| Einleitung | 11 |
| 1 Affine Inzidenzebenen | 17 |
| 1.1 Definition affiner Inzidenzebenen | 17 |
| 1.2 Einfache Folgerungen | 19 |
| 1.3 Kollineationen | 22 |
| 1.4 Punktabbildung einer Kollineation | 24 |
| 1.5 Dilatationen | 25 |
| 1.6 Schließungssätze | 27 |
| 1.6.1 Der große und der kleine Satz von Desargues | 27 |
| 1.6.2 Der große und der kleine Satz von Pappos | 30 |
| 1.6.3 Der Schließungssatz (D*) | 31 |
| 1.6.4 Der große und der kleine Scherensatz | 33 |
| 1.6.5 Zusammenhange zwischen den Schließungssätzen | 34 |
| 1.6.6 (D)-Ebenen u. ä | 35 |
| 2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen | 37 |
| 2.1 Definition von Parallelogrammen | 37 |
| 2.2 Zur Definition uneigentlicher Parallelogramme | 41 |
| 2.3 Eigenschaften von Parallelogrammen | 42 |
| 2.4 Definition von Parallelverschiebungen | 46 |
| 2.5 Einige Eigenschaften der Parallelverschiebungen | 48 |
| 2.6 Die abelsche Gruppe der Parallelverschiebungen | 49 |
| 2.7 Parallelverschiebungen respektieren die Kollinearitat | 51 |
| 2.8 Parallelverschiebungen als Kollineationen | 52 |
| 2.9 Parallelverschiebungen als Dilatationen | 53 |
| 2.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren, Richtung von Parallelverschiebungen | 53 |
| 2.11 Die Untergruppen Tg von T | 54 |
| 2.12 Zusammenhang zwischen T und P, sowie zwischen Tg und Pg | 55 |
| 2.13 Konjugationen in Gruppen | 56 |
| 2.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Kollineationen | 57 |
| 2.15 Algebraische Struktur der Gruppe (T, o) | 58 |
| 2.16 Zusammenhang zwischen Parallelverschiebungen und Translationen | 59 |
| 2.17 Operieren der Translationsgruppe T auf der Punktmenge P | 62 |
| Ergänzungen zu Kapitel 2 | 67 |
| 2.18 Parallelgleichheit | Vektoren als Äquivalenzklassen | 67 |
| 2.19 Ortsvektoren | 68 |
| 2.20 Ein geometrischer Beweis von Eigenschaft 2.5 (2) | 69 |
| 3 Streckungen in (D)-Ebenen | 71 |
| 3.1 Definition von Z-Trapezen | 72 |
| 3.2 Zur Definition von uneigentlichen Z-Trapezen | 74 |
| 3.3 Eigenschaften von Z-Trapezen | 75 |
| 3.4 Definition von Streckungen | 78 |
| 3.5 Einige Eigenschaften der Streckungen | 80 |
| 3.6 Die Gruppe der Streckungen mit Zentrum Z | 81 |
| 3.7 Streckungen erhalten die Kollinearität | 84 |
| 3.8 Streckungen als Kollineationen | 85 |
| 3.9 Streckungen als Dilatationen | 85 |
| 3.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren von Streckungen | 86 |
| 3.11 Zusammenhang in (D)-Ebenen zwischen der Menge aller Z-Streckungen und der Menge aller Punkte einer Geraden durch Z | 86 |
| 3.12 Konjugation von Streckungen mit Kollineationen | 88 |
| 3.13 Isomorphie aller Streckungsgruppen | 88 |
| 3.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Streckungen | 89 |
| 3.15 Zusammenhang zwischen Streckungen und Dilatationen mit einem Fixpunkt | 90 |
| 3.16 Die Streckungsgruppe mit Zentrum Z operiert in (D)-Ebenen auf jeder Geraden durch Z | 92 |
| 3.17 Z-Streckungsgleichheit | 95 |
| 3.18 Ein geometrischer Beweis von Satz 3.14 | 96 |
| 3.19 (D) ist eine notwendige Voraussetzung fär Satz 3.11 | 98 |
| 4 Schiefkörper der spurtreuen Endomorphismen von T | 101 |
| 4.1 Zwei Ergebnisse aus der Linearen Algebra | 103 |
| 4.1.1 Der Endomorphismenring einer abelschen Gruppe | 103 |
| 4.1.2 Abelsche Gruppen als Linksmoduln äber ihrem Endomorphismenring | 103 |
