| Grußwort | 5 |
| Vorwort | 7 |
| Inhalt | 9 |
| Basisartikel | 12 |
| Zahlen und Rechenoperationen | 13 |
| 1 Rechnen im Kopf | 13 |
| 1.1 Wie entsteht ein Begriff im Kopf? | 14 |
| 2 Zahlenrepräsentationen im Vorschulalter | 16 |
| 3 Die Veränderung der Repräsentationen im Kopf des Lernenden | 18 |
| 4 Wie erwerben Kinder mathematische Begriffe? | 22 |
| 5 Literatur | 23 |
| Vielfältige Darstellungen nutzen im Mathematikunterricht | 26 |
| 1 Einführung | 26 |
| 2 Vielfältige Darstellungen nutzen als Strategie für mathematischen Erkenntnisgewinn | 29 |
| 3 Nutzen vielfältiger Darstellungen beim Aufbau mathematischer Kompetenz | 33 |
| 4 Schwierigkeiten von Lernenden beim Begriffswissensaufbau in Verbindung mit dem Nutzen von Darstellungen | 35 |
| 5 Nutzen vielfältiger Darstellungen als Lernhilfe | 37 |
| 6 Ausblick: Implikationen für die Ausbildung von Lehramts-studierenden | 39 |
| 7 Literatur | 40 |
| Frühkindliche Bildung | 43 |
| Kleine Kinder spielen und lernen mit bunten Perlen | 44 |
| 1 Mathematische Lernprozesse mit Perlen – theoretisch betrachtet | 44 |
| 1.1 Mathematische Denk- und Handlungsweisen | 46 |
| 1.2 Aktivitäten in verschiedenen Inhaltsbereichen | 48 |
| 2 Bunte Perlen in der Praxis | 50 |
| 2.1 Freier Umgang mit Perlen | 50 |
| 2.2 Angebote mit Perlen | 52 |
| 2.2.1 Beschreibung der Angebote Angebot | 52 |
| 2.2.2 Beobachtungen beim Dokumentieren | 53 |
| 3 Fazit | 56 |
| 4 Literatur | 57 |
| 5 Abbildungsnachweis | 58 |
| Von Kindergärten, Kindheitspädagoginnen und der Mathematik mit Bauklötzen | 59 |
| 1 Anregungen von Fröbel aus der Gründungszeit der Kindergärten | 59 |
| 1.1 Fröbels Pädagogik als Anregung für 2012 | 59 |
| 1.2 Anregungen zur mathematischen Bildung, zwei Beispiele | 61 |
| 1.3 Mathematik im Kindergarten heute? | 64 |
| 2 Von Bauklötzen und der Mathematik im Kindergarten – Versuch einer Systematik | 65 |
| 2.1 Zentrale Mathematische Inhalte im Kindergarten | 66 |
| 2.2 Die fünf Inhaltsbereiche in Spielsituationen mit Bauklötzen | 68 |
| 2.3 Allgemeine mathematische Kompetenzen im Kindergarten | 69 |
| 2.4 Zentrale mathematische Arbeitsweisen im Spiel mit Bauklötzen | 70 |
| 3 Fazit | 71 |
| 4 Literatur | 71 |
| Spielend Mathematik lernen? | 74 |
| 1 Besonderheiten des Lernorts Kindergarten | 74 |
| 2 Erkenntnisinteresse und Forschungsprozess | 75 |
| 3 Spielsituation Quips | 76 |
| 4 Bedingungen mathematischer Lerngelegenheiten beim Spielen | 77 |
| 4.1 Mathematisches Potenzial | 77 |
| 4.2 Aufforderungscharakter | 78 |
| 4.3 Engagiertheit | 78 |
| 4.4 Präsenz der Erzieherin | 78 |
| 4.5 Integration verschiedener Rollendimensionen | 79 |
| 5 Fazit | 79 |
| 6 Literatur | 81 |
| Primarstufe | 82 |
| „Die gehören doch zur Fünf!" | 83 |
| 1 Theorie des Teil-Ganzes-Konzepts | 83 |
| 1.1 Entwicklung von mengen- und anzahlbezogenem Teil-Ganzes-Verständnis | 84 |
| 2 Mit dem Zahlwort ist nie und nimmer der Zahlbegriff gegeben | 85 |
| 3 Teile-Ganzes-Verständnis als Brückenglied zwischen Mengen-und (An-) Zahlverständnis | 89 |
