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E-Book

Die Drei

Ein Streifzug durch die Rolle der Zahl in Kunst, Kultur und Geschichte

Autor	Ernst-Erich Doberkat
Verlag	Springer Spektrum
Erscheinungsjahr	2019
Seitenanzahl	382 Seiten
ISBN	9783662587881
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	39,99 EUR

Dieses Buch macht einen Spaziergang durch die vielfältige Welt der Zahl Drei. Sie zeigt sich hierbei in vielen unterschiedlichen Verkleidungen, denn von der Musik über die bildende Kunst bis hin zur Geschichte spielt die Drei eine wichtige, meist unverzichtbare Rolle. Das Buch geht darauf ein und zeigt, dass diese Zahl bemerkenswerte Eigenschaften hat, die auch Nicht-Mathematikern zugänglich sind und die hier im leichten Ton des Spaziergängers ausgebreitet werden: Musikalische Harmonien werden mathematisch gedeutet, die Konstruktion von Fraktalen wird durch einfache Programme demonstriert, ein berühmtes Gemälde der italienischen Renaissance wird in Bezug auf die Drei analysiert, die antike chinesische Wehrtechnik wird mit moderner, effizienter Computerarithmetik zusammengeführt. Papierfaltungen, die Heiligen Drei Könige sowie die päpstliche Tiara dürfen hier natürlich nicht fehlen. Der mathematischen Sorgfalt, der Vorgehensweise und den Techniken der Mathematik wird besonderes Augenmerk gewidmet, ohne dass der Text durch mathematische Einzelheiten überladen wird.
So wird aus der Diskussion der Zahl Drei ein Streifzug durch vertrautes Gelände mit unerwarteten Ausblicken.

Prof. (em) Dr. Ernst-Erich Doberkat hat Mathematik und Philosophie studiert, in Mathematik promoviert und wurde im Fach Informatik habilitiert. Er hat an verschiedenen Universitäten in Deutschland und den USA gelehrt und in vielfältigen Arbeitsgebieten geforscht: Er hat unter anderem die durchschnittliche Laufzeit von Sortieralgorithmen untersucht, mit Archäologen an der Anforderungsanalyse für archäologische Datenbanken gearbeitet, gemeinsam mit anderen Software-Technikern multimediale Lernsysteme für die universitäre Software Engineering-Ausbildung entworfen und implementiert und die algebraischen Grundlagen für das Verständnis von Logiken untersucht, die mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten.
Auch nach seiner Emeritierung ist er aktiv und lehrt unter anderem in China und in Italien.