| 4.2 Anwendung auf die abelsche Gruppe (T, o) der Parallelverschiebungen | 104 |
| 4.3 Spurtreue Endomorphismen von (T, o) | 107 |
| 4.4Geometrische Verhaältnisse bei der Anwendung spurtreuer Endomorphismen von (T, o) in (d)-Ebenen | 109 |
| 4.5 Spurtreue Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen | 111 |
| 4.6 Der Gruppenhomomorphismus konj : Dil (A) ^ Aut(T, o) | 115 |
| 4.7 Der Schiefkörper K der spurtreuen Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen | 117 |
| 4.8 Der einer (D)-Ebene zugeordnete Linksvektorraum KT | 122 |
| Ergänzungen zu Kapitel 4 | 123 |
| 4.9 Eigenschaften der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen | 123 |
| 4.10 Der Schiefkärper K der spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen | 128 |
| 4.11 Algebraischer Beweis der Injektivitat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen | 132 |
| 4.12 Algebraischer Beweis der Surjektivitäat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen | 132 |
| 4.13 Algebraischer Beweis von K = Konj5o U {O} in (D)-Ebenen | 133 |
| 5 Beziehungen zwischen (D)-Ebenen und algebraisch affinen Ebenen | 137 |
| 5.1 Algebraisch affine Ebenen | 137 |
| 5.1.1 Algebraische affine Raäume und Ebenen | 138 |
| 5.1.2 Affine Standardräume | 140 |
| 5.1.3 Unterraume eines algebraisch affinen Raumes | 140 |
| 5.1.4 Einige Eigenschaften affiner Unterraäume | 143 |
| 5.1.5 Semi-Affinitäten und Affinitaten zwischen affinen Raumen | 144 |
| 5.2 Die einer algebraisch affinen Ebene A kanonisch zugeordnete (D)-Ebene G (A) | 150 |
| 5.3 Die einer (D)-Ebene A kanonisch zugeordnete algebraisch affine Ebene F (A) | 153 |
| 5.4 Kollineationen zwischen (D)-Ebenen induzieren Semi-Affinitäten zwischen den kanonisch zugeordneten algebraisch affinen Ebenen | 154 |
| 5.5 Semi-Affinitaäten zwischen algebraisch affinen Ebenen induzieren Kollineationen zwischen den kanonisch zugeordneten (D)-Ebenen | 160 |
| 5.6 Das Kompositum G o F der kanonischen Zuordnungen liefert eine Kollineation A ^ G o F (A) von (D)-Ebenen | 162 |
| 5.7 Das Kompositum F o G der kanonischen Zuordnungen liefert eine Semi-Affinität A ^ F o G (A) algebraisch affiner Ebenen | 163 |
| 5.7.1 Bezeichnungen | 163 |
| 5.7.2 Bestimmung von T(G (A)) | 164 |
| 5.7.3 Bestimmung der Untergruppen Tg von T (G (A)) | 166 |
| 5.7.4 Bestimmung des Schiefkörpers K(G (A)) | 166 |
| 5.7.5 Streckungen mit Zentrum O in G (A) | 169 |
| 5.7.6 Semi-Affinität von A auf F (G (A)) | 169 |
| 5.7.7 Ergebnis | 170 |
| 5.8 Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und der Menge der Isomorphieklassen von algebraisch affinen Ebenen | 171 |
| 5.9 Der Hauptsatz der affinen Geometrie und sein Analogon | 172 |
| 5.10 Koordinaten in (D)-Ebenen | 174 |
| Ergaänzungen zu Kapitel 5 | 177 |
| 5.11 Ist der Grundkärper von A kommutativ, so gilt in G (A) der große Satz von Pappos | 177 |
| 6 Affine Kollineationen, insbesondere axiale Kollineationen in (D)-Ebenen | Affinitäten und Achsenaffinitäten in algebraisch affinen Ebenen | 179 |
| 6.1 Affine Kollineationen in (D)-Ebenen | 180 |
| 6.2 (ng , a)- Vierecke | 182 |
| 6.3 Eigenschaften von (ng , a) - Vierecken | 186 |
| 6.4 Zur Definition uneigentlicher (ng , a)-Vierecke | 191 |
| 6.5 (ng , a) - Abbildungen | 192 |
| 6.6 (ng , a) - Abbildungen induzieren Kollineationen | 196 |
| 6.7 Eigenschaften der (ng , a) - Kollineationen | 200 |
