1 Grundlagen

In diesem Kapitel werden noch einmal kurz und knapp die Grundlagen wiederholt, die zwar nicht einzeln abgefragt, aber in den einzelnen Aufgaben vorausgesetzt werden. Besonders wichtige Grundlagen werden in diesem Kapitel ausführlicher behandelt (wie z.B. Gleichungen, Prozentrechnung, usw.).

Am Ende des Kapitels gibt es einen kleinen Test über diese Grundlagen. Wer also meint, dass er hier keine besondere Übung benötigt, kann auch einfach diesen Test bearbeiten und daran sehen, ob er sich richtig eingeschätzt hat und dieses Kapitel überspringen kann oder nicht.

In der Mathematik gibt es ein paar grundlegende Begriffe, die bekannt sein sollten.

1.1 Mengen

Es gibt einige Grundmengen, die in der Schule nach und nach eingeführt wurden.

Die erste dir bekannte Menge ist die Menge der

natürlichen Zahlen

= {1; 2; 3; 4; …}

Diese Menge umfasst also alle Zahlen, die in der „Natur“ vorkommen und die man z.B. mit den Fingern zählen kann. Teilweise zählt auch die 0 zu den natürlichen Zahlen. Ich habe sie jetzt hier herausgelassen und definiere die Menge der natürlichen Zahlen mit der 0 gesondert als

0 = {0; 1; 2; 3; 4; …}

Macht man dies nicht, müsste man die Menge der natürlichen Zahlen ohne die 0 extra definieren.

Dann gibt es die Erweiterung dieser Menge in den negativen Bereich, die sogenannten ganzen Zahlen

= {0; 1; −1; 2; −2; 3; −3}

Als nächstes gibt es noch die Menge der rationalen Zahlen

Diese Menge sieht etwas kompliziert aus. Die Schreibweise bedeutet einfach nur, dass jede Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt, eine rationale Zahl ist. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Zahlen. Daher kann das a (also die Zahl im Zähler) auch eine ganze Zahl, also eine positive oder negative Zahl sein. Da im Nenner keine 0 stehen darf, zeigt sich hier, dass es sinnvoll war, die Menge der natürlichen Zahlen ohne die 0 zu definieren. Sonst hätten wir diesen Fall hier ausschließen müssen.

Es gibt nun aber immer noch Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Das sind z.B. oder π. Diese Zahlen haben die Gemeinsamkeit, dass sie nicht endende und nicht periodische Zahlen sind. Sie sind dann in der Menge der reellen Zahlen enthalten. Dies ist also die Menge aller dir bekannten Zahlen.

Insbesondere gilt bei dieser Aufzählung, dass alle natürlichen Zahlen auch ganze Zahlen, rationale Zahlen und reellen Zahlen sind.

Hier ist dieser Zusammenhang nochmals graphisch dargestellt.

Im Inneren sieht man die Menge der natürlichen Zahlen, die komplett in der Menge der ganzen Zahlen liegt. Damit ist jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl. Die Menge der ganzen Zahlen liegt wiederum komplett in der Menge der rationalen Zahlen, welche wieder in der Menge der reellen Zahlen liegt.

1.2 Grundrechenarten

Es gibt insgesamt vier Grundrechenarten.

• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division

Bei jeder Rechenart gibt es feststehende Begriffe, die wie folgt aussehen (a, b, c und d sind im Folgenden beliebige reelle Zahlen, wobei d nicht die 0 sein darf):

Addition:

Beispiel:

Hier ist 5 der 1. Summand, 3 der 2. Summand und 8 ist die Summe der beiden Summanden.

Subtraktion:

Beispiel:

Hier ist 5 der Minuend, 3 der Subtrahend und 2 ist die Differenz von Minuend und Subtrahend.

Multiplikation:

Beispiel:

Hier ist 5 der 1. Faktor, 3 der 2. Faktor und 15 ist das Produkt der beiden Faktoren.

Division:

Beispiel:

Hier ist 6 der Dividend, 3 der Divisor und 2 ist der Quotient aus Dividend und Divisor.

Hier ist es wichtig, dass der Divisor niemals 0 sein darf, (daher habe ich hier d genommen) denn durch 0 darf man niemals teilen!

1.3 Rechengesetze

Beim Rechnen müssen einige Gesetze beachtet werden. a, b und c sind wieder beliebige rationale Zahlen.

Kommutativgesetz:

Das Kommutativgesetz (oder auch Vertauschungsgesetz) gilt sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation.

a + b = b + a und a · b = b · a

Beispiel:3 + 2 = 2 + 3 und 3 · 2 = 2 · 3

Es ist also egal, ob man 3+2 oder 2+3 rechnet. Es ergibt beide Male 5.

Assoziativgesetz:

Das Assoziativgesetz (oder auch Vereinigungsgesetz) gilt ebenfalls sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation.

(a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · b)

Beispiel:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) und (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4)

Auch hier ist es egal, ob man bei einer Addition oder Multiplikation erst die ersten beiden Summanden (bzw. Faktoren) oder die letzten beiden addiert (bzw. multipliziert).

Distributivgesetz:

Das Distributivgesetz (oder auch Verteilungsgesetz) verbindet die beiden Rechenarten Addition und Multiplikation (oder auch Subtraktion und Division usw.) miteinander.

(a + b)· c = a · c + b · c

Beispiel:

(2 + 3) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4

Punkt-vor Strichrechnung:

Eine weitere wichtige Regel ist die Punkt- vor Strichrechnung. Achte immer auf diese Regelung und achte auch bei der Eingabe in den Taschenrechner darauf, da dieser die Regel immer berücksichtigt.

Beispiel:

5 + 3 · 4 ≠ 8 · 4 = 32, sondern 5 + 3 · 4 = 5 + 12 = 17

Diese Regel solltest du dir immer wieder bewusst machen. Leider wird sie allzu häufig vergessen und es entstehen Fehler, die unnötig und überflüssig sind. Mache es dir immer wieder bewusst, wenn du etwas zusammenrechnen sollst oder etwas mit dem Taschenrechner berechnest. Der Taschenrechner rechnet auch immer nur so, wie du es ihm sagst.

1.4 Bruchrechnung

Die Bruchrechnung ist grundsätzlich ein sehr wichtiges Thema der Mathematik. Daher werde ich zwar alle Teile behandeln, aber da du in der Prüfung aber einen Taschenrechner benutzen darfst, werde ich es nicht zu ausführlich vorstellen. Alles was du wissen und können musst, kannst du hier verstehen. Zusammen mit deinem Taschenrechner sollte es dann kein Problem mehr sein. Du solltest dich aber mit dem Thema Bruchrechnung nochmals genau auseinandersetzen, wenn du damit Probleme hast. Es wird dir auch nach der Prüfung immer wieder begegnen. Sei es in der Oberstufe oder in der Berufsschule während der Ausbildung oder auch im sonstigen Alltag. Brüche kommen überall vor, auch wenn man es nicht unbedingt erwartet. Als erstes hier eine kleine Übersicht über die wichtigsten Begriffe:

1.4.1 Grundbegriffe