Test und Cochran-Test????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????322
6.5.3 Levene-Test????????????????????????????????????????????????326
6.5.4 Rangtest nach Ansari-Bradley-Freund für zwei Varianzen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????332
6.5.5 Rangtest nach Siegel und Tukey??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????334
6.5.6 Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????337
6.6 Tests für mehr als zwei Stichproben????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????339
6.6.1 Friedman-Test bei mehr als zwei verbundenen Stichproben????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????339
6.6.2 Nemenyi-Test??????????????????????????????????????????????????343
6.6.3 Page-Test????????????????????????????????????????????346
6.6.4 Kruskal-Wallis-Test für unabhängige Stichproben????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????349
6.7 ?2-Test für kategoriale Daten352
6.7.1 ?2-Test als Anpassungstest353
6.7.2 ?2-Test alsMedian- oder Median-Quartile-Test355
6.7.3 ?2-Test als Unabhängigkeitstest358
6.7.4 ?2-Test als Symmetrietest von Bowker für abhängige Stichproben360
6.7.5 Exakter Test von Fisher und der Barnard-Test??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????363
6.8 Anpassungstests (Goodness of fit tests)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????368
6.8.1 Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????368
6.8.2 Lilliefors-Test????????????????????????????????????????????????????????372
6.8.3 Kuiper-Test????????????????????????????????????????????????374
6.8.4 Anderson-Darling-Test????????????????????????????????????????????????????????????????????375
6.8.5 Cramér-von-Mises-Test????????????????????????????????????????????????????????????????????376
6.8.6 Jarque-Bera-Test??????????????????????????????????????????????????????????377
6.8.7 D’Agostino-K2-Test??????????????????????????????????????????????????????????????379
6.9 Schnelltests (Quick Tests of Location)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????383
6.9.1 Schnelltest nach Tukey und Rosenbaum??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????383
6.9.2 Schnelltest nach Neave??????????????????????????????????????????????????????????????????????387
6.9.3 Wilks-Rosenbaum-Test??????????????????????????????????????????????????????????????????390
6.9.4 Kamat-Test??????????????????????????????????????????????395
6.10 Ausreißertests????????????????????????????????????????????????????400
6.10.1 Einleitung????????????????????????????????????????????????400
6.10.2 Einfache Grundregeln, Boxplotmethoden??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????402
6.10.3 Ausreißererkennung nach Peirce????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????406
6.10.4 Maximum-Methode??????????????????????????????????????????????????????????410
6.10.5 Modifizierte Z-Scores??????????????????????????????????????????????????????????????????????412
6.10.6 Ausreißertest von Dean-Dixon????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????414
6.10.7 David-Hartley-Pearson-Test????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????415
6.10.8 Grubbs-Test??????????????????????????????????????????????????418
6.10.9 Grubbs-Beck-Test????????????????????????????????????????????????????????????420
6.10.10 Test aufmehrere Ausreißer von Tietjen und Moore????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????422
6.10.11 Parameterfreier Ausreißertest nach Walsh??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????427
6.10.12 Modifiziertes Thompson-t-Verfahren??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????428
6.10.13 Wertung der Testmethoden zur Ausreißererkennungmittels Powerbestimung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????432
6.11 Sequenzielle statistische Tests??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????433
6.11.1 Prinzip von Sequenzialtests??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????433
6.11.2 Sequenzieller t-Test????????????????????????????????????????????????????????????????????434
6.11.3 Sequenzieller Test für das odds ratio OR????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????444
7. Funktionstests für Zufallszahlengeneratoren??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????451
7.1 Zwei ?2-Anpassungstests451
7.1.1 Einfacher ?2-Anpassungstest451
7.1.2 Paartest??????????????????????????????????????????452
7.2 Kolmogorov-Smirnov-Test????????????????????????????????????????????????????????????????????453
7.3 Permutationstest??????????????????????????????????????????????????????454
7.4 Run-Tests????????????????????????????????????????455
7.4.1 Run-Test nach Knuth????????????????????????????????????????????????????????????????458
7.4.2 Zweiter Run-Test??????????????????????????????????????????????????????????464
7.4.3 Bedingter Run-Test nach Wald undWolfowitz????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????465
7.5 Gap-Test??????????????????????????????????????471
7.6 Poker-Test??????????????????????????????????????????474
7.7 Coupon Collectors Test??????????????????????????????????????????????????????????????????477
7.8 Geburtstagstest????????????????????????????????????????????????????480
7.9 Maximumtest????????????????????????????????????????????482
7.10 Count-The-1’s-Test und Monkey-Test????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????485
7.11 BinärerMatrix-Rang-Test??????????????????????????????????????????????????????????????????????487
7.12 Kubustest??????????????????????????????????????????490
7.13 Autokorrelation??????????????????????????????????????????????????????491
Literatur????????????????????????????????495
Stichwortverzeichnis??????????????????????????????????????????????????????503

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