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Blick ins Buch

Inhaltsverzeichnis

Vorwort	6
Inhaltsverzeichnis	7
1 Ein Buch über die Zahl Drei?	11
1.1 Gute Güte – wirklich?	11
1.2 Ein Flug über die Kapitel aus großer Höhe	15
1.3 Danksagungen	24
2 Sizilien ist dreieckig	26
2.1 Trinakria	27
2.2 Odysseus fährt im Dreieck	30
2.2.1 Polyphem und die Isole dei Ciclopi	30
2.2.2 Die Prophezeiung des Teiresias	34
2.3 Skylla und Charybdis	37
2.4 Die Sache mit den Schilden	43
2.5 Intermezzo: Pythagoras und der Schild des Euphorbos	49
2.5.1 Der Satz des Pythagoras	49
2.5.2 Seelenwanderung	51
2.5.3 Inkommensurable Zahlen	52
2.6 Antike Münzen aus Sizilien	57
2.7 Hasen und all das	59
2.7.1 Flaggen	59
2.7.2 Der Hasen und der Löffel drei . . .	60
2.7.3 Der jüdische Friedhof in Satanov	62
2.7.4 Die Mogao-Höhlen in Dunhuang	63
2.8 Rückblick	64
2.9 Anhang: Programmcode	64
3 Dreiteilung des Winkels	67
3.1 Das Problem	67
3.2 Origami	69
3.3 Zirkel und Lineal	72
3.3.1 Konstruierbare Zahlen	75
3.3.2 Erweiterungskörper	77
3.3.3 Des Rätsels Lösung	80
3.4 Näherungen und andere Alternativen	85
3.4.1 Die Lösung von Archimedes	86
3.4.2 Die Quadratrix des Hippias	87
3.4.3 Die Näherungslösung von Albrecht Dürer	88
3.5 Übrigens, auch die Kubikwurzel aus zwei ist faltbar	91
3.6 Nachtrag: Ein visueller Beweis des Ähnlichkeitssatzes von Euklid	93
4 Die Dreiermenge von Georg Cantor	98
4.1 Einleitung	98
4.2 Die Konstruktion der Dreiermenge	100
4.3 Unendlich?	104
4.3.1 Unendliches Zählen	104
4.3.2 Hilberts Hotel	106
4.3.3 War’s das schon?	108
4.4 Zurück zur Cantor-Menge	115
4.4.1 Ternäre Darstellungen	115
4.4.2 Selbstähnlichkeit	118
4.5 *Ein Blick hinter die Kulissen	121
4.5.1 Werkzeuge	121
4.5.2 Kontraktionen	124
4.5.3 Zweidimensionaler Staub	125
4.6 Eine Galerie einfacher Fraktale	128
4.6.1 Turtle-Graphik	128
4.6.2 Die Koch-Kurve	130
4.6.3 Sierpinskis Sieb	133
4.6.4 Barnsleys Blätter	136
5 0, 1, 1, 2, 3, 5, . . . ,	141
5.1 Zahlen – Man kann auch Kaninchen nehmen	141
5.2 Leonardo Fibonacci	143
5.3 Die Fibonacci-Zahlen	150
5.3.1 Ein Python-Skript	150
5.3.2 Die Goldene Zahl	152
5.3.3 Nicht nur Kaninchen	155
5.3.4 *Die Fibonacci-Darstellung	158
5.4 Für reifere Leser: Erzeugende Funktionen	162
5.4.1 Die erzeugende Funktion für die Fibonacci-Zahlen	164
5.4.2 *Nur für ganz reife Leser!	166
5.4.3 Die erzeugende Funktion als Informant	173
5.4.4 Geld wechseln	175
5.4.5 Jetzt drehen wir den Spieß um	177
5.5 Das haben wir erreicht	181
6 Drei Kronen, alle anderen zu beherrschen	183
6.1 Eine Krone auf die andere	183
6.1.1 In Sutri wurde gehandelt	184
6.1.2 Die Investitur von Bischöfen	184
6.1.3 Mitra ? Diadem ? Krone ? Tiara	185
6.2 Zur Semantik	188
6.2.1 Kirchliche Protokolle	189
6.2.2 Verzicht auf die Tiara	189
6.3 Und die Teufelszahl 666?	190
7 Piero della FrancescasFlagellazione di Cristo	191
7.1 Die Geißelung	191
7.2 Die Textgrundlage	193
7.3 Das Bild	196
7.3.1 Das Prätorium	196
7.3.2 Die Personen im Vordergrund	197
7.3.3 Lichtquellen	198
7.3.4 Der Fußboden	199
7.3.5 Convenerunt in unum	200
7.3.6 Provenienz	202
7.4 Fragen	202
7.5 Piero della Francesca	203
7.5.1 Vita	204
7.5.2 Der Mathematiker	206
7.6 Historisches	217
7.6.1 Rom	217
7.6.2 Florenz	219
7.6.3 Urbino	221
7.7 Zur Interpretation	223
7.7.1 R. Lightbown: Bitte um Hilfe	223
7.7.2 J. R. Banker: Erinnerungsbild	226
7.7.3 M. A. Lavin: Trauer und Tröstung	230
7.7.4 J. V. Field: Übung zur Perspektive?	234
7.7.5 S. Ronchey: Aufruf zum Kreuzzug	235
7.8 Bunte Steine	240
8 Tres faciunt collegium	243
8.1 Eine kraftvolle Idee	243
8.2 Zur Historie: Collegia	244
8.2.1 Triumviri	246
8.2.2 Ämter: Die Kraft der Drei	248
8.2.3 Die beiden Triumvirate	250
8.3 Der Dreisatz, Goethes Franzosen und andere Betrachtungen	250
8.3.1 Das Kind bekommt einen Namen	254
8.3.2 Ringe: runde Monoide?	256
8.3.3 Mathematiker sind nicht Goethes Franzosen	258
8.4 Die Heiligen Drei Könige	259
8.4.1 Die drei Weisen aus dem Morgenland	260
8.4.2 Der Weg nach Köln: Lesarten	261
8.4.3 Der Weg nach Mailand: Zwei Versionen	265
8.5 Macbeths Hexen	269
8.5.1 Die Prophezeiung	270
8.5.2 Hekate	273
8.5.3 Der Wald von Birnam	277
8.6 Die unsichtbare Dritte	278
8.6.1 Christenpflichten	279
8.6.2 Miss West darf fehlen	281
9 Drei Chinesen mit nemKontrabass . . .	285
9.1 Die Schlacht am Roten Felsen	285
9.2 Götter und Drachen	287
9.2.1 Drei Göttliche Könige	288
9.2.2 Drachen und ihre Klassifikation	293
9.3 Einige mathematische Beispiele	295
9.3.1 Berechnung von Wurzeln	299
9.3.2 Die Technik der Himmlischen Elemente	302
9.3.3 Meister Suns Problem	304
9.3.4 Da steht ein Berg auf einer Insel	314
10 Dreiklänge und andere Harmonien	317
10.1 Einleitung und Übersicht	317
10.2 Noten, Tonleitern und all das	319
10.2.1 Die Dur-Tonleitern	320
10.2.2 Die Moll-Tonleitern	322
10.2.3 Metriken	323
10.2.4 Dreiklänge und Restklassenringe	326
10.2.5 Tonnetze	335
10.3 Transformationen	338
10.3.1 Ein kleiner Baukasten	339
10.3.2 Pachelbels Canon in D	340
10.3.3 Taverners The Lamb	342
10.3.4 Beethovens Fünfte Symphonie	344
10.3.5 *Eine Anmerkung zum Notensatz	346
10.4 Opern	347
10.4.1 Die Zauberflöte	348
10.4.2 Norma	349
10.4.3 Die Walküre	351
10.4.4 Die Liebe zu den drei Orangen	353
10.5 Die h-Moll-Messe von Johann SebastianBach	354
10.5.1 Das Credo	355
10.5.2 Wiederverwendung und Parodie	357
Wenn Sie mehr wissen wollen	361
Literaturverzeichnis	362
Abbildungsnachweis	373
Index	377

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