| 6.8 Axiale Kollineationen | 202 |
| 6.9 Aquivalenz von (ng , a)-Kollineationen und axialen Kollineationen | 202 |
| 6.10 Fundamentalsatz der affinen Geometrie in (D)-Ebenen | 206 |
| 6.11 Komposition axialer Kollineationen mit gleicher Achse | 208 |
| Erganzungen zu Kapitel 6 | 211 |
| 6.12 (ng , a) - Äquivalenz | 211 |
| 6.13 Axiale Kollineationen und Achsenaffinitäaten | 212 |
| 6.14 Algebraische Beschreibung, insbesondere Matrizendarstellung von Achsenaffinitaäten | 213 |
| 6.14.1 Algebraische Beschreibung von Achsenaffinitaäten | 213 |
| 6.14.2 Matrizendarstellung von Scherungen | 214 |
| 6.14.3 Matrizendarstellung von Achsenaffinitäaten, die keine Scherungen sind | 215 |
| 7 Hilbertsche Streckenrechnung in (D)-Ebenen | 217 |
| 7.1 Einleitung | 217 |
| 7.2 Wiederholung aus der Algebra | 218 |
| 7.3 Der Schiefkorper der HlLBERTschen Streckenrechnung | 219 |
| 7.4 Geometrische Konstruktion der Addition von Strecken | 224 |
| 7.5 Geometrische Konstruktion der Multiplikation von Strecken | 226 |
| 7.6 Koordinaten bei der HlLBERTschen Streckenrechnung | 228 |
| 7.7 Kennzeichnung der Geraden als lineare Mannigfaltigkeiten | 229 |
| 7.8 Zusammenhang zwischen den Koordinaten gemäß der HlLBERTschen Streckenrechnung und unseren Koordinaten | 237 |
| Anhang | 241 |
| 8 Teilverhältnis und Proportionen in (D)-Ebenen | 243 |
| 8.1 Definition und Eigenschaften des Teilverhäaltnisses | 243 |
| 8.2 Strahlensäatze | 245 |
| 8.3 Teilverhäaltnis bei affinen Kollineationen und bei Parallelprojektionen | 247 |
| 8.4 Proportionen in der HlLBERTschen Streckenrechnung | 249 |
| 9 Beweise der verwendeten Zusammenhänge zwischen den Schließungssatzen | 251 |
| 9.1 Aus (D) folgt (d) | 252 |
| 9.2 Aus (d) folgt (p) | 255 |
| 9.3 Aus (p) folgt (s) | 259 |
| 9.4 Aus (P) folgt (D) | 262 |
| 9.5 Aus (D) folgt (D*) | 276 |
| 9.6 Aus (D) folgt (S) | 284 |
| 10 Konstruktive Definition von Zentralkollineationen in projektiven (D)-Ebenen | 291 |
| 10.1 Projektive Ebenen | 293 |
| 10.2 Zusammenhang zwischen projektiven und affinen Ebenen | 295 |
| 10.3 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen | 297 |
| 10.3.1 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen | 297 |
| 10.3.2 Zusammenhang der beiden affinen Schließungssätze (D) und (D*) | 299 |
| 10.3.3 Zusammenhang zwischen (Daff) und (Dproj) | 300 |
| 10.3.4 Allgemeinere Formulierung von (Dproj) | 301 |
| 10.4 (Z, a)-Vierecke | 301 |
| 10.5 Eigenschaften von (Z, a)-Vierecken | 305 |
| 10.6 Zur Definition uneigentlicher (Z, a)-Vierecke | 307 |
| 10.7 (Z, a)-Punktabbildungen | 308 |
| 10.8 (Z, a)-Punktabbildungen induzieren Kollineationen | 313 |
| 10.9 Zentralkollineationen in projektiven Ebenen | 315 |
| 10.10 Äquivalenz der axiomatischen Definition von Zentralkollineationen und der konstruktiven Definition von (Z, a)-Kollineationen in projektiven (D)-Ebenen | 319 |
| 10.11 Beziehungen der (Z, a)-Kollineationen zu den in den Kapiteln 2, | 321 |
| Ergaönzungen zu Kapitel 10 | 323 |
| 10.12 (Z, a)-Äquivalenz | 323 |
| 10.13 Komposition zentraler Kollineationen mit derselben Achse, aber verschiedenen Zentren | 323 |
| 10.14 Äquivalenz des Schließungssatzes D(Z, a) mit der linearen Transitivität der Gruppe Z(Z,a) | 328 |
| 10.15 Anmerkungen zur Gruppe T(a) | 331 |
| Literaturverzeichnis | 333 |
| Bezeichnungen | 335 |
| Index | 339 |