| 4 Teil-Ganzes-Verständnis als Brückenglied zwischen Zahl- und Operationsverständnis | 90 |
| 5 Ordinal gebundenes Anzahlverständnis | 91 |
| 6 Sackgasse Weiterzählen | 93 |
| a) Weiterzählen und Entlastung des Kurzzeitgedächtnisses | 94 |
| b) Weiterzählen und rasche Ablösung von konkretem Material | 94 |
| c) Weiterzählen und Reduktion des Zählaufwands | 96 |
| 7 Weiterzählen und Teile-Ganzes-Vorstellungen | 97 |
| 8 Ein Wort zum Schluss | 99 |
| 9 Literatur | 99 |
| „Ich stell mir meine Finger vor“ | 102 |
| 1 Vom Zählen zum Rechnen | 102 |
| 1.1 Zählen als Anfang | 102 |
| 1.2 Zahlverständnis als Basis | 103 |
| 1.3 Flexible Rechenstrategien als tragfähiges Konzept | 104 |
| 2 Additive Rechenstrategien bei Erstklässlern | 105 |
| 2.1 Darstellung der Situation | 105 |
| 2.2 Zählendes Rechnen | 106 |
| 2.3 Flexibles Rechnen | 107 |
| 3 Fazit | 110 |
| 4 Literatur | 110 |
| Mathematische Interpretation ikonischer Darstellungen | 112 |
| 1 Operationsverständnis | 112 |
| 2 Ikonische Darstellung von Aufgaben | 114 |
| 3 Untersuchung | 116 |
| 4 Fazit | 119 |
| 5 Literatur | 120 |
| Fünf Wolken werden durchgestrichen | 121 |
| 1 Eine ganz normale Fördersequenz | 121 |
| 2 Förderung in der Beratungsstelle für Kinder mit Lernschwierigkeiten in Mathematik | 123 |
| 2.1 Allgemeines | 123 |
| 2.2 Konzept | 123 |
| 2.3 Förderung konkret | 124 |
| 3 Fazit | 125 |
| 4 Literatur | 126 |
| Kinder erkennen Strukturen | 127 |
| 1 Strukturerkenntnis ist Mathematik | 127 |
| 2 Strukturen bei Mustern an Punktefeldern erkennen | 129 |
| 2.1 Vergleich von Musterkarten | 130 |
| 2.2 Anzahlbestimmung von Kreisen in einem Muster | 131 |
| 2.3 Verständigung über Musterideen | 133 |
| 2.3.1 „Immer abwechselnd“ | 134 |
| 2.3.2 „Die ganze Reihe schwarz, weiß, schwarz, weiß“ | 135 |
| 2.3.3 „Und dann vier wieder frei“ | 137 |
| 3 Zusammenfassung | 138 |
| 4 Literatur | 139 |
| Abstraktion | 141 |
| Sekundarstufe | 145 |
| Mathematik und der Rest der Welt | 146 |
| 1 Von der Existenz der zwei Welten | 146 |
| 2 Von der Kluft zwischen mathematischem Modell und Realität | 147 |
| 3 Schwierigkeiten von Schülerinnen, Schülern und Studierenden | 150 |
| 3.1 Schülerinnen und Schüler der Realschule | 152 |
| 3.2 Studierende der Pädagogischen Hochschule | 156 |
| 4 Theo-mathematische Schlussbetrachtung | 158 |
| 5 Literatur | 160 |
| Veranschaulichungen statistischer Daten verstehen | 161 |
| 1 Welche Aufgaben übernehmen grafische Veranschaulichungen statistischer Daten? | 161 |
| 2 Welche (normativen) Zielvorgaben ergeben sich für den Unterricht? | 162 |
| 3 Welche Voraussetzungen werden zum Verständnis grafischer Darstellungen benötigt? | 165 |
| 4 Welche Konsequenzen ergeben sich für den Mathematik-unterricht der Sekundarstufe I? | 171 |
| 5 Literaturverzeichnis | 175 |
| Funktionale Zusammenhänge im computerunter-stützten Darstellungstransfer erkunden | 177 |
| 1 Motivation und Problemlage | 177 |
