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E-Book

3000 Jahre Analysis

Geschichte, Kulturen, Menschen

Autor	Thomas Sonar
Verlag	Springer-Verlag
Erscheinungsjahr	2011
Seitenanzahl	727 Seiten
ISBN	9783642172045
Format	PDF
Kopierschutz	DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	34,99 EUR

In dem Band werden Entstehung und Entwicklung der grundlegenden Begriffe der Analysis von der Antike bis heute ausführlich behandelt. Eingebettet sind diese Informationen in die Beschreibung historischer und kultureller Ereignisse, die Lebensläufe bedeutender Mathematiker und der von ihnen entwickelten Teilgebiete der Analysis. Zahlreiche gezeichnete Figuren veranschaulichen Begriffe, Lehrsätze und Methoden. Jedes Kapitel enthält eine Tabelle mit den Daten der wesentlichen Ergebnisse und Ereignisse aus 3000 Jahren Analysis.

Prof. Dr. Thomas Sonar, Technische Universität Braunschweig

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Blick ins Buch

Inhaltsverzeichnis

Vorwort des Autors	8
Vorwort des Herausgebers	11
Hinweise für den Leser	14
Inhaltsverzeichnis	15
1 Prolog: 3000 Jahre Analysis	21
1.1 Was ist Analysis?	23
1.2 Vorläufer von ?	24
1.3 Das ? der Bibel	27
1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes	28
1.5 Babylonische Näherung an ?2	33
2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike	35
2.1 Die Griechen formen die Mathematik	38
2.1.1 Der Beginn: Thales von Milet und seine Schüler	39
2.1.2 Die Pythagoreer	41
2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids Elementen	47
2.1.4 Die Methode der Exhaustion – Integration auf griechisch	53
2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel	57
2.1.6 Die drei großen klassischen Probleme	58
2.2 Kontinuum versus Atome – Infinitesimale versus Indivisible	67
2.2.1 Die Eleaten	68
2.2.2 Atomismus und Kontinuum	69
2.2.3 Indivisible und Infinitesimale	71
2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien	74
2.3 Archimedes	79
2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten	79
2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften	87
2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der mechanischen Sätze	91
2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion	96
2.3.5 Über Spiralen	100
2.3.6 Archimedes fängt ?	104
2.4 Die Beiträge der Römer zur Analysis	106
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2	109
3 Wie Wissen wanderte – Vom Orient zum Okzident	111
3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die Araber	113
3.2 Die Beiträge der Araber zur Analysis	118
3.2.1 Avicenna (Ibn S?n?): Universalgelehrter im Orient	118
3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker	119
3.2.3 Averroës (Ibn Rušd): Aristoteliker im Islam	126
3.3 Aufgaben zu Kapitel 3	128
4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik	129
4.1 Der Wiederbeginn in Europa	131
4.2 Die große Zeit der Übersetzer	140
4.3 Das Kontinuum in der Scholastik	147
4.3.1 Robert Grosseteste	150
4.3.2 Roger Bacon	151
4.3.3 Albertus Magnus	153
4.3.4 Thomas Bradwardine	156
4.3.5 Nicole Oresme	162
4.4 Scholastische „Abweichler“	168
4.5 Nicolaus von Kues	170
4.5.1 Die mathematischen Werke	172
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4	176
5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance	177
5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike	179
5.2 Die Schwerpunktrechner	182
5.3 Johannes Kepler	190
5.3.1 Neue Stereometrie der Fässer	210
5.4 Galileo Galilei	215
5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen	223
5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der Indivisiblen	228
5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri	232
5.5.2 Die Kritik durch Guldin	240
5.5.3 Die Kritik durch Galilei	241
5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon	242
5.5.5 De Saint-Vincent und die Fläche unter der Hyperbel	244
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5	253
6 An der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert	254
6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich	256
6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert	256
6.1.2 René Descartes	259
6.1.3 Pierre de Fermat	269
6.1.4 Blaise Pascal	279
6.1.5 Gilles Personne de Roberval	292
6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden	298
6.2.1 Frans van Schooten jr.	300
6.2.2 René François Walther de Sluse	300
6.2.3 Johann van Waveren Hudde	302
6.2.4 Christiaan Huygens	305
6.3 Analysis vor Newton in England	308
6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen	308
6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert	309
6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen	313
6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen	320
6.3.5 England im 17. Jahrhundert	331
6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen	334
6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie	344
6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des Logarithmus durch Nicolaus Mercator	351
6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile	356
