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E-Book

Optimierung und Approximation

Autor	Peter Kosmol
Verlag	Walter de Gruyter GmbH & Co.KG
Erscheinungsjahr	2010
Seitenanzahl	531 Seiten
ISBN	9783110218152
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	39,95 EUR

A comprehensive and rigorous introduction to optimization and approximation, including many exercises and examples.

Peter Kosmol , Christian-Albrechts-Universität, Kiel

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	6
Vorwort zur zweiten Auflage	10
Inhaltsverzeichnis	12
Einführung: Beispiele für Optimierungs- und Approximationsaufgaben	20
1.1 Optimierungsaufgaben in Funktionenräumen	20
1.2 Aufgaben in Rn	23
1.3 Lineare Programmierungsaufgaben	24
1.4 Restringierte Optimierungsaufgaben. Ergänzungsmethode	26
1.5 Minimierung bzgl. zweier Variablen. Sukzessive Minimierung	27
Lineare Programmierung	29
2.1 Einführung	29
2.2 Kanonische Form einer linearen Programmierungsaufgabe ( KFP)	30
2.3 Simplex-Algorithmus	32
2.4 Der allgemeine Fall	36
2.5 Duale und schwach duale Aufgaben	42
Konvexe Mengen und konvexe Funktionen	48
3.1 Metrische Räume	48
3.2 Normierte Räume	50
3.3 Konvexe Mengen	53
3.4 Strikter Trennungssatz in Rn	56
3.5 Satz von Carathéodory	57
3.6 Konvexe Funktionen	58
3.7 Minkowski-Funktional	64
3.8 Richtungsableitung	67
3.9 Differenzierbarkeitseigenschaften konvexer Funktionen: Monotonie des Differenzenquotienten	68
3.10 Fréchet-Differenzierbarkeit	72
3.11 Differentialrechnung in Rn. Matrix und Operatorschreibweise	73
3.12 Monotone und positiv definite Abbildungen	75
3.13 Ein Kriterium für positive Definitheit einer Matrix	76
3.14 inf-konvexe Funktionen	79
3.15 Satz von Weierstraß	85
3.16 Existenzaussagen in endlich-dimensionalen Räumen	86
3.17 Eindeutige Lösbarkeit von Optimierungsaufgaben	87
3.18 Stabilität bei monotoner Konvergenz	88
3.19 Eine Erweiterung des Riemann-Integrals	93
Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen	96
4.1 Notwendige Optimalitätsbedingungen	96
4.2 Hinreichende Optimalitätsbedingungen: Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung	97
4.3 Lokale Minimallösungen	98
4.4 Restringierte Optimierungsaufgaben: Penalty-Methode	100
4.5 Lagrange-Methode	102
4.6 Satz von Kuhn-Tucker	111
4.7 Satz über Lagrange-Multiplikatoren	114
4.8 Zurückführung von Ungleichungsrestriktionen auf Gleichungsrestriktionen	114
4.9 Penalty-Lagrange-Methode (Augmented Lagrangian Method)	115
Anwendungen des Charakterisierungssatzes der konvexen Optimierung in der Approximationstheorie und der Variationsrechnung	117
5.1 Approximation in Prä-Hilberträumen	118
5.2 Variationsrechnung	136
5.3 Theorie der optimalen Steuerung	175
Methode der punktweisen Minimierung	224
6.1 Die Methode der Ergänzung bei Variationsaufgaben	224
6.2 Anwendungen der linearen Ergänzung	232
6.3 Die Euler-Lagrange-Gleichung und kanonische Gleichungen der Variationsrechnung bei punktweiser Minimierung	239
6.4 Punktweise Minimierung bei Aufgaben mit Singularitäten	251
6.5 Die kürzeste Verbindung auf einer Fläche	263
6.6 Sukzessive Minimierung bei Variationsaufgaben	265
6.7 Sukzessive Minimierung mit einer konstanten zweiten Stufe	266
6.8 Rotationskörper größten Volumens bei vorgegebener Länge des Meridians	280
6.9 Ein Stabilitätssatz	287
6.10 Optimale Flächen. Variation zweifacher Integrale	289
6.11 Euler-Ostrogradski-Gleichung	289
6.12 Verallgemeinerung auf n-dimensionale Bereichsintegrale	291
6.13 Punktweise Minimierung bei der optimalen Steuerung	292
6.14 Diskrete optimale Steuerung	298
Cebyšev-Approximation	314
7.1 Charakterisierung der besten Cebyšev-Approximation	314
7.2 Satz von de la Vallée-Poussin I	316
7.3 Haarsche Teilräume	317
7.4 Satz von Cebyšev	319
