Cyclic Redundancy Check für die industrielle Kommunikation - Probleme, Nutzen und Risiken

Abschätzung der Restfehlerwahrscheinlichkeit von CRC-Codes

Autor	Kamal Merchant
Verlag	De Gruyter Oldenbourg
Erscheinungsjahr	2013
Seitenanzahl	176 Seiten
ISBN	9783486741933
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	104,95 EUR

dieses Buch stellt die wichtigsten mathematischen Abhandlungen beim Einsatz von linearen Codes in der industriellen Kommunikation vor. Ausführlich werden effiziente Verfahren für die Approximation der Restfehlerwahrscheinlichkeit RW behandelt, die mäßig bis extrem hohen Aufwand erfordern. Insbesondere wird auch der Ansatz der Taylorreihe vorgestellt, ein völlig neues und bisher unbeachtetes Verfahren.

Kamal Merchant, Erlangen

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort V	5
Danksagung	7
Haftungsausschluss	9
Lebenslauf	9
Symbolverzeichnis	11
1 Einleitung	17
1.1 Shannon-Hartley Theorem und Shannon-Limit	20
1.2 Aufbau und Struktur von Codes	20
1.2.1 Aufbau und Struktur eines linearen Block-Codes	21
1.3 Definition eines linearen Block-Codes	21
1.3.1 Das Linearitätskriterium	22
1.4 Struktur und Aufbau des Aufsatzes	22
2 Mathematische Grundlagen	23
2.1 Implementierung des Codes mittels CRC	23
2.2 Hamming-Distanz	27
2.3 Gewichtsverteilung Ai eines Codes	27
2.4 Zykluslänge	29
2.5 Restfehlerwahrscheinlichkeit	31
2.6 Systematische Generatormatrix	31
2.7 Fehlererkennung und Restrisiko	33
2.8 Fehlerkorrektur und Hamming-Distanz	34
2.9 Grenzen der Block-Codes	36
2.9.1 Hamming-Schranke	36
2.9.2 Singleton-Schranke	38
2.9.3 Plotkin-Schranke	39
3 Wichtige lineare Block-Codes	41
3.1 Hamming-Code	41
3.1.1 Verkürzter Hamming-Code	41
3.1.2 Erweiterter Hamming-Code	41
3.2 Zyklischer Code	42
3.3 BCH-Code	42
3.4 Weitere Codes	43
3.4.1 Perfekter Code	44
3.4.2 Golay-Code	44
4 Herkömmliche Verfahren zur Bestimmung der RW	47
4.1 Die Grenzen der Rechengenauigkeit modernen Rechner	47
4.2 Klassischer Ansatz	48
4.2.1 Die Schranken der Restfehlerwahrscheinlichkeit	48
4.2.2 Eine schnelle Abschätzung mit einem Korrekturfaktor x	50
4.2.3 Die Bedeutung des Korrekturfaktors x und seine Beschaffenheit	50
4.2.4 Praktische Beispiele	53
4.3 Dualer Code	57
4.3.1 Einleitung	57
4.3.2 Ein praktisches Beispiel	58
4.3.3 Die Gestaltung des Algorithmus	59
4.3.4 Die Bestimmung des Verlaufs der Hamming-Distanz	60
4.3.5 Die Bestimmung der RW bei einem Datenblock	60
4.3.6 Die Vor- bzw. Nachteile des Verfahrens	60
4.4 Stochastische Automaten	61
4.4.1 Die Darstellung des Schieberegisters mit einem Automaten	61
4.4.2 Die Bestimmung der Matrizen M0 bzw. M1	64
4.4.3 Der praktische Einsatz	69
4.4.4 Der stochastische Ansatz	71
4.4.5 Die deterministischen Betrachtungen	73
4.4.6 Weiterführende Recherchen	81
4.4.7 Vor- bzw. Nachteile des Verfahrens	81
5 Die Taylorreihe – Definitionen und Formeln	83
5.1 Alternierende Reihen	83
5.1.1 Umhüllende Reihe einer Zahl	83
5.1.2 Restfehlerwahrscheinlichkeit RW	83
5.1.3 Taylorreihe einer Funktion f(x)	84
5.1.4 Taylorpolynome Tm(x)	84
5.1.5 Taylorreihe eines Polynoms mten Grades	84
5.1.6 Umhüllende Reihe einer Funktion f(x)	85
5.2 Approximation der RW durch eine Taylorreihe	85
5.2.1 Hypothese über den Verlauf der Restfehlerwahrscheinlichkeit	85
5.2.2 Abschätzung der RW(p) iten Ordnung (das erweiterte Polynom)	85
5.2.3 Die Taylorreihe der Restfehlerwahrscheinlichkeit RW(p)	85
5.2.4 Die Koeffizienten ck einer Taylorreihe der RW(p)	86
5.3 Die Beziehung zwischen dem Index k und dem Index n	86
6 Sätze	87
6.1 Codewörter	87
6.2 Eigenschaften der Koeffizienten ck	87
6.3 Alternierende Reihen	90
6.4 Geltungsbereich der Taylorreihe	95
6.5 Erweiterung des Taylorpolynoms Tm(p)	96
7 Ergebnis	101
7.1 Die Taylorreihe	101
7.2 Die erweiterten Taylorpolynome nten Grades	101
7.3 Die Restfehlerwahrscheinlichkeit und ihre Genauigkeit	104
7.4 Die Genauigkeit der Berechnungen der RW	105
8 Beispiele	107
8.1 Hinweis zum Umgang mit den Taylorpolynomen	107
8.1.1 Taylorreihe vom Typ A	107
8.1.2 Taylorreihe vom Typ B	108
8.1.3 Taylorreihe vom Typ C	108
8.2 Allgemeine Beispiele	109
8.2.1 Taylorreihe vom Typ A	109
8.2.2 Taylorreihe vom Typ B	110
8.2.3 Taylorreihe vom Typ C	110
8.3 Spezielle Beispiele	111
8.4 Erweiterte Polynome	112
8.5 Der Vergleich von Taylorpolynomen mit erweiterten Polynomen	114
8.6 Upper- bzw. Lower-Bound der Restfehlerwahrscheinlichkeit	115
9 Allgemeine Anmerkungen	117
9.1 Die Koeffizienten ck der Polynome vom Typ C	117
9.2 Die Koeffizienten ck	117
9.3 Die Überlagerung der erweiterten Polynome	117
9.4 Die Polynome	118
9.5 Ein Anwendungsbeispiel	118
10 Vor- und Nachteile des Verfahrens	119
10.1 Vorteile	119
10.2 Nachteile	120
11 Zusammenfassung	121
12 Literatur	