| Geleitwort | 6 |
| Danksagung | 8 |
| Inhaltsverzeichnis | 9 |
| Abbildungsverzeichnis | 15 |
| Tabellenverzeichnis | 20 |
| Verzeichnis epistemologischer Dreiecke | 21 |
| Transkriptionsregeln | 22 |
| Einleitung | 23 |
| 1 Variablen in der elementaren Algebra – Bedeutung und Schwierigkeiten | 29 |
| 1.1 Die Bedeutung von Variablen und Variablenkonzepten | 29 |
| 1.1.1 Variablen und Variablenkonzepte | 30 |
| 1.1.2 Die Rolle von Variablen in der elementaren Algebra | 36 |
| 1.2 Schwierigkeiten beim Variablenverständnis | 44 |
| 1.2.1 Die Überbetonung des Kalküls und die fehlende Sinnstiftung | 46 |
| 1.2.2 Die Vieldeutigkeit von Variablen | 49 |
| 1.2.3 Der Bruch zwischen Arithmetik und Algebra | 54 |
| 1.3 Weiterführende Forschungsinteressen | 57 |
| 2 Lerntheoretische Grundlagen | 61 |
| 2.1 Begriffsentwicklung aus konstruktivistischer Perspektive | 62 |
| 2.2 Begriffsentwicklung aus epistemologischer Perspektive | 66 |
| 2.2.1 Der besondere Charakter von Kommunikation | 67 |
| 2.2.2 Der besondere Charakter mathematischer Begriffe | 69 |
| 2.2.3 Das epistemologische Dreieck | 72 |
| 2.2.4 Die Rolle der ‚Alltagsbegriffe’ in der Begriffsentwicklung | 77 |
| 2.3 Zusammenfassung | 80 |
| 3 Zur propädeutischen Entwicklung von Variablenkonzepten in der Grundschule | 82 |
| 3.1 Didaktische Grundlagen | 82 |
| 3.1.1 Das genetische Prinzip | 83 |
| 3.1.2 Das Spiralprinzip | 89 |
| 3.2 ‚Early Algebra’ | 91 |
| 3.2.1 Algebraisierung des Mathematikunterrichts der Grundschule | 93 |
| 3.2.2 Untersuchungen zu algebraischen Kompetenzen von Grundschulkindern | 97 |
| 3.2.3 Zusammenführung der Überlegung zur propädeutischen Entwicklung von Variablenkonzepten | 99 |
| 3.3 Die Bedeutung der Sprache und der Wortvariablen | 101 |
| 3.3.1 Zur phylogenetischen Entwicklung der algebraischen Sprache | 101 |
| 3.3.2 Zur ontogenetischen Entwicklung der algebraischen Sprache | 105 |
| 3.3.3 Die Rolle von Quasi-Variablen | 109 |
| 3.4 Zusammenfassung | 110 |
| 4 Das Verallgemeinern mathematischer Muster | 113 |
| 4.1 Das Verallgemeinern als Leitidee zur Einführung von Variablen | 114 |
| 4.1.1 Die Tätigkeit des Verallgemeinerns aus algebraischer Perspektive | 114 |
| 4.1.2 Der Kontext des Verallgemeinerns als Zugang zur Algebra | 118 |
| 4.2 Das Verallgemeinern als grundlegende Tätigkeit im Mathematikunterricht | 129 |
| 4.2.1 Mathematik als die Wissenschaft von den Mustern | 130 |
| 4.2.2 Verallgemeinern: Das Allgemeine im Besonderen erkennen und beschreiben | 133 |
| 4.3 Zusammenfassung | 136 |
| 5 Forschungsfragen und Untersuchungsdesign | 138 |
| 5.1 Zentrale Forschungsfrage | 138 |
| 5.2 Aufbau der Interviewstudie | 141 |
| 5.2.1 Das klinische Interview als Methode zur Datenerhebung | 143 |
| 5.2.2 Die Konzeption der Interviewaufgaben | 144 |
| 5.2.3 Auswahl der teilnehmenden Schülerschaft | 166 |
| 5.2.4 Auswertung der Daten | 167 |
| 5.3 Auffächerung der zentralen Forschungsfrage | 169 |
| 6 Ergebnisse | 172 |
| 6.1 Die Entwicklung von Variablenkonzepten im Verallgemeinerungsprozess | 172 |
| 6.1.1 Erstes Fallbeispiel: Thorsten | 173 |