7.5 Approximationssätze von Weierstraß und der Satz von Korovkin	320
7.6 Satz von Stone-Weierstraß	325
Approximation im Mittel	328
8.1 L1-Approximation	328
8.2 Lf-Approximation in Ca, b	332
8.3 Spline-Funktionen	340
Stabilitätsbetrachtungen für konvexe Aufgaben	347
9.1 Gleichgradige Stetigkeit von Familien konvexer Funktionen	347
9.2 Gleichgradige Stetigkeit konvexer Funktionen in Banachräumen und der Satz über gleichmäßige Beschränktheit	350
9.3 Stetige Konvergenz und gleichgradige Stetigkeit	355
9.4 Stabilitätssätze	357
9.5 Geordnete Vektorräume und konvexe Kegel	363
9.6 Konvexe Abbildungen	366
9.7 Komponentenweise konvexe Abbildungen	370
Selektion von Lösungen durch Algorithmen. Zweistufige Lösungen	372
10.1 Zweistufige Optimierungsaufgaben	373
10.2 Stabilitätsbetrachtungen für Variationsungleichungen	378
10.3 Zweistufige Variationsungleichungen	379
Trennungssätze	382
11.1 Satz von Hahn-Banach	382
11.2 Satz von Mazur	388
11.3 Trennungssatz von Eidelheit	389
11.4 Strikter Trennungssatz	389
11.5 Subgradienten	390
11.6 Der Dualraum eines Hilbertraumes	394
Konjugierte Funktionen. Der Satz von Fenchel	397
12.1 Youngsche Ungleichung	398
12.2 Beispiele für konjugierte Funktionen	402
12.3 Satz von Fenchel	403
12.4 Existenz von Minimallösungen bei konvexen Optimierungsaufgaben	407
12.5 Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie	418
12.6 Die Formel von Ascoli	419
12.7 Charakterisierungssatz der linearen Approximation	420
12.8 Gleichgewichtssatz der linearen Approximation	420
12.9 Starke Lösbarkeit. Uniform konvexe Funktionen	421
Lagrange-Multiplikatoren	425
13.1 Duale Kegel	425
13.2 Konvexe Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingungen	426
13.3 Satz über Lagrange-Multiplikatoren	428
13.4 Lagrange-Multiplikatoren bei linearen Nebenbedingungen	432
13.5 Konvexe Ungleichungen und lineare Gleichungen	432
13.6 Hinreichende Bedingung für restringierte Minimallösungen	435
13.7 Sattelpunktversionen	436
13.8 Lagrange-Dualität	437
Duale Optimierungsaufgaben	438
14.1 Infinite lineare Optimierung	438
14.2 Semiinfinite lineare Optimierung	439
14.3 Dualitätssatz der linearen Programmierung	444
14.4 Extremalpunkte. Satz von Minkowski	445
14.5 Duale Aufgaben in C(T)	449
14.6 Ein Momentenproblem von Markov	450
14.7 Numerische Behandlung von semiinfiniten Aufgaben	453
14.8 Cebyšev-Approximation – duale Aufgabe	459
14.9 Impulssteuerungen und Cebyšev-Approximation	461
14.10 Minimaxaufgaben und Lagrange-Multiplikatoren	462
14.11 Sattelpunktkriterium	464
14.12 Spieltheoretische Interpretation	465
14.13 Minimaxsätze	465
14.14 Topologische Räume	468
14.15 Satz von Ky Fan	469
14.16 Eine Charakterisierung von Minimax-Lösungen mit rechtsseitiger Richtungsableitung	470
14.17 Minimaxsätze für Lagrange-Funktionen	471
14.18 Infinite konvexe Optimierung	472
14.19 Semiinfinite konvexe Optimierung	474
Eine Anwendung in der Testtheorie	475
15.1 Testfunktion	475
15.2 Ein Optimalitätskriterium	476
15.3 Das Fundamentallemma von Neyman-Pearson	478
15.4 Existenz von besten Tests	480
15.5 Existenz von besten verallgemeinerten Tests	481
15.6 Notwendige Bedingungen	482
15.7 Eine duale Aufgabe	484
Mengenkonvergenz	486
Kontraktionssatz. Gewöhnliche Differentialgleichungen	491
B.1 Kontraktionssatz	491
B.2 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung	494
B.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für stückweise stetig differenzierbare Funktionen	497
B.4 Lineare DGL-Systeme für stückweise stetig differenzierbare Funktionen	498
B.5 Stetige Abhängigkeit der Lösungen	504
Das Lemma von Zorn	508
Verallgemeinerungen in topologischen Vektorräumen	509
Literaturverzeichnis	514
Spezielle Symbole und Abkürzungen	524
Index	526

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