6.3.10 James Gregory	365
6.4 Analysis in Indien	366
6.5 Aufgaben zu Kapitel 6	370
7 Newton und Leibniz – Giganten und Widersacher	372
7.1 Isaac Newton	374
7.1.1 Kindheit und Jugend	374
7.1.2 Der Student in Cambridge	377
7.1.3 Der Lucasische Professor	385
7.1.4 Alchemie, Religion und die große Krise	389
7.1.5 Newton als Präsident der Royal Society	394
7.1.6 Das Binomialtheorem	396
7.1.7 Die Fluxionsrechnung	397
7.1.8 Der Hauptsatz	400
7.1.9 Kettenregel und Substitutionen	402
7.1.10 Das Rechnen mit Reihen	402
7.1.11 Integration durch Substitution	404
7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis	406
7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton	406
7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz	408
7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium	408
7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten	411
7.2.3 Leibniz in Hannover	414
7.2.4 Der Prioritätsstreit	420
7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen	424
7.2.6 Die Leibnizsche Notation	426
7.2.7 Das charakteristische Dreieck	430
7.2.8 Die unendlich kleinen Größen	433
7.2.9 Das Transmutationstheorem	437
7.2.10 Das Kontinuitätsprinzip	440
7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz	442
7.3 Erste Kritik: George Berkeley	443
7.4 Aufgaben zu Kapitel 7	446
8 Absolutismus, Aufklärung, Aufbruch zu neuen Ufern	448
8.1 Historische Einführung	450
8.2 Jakob und Johann Bernoulli	458
8.2.1 Die Variationsrechnung	463
8.3 Leonhard Euler	467
8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler	479
8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler	481
8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen	484
8.4 Brook Taylor	486
8.4.1 Die Taylor-Reihe	488
8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung	489
8.5 Colin Maclaurin	490
8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange	490
8.6.1 Lagranges algebraische Analysis	491
8.7 Fourier Reihen und mehrdimensionale Analysis	494
8.7.1 Joseph Fourier	494
8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung	496
8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis	497
8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen für die Analysis	498
8.8 Aufgaben zu Kapitel 8	503
9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert	504
9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich	508
9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert	516
9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen	516
9.3.1 Bolzanos Beiträge zur Analysis	519
9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy	522
9.4.1 Grenzwert und Stetigkeit	527
9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen	528
9.4.3 Ableitung und Integral	531
9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs	533
9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraß	540
9.6.1 Die reellen Zahlen	543
9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz	544
9.6.3 Gleichmäßigkeit	546
9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter	548
9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte	555
9.8 Aufgaben zu Kapitel 9	561
10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und die Suche nach dem wahren Kontinuum	562
10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den Weltkatastrophen	565
10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die Mengenlehre	570
10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen	580
10.2.2 Cantor und Dedekind	581
10.2.3 Die transfiniten Zahlen	589
10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre	592
10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine	593
10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Paul Du Bois-Reymond	594
10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Die Intuitionisten	596
10.5 Vektoranalysis	601
10.6 Differentialgeometrie	604
10.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen	606
10.8 Partielle Differentialgleichungen	609
10.9 Die Analysis wird noch mächtiger: Funktionalanalysis	611
10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis	611
10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis	615
10.10 Aufgaben zu Kapitel 10	624
11 Ein Kreis schließt sich: Infinitesimale in der Nichtstandardanalysis	626
11.1 Vom Kalten Krieg bis heute	630
11.1.1 Computer und Sputnikschock	632
11.1.2 Der „Kalte Krieg“ und sein Ende	634
11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus	635
11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen	637
11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im „schwarzen Buch“	639
11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und Schmieden	642
11.3 Robinson und die Nichtstandardanalysis	644
11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz von Nelson	646
11.5 Nichtstandardanalysis und glatte Welten	647
11.6 Aufgaben zu Kapitel 11	653
12 Analysis auf Schritt und Tritt	654
Literatur	665
Abbildungsverzeichnis	681
Personenverzeichnis mit Lebensdaten	700
Sachverzeichnis	709

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