| 6.1.2 Zweites Fallbeispiel: Lars | 182 |
| 6.1.3 Zusammenfassung und Fazit | 187 |
| 6.2 Sprachliche Mittel zur Verallgemeinerung mathematischer Muster | 188 |
| 6.2.1 Verallgemeinerungsweisen | 189 |
| 6.2.2 Angabe eines repräsentativen Beispiels (mit Kennzeichnung des Beispiels als solches) | 191 |
| 6.2.3 Aufzählung mehrerer Beispiele (ggf. mit Verweis auf Fortlauf) | 195 |
| 6.2.4 Quasi-Variablen | 196 |
| 6.2.5 Bedingungssätze | 197 |
| 6.2.6 Verwendung von Wörtern oder Zeichen mit Variablencharakter | 199 |
| 6.2.7 Mischformen | 201 |
| 6.2.8 Zusammenfassung und Fazit | 202 |
| 6.3 Der Zusammenhang von Strukturierung und Versprachlichung | 204 |
| 6.3.1 Fallbeispiel: Kai | 205 |
| 6.3.2 Zusammenfassung und Fazit | 210 |
| 6.4 Die Rolle des Kontextes bei der Verallgemeinerung | 212 |
| 6.4.1 Verallgemeinerungen im Kontext Plättchenmuster | 213 |
| 6.4.2 Verallgemeinerungen im Kontext Partnerzahlen | 215 |
| 6.4.3 Verallgemeinerungen im Kontext Zaubertrick | 217 |
| 6.4.4 Zusammenfassung und Fazit | 219 |
| 6.5 Die Verallgemeinerung von Mustern verschiedener Darstellungsebenen | 220 |
| 6.5.1 Die Loslösung von der geometrisch-visualisierten Ebene | 221 |
| 6.5.2 Die Verknüpfung von verschiedenen Darstellungsebenen | 225 |
| 6.5.3 Die Strukturentwicklung auf geometrisch-visualisierter und arithmetischer Ebene | 229 |
| 6.5.4 Zusammenfassung und Fazit | 235 |
| 6.6 Die Rolle von expliziten und rekursiven Sichtweisen bei der Verallgemeinerung | 235 |
| 6.6.1 Explizite und rekursive Deutungen der Folgen | 237 |
| 6.6.2 Proportionalitätsannahme | 244 |
| 6.6.3 Die Bedeutung verschiedener Musterstrukturierungen für die Verallgemeinerung | 251 |
| 6.6.4 Zusammenfassung und Fazit | 253 |
| 6.7 Die Verallgemeinerung von Beziehungen zwischen unbestimmten Zahlen | 254 |
| 6.7.1 Operationale und strukturelle Deutungen der Beziehung | 255 |
| 6.7.2 Einseitige und beidseitige Deutungen der Beziehung | 257 |
| 6.7.3 Das Einnehmen verschiedener Perspektiven auf die Beziehung zwischen zwei Zahlen | 259 |
| 6.7.4 Anforderungsbedingte Wechsel | 262 |
| 6.7.5 Durch den Charakter der Beziehung bedingte Wechsel | 264 |
| 6.7.6 Zusammenfassung und Fazit | 271 |
| 6.8 Die Deutung der Wortvariablen ‚Zahl‘ im Kontext des Verallgemeinerns | 273 |
| 6.8.1 Deutung der Wortvariablen ‚Zahl‘ als Unbestimmte undZahl+20 als neue unabhängige Variable | 274 |
| 6.8.2 Deutung der Wortvariablen ‚Zahl‘ als Unbestimmte undZahl+20 als Term | 277 |
| 6.8.3 Orientierung an den Symbolen ‚+20’ ohne explizite Deutung der Wortvariablen | 280 |
| 6.8.4 Zusammenfassung und Fazit | 283 |
| 6.9 Die Rolle der Verallgemeinerung beim Argumentieren | 284 |
| 6.9.1 Erstes Fallbeispiel: Niklas | 286 |
| 6.9.2 Zweites Fallbeispiel: Ali | 290 |
| 6.9.3 Zusammenfassung und Fazit | 293 |
| 7 Zusammenfassung und Ausblick | 296 |
| 7.1 Zusammenfassung | 297 |
| 7.2 Ausblick | 303 |
| 7.2.1 Folgerungen und Fragen für die Erforschung vonLernprozessen und für die Unterrichtsentwicklung | 303 |
| 7.2.2 Folgerungen für die Praxis | 305 |
| 7.3 Schlussbemerkung | 308 |
| Literaturverzeichnis | 310 |