| 1.1 Funktionen und funktionales Denken | 178 |
| 1.2 Typische Schwierigkeiten von Lernenden | 179 |
| 2 Die Rolle des Computers beim Lehren und Lernen von Mathematik | 182 |
| 3 Zwei computerbasierte Lernumgebungen | 183 |
| 3.1 Lernumgebung Squiggle-M | 183 |
| 3.2 Lernumgebung „Die Reise“ | 185 |
| 3.3 Erfahrungen aus dem Unterrichtseinsatz von Die Reise | 186 |
| 4 Zusammenfassung und Ausblick | 187 |
| 5 Literatur | 188 |
| Veranschaulichungs- und Erklärmodelle zum Rechnen mit negativen Zahlen | 190 |
| 1 Hinführung | 190 |
| 2 Modelle negativer Zahlen | 194 |
| 2.1 Sich bewegen auf der Zahlengeraden | 194 |
| 2.2 Pfeilmodell | 196 |
| 2.3 Permanenzreihen | 198 |
| 3 Gesamtfazit | 200 |
| 4 Literatur | 202 |
| 4.1 Didaktische Literatur | 202 |
| 4.2 Schulbücher | 202 |
| 5 Abbildungsnachweis | 202 |
| Eine Grafik sagt mehr als tausend Worte?! | 203 |
| 1 Wozu Visualisierungen in der Stochastik? | 203 |
| 1.1 Grafische Darstellungen als Werkzeug des Erkenntnisgewinns | 203 |
| 1.2 Grafische Darstellungen als Veranschaulichung komplexer Situationen | 204 |
| 2 Einsicht durch natürliche Häufigkeiten | 207 |
| 3 Zusammenfassung | 210 |
| 4 Literatur | 210 |
| Den Wechsel von Darstellungsformen fördern und fordern oder vermeiden? | 212 |
| 1 Die Rolle von Darstellungen in der Mathematik | 212 |
| 2 Repräsentationswechsel forcieren oder wenn möglich vermeiden? | 213 |
| 3 Sichtweisen von Lehrkräften – Eine Diskussion konträrer Ansichten | 216 |
| 4 Folgerungen | 220 |
| 5 Literatur | 221 |
| Die Zahlen sind entscheidend | 223 |
| 1 Einführung | 223 |
| 2 Design der Studie | 225 |
| 3 Ergebnisse | 226 |
| 3.1 Multiplikation zweier Brüche | 226 |
| 3.2 Addition zweier Brüche | 228 |
| 4 Diskussion | 230 |
| 5 Literatur | 233 |
| Hochschule | 235 |
| Repräsentationen „on demand“ bei mathematischen Beweisen in der Hochschule | 236 |
| 1 Einleitung | 236 |
| 2 Theoretischer Hintergrund | 238 |
| 3 Beweisen mit multiplen Repräsentationsformen | 241 |
| 4 Das „Repräsentationen-on-demand“-Prinzip | 242 |
| 4.1 Umsetzungen des „on-demand“-Prinzips | 243 |
| 5 Fazit | 246 |
| 6 Literatur | 246 |
| Die Mathematikvorlesung aus der Konserve | 248 |
| 1 Mathematikvorlesung – ein veraltetes Format? | 248 |
| 2 Vor- und Nachteile von Mathematikvorlesungen | 249 |
| 2.1 Nachteile | 249 |
| 2.2 Vorteile | 250 |
| 3 Vorlesungsaufzeichnungen im inverted classroom | 251 |
| 4 Produktion von Mathematik-Vorlesungsvideos | 252 |
| 5 Zusammenfassung | 254 |
| 6 Danksagung | 255 |
| 7 Literatur | 255 |
| Sichtweisen von Lehramtsstudierenden zur Bedeutung des Nutzens vielfältiger Darstellungen im Mathematikunterricht | 257 |
| 1 Einführung | 257 |
| 2 Vielfältige Darstellungen nutzen als mathematikbezogene und fachdidaktische „Big Idea“ | 258 |
| 3 Professionelles Wissen zum Nutzen vielfältiger Darstellungen | 260 |
| 4 Forschungsinteresse der Studie | 262 |
| 5 Design und Stichprobe | 262 |
| 6 Ergebnisse | 263 |
| 7 Diskussion | 264 |
| 8 Literatur | 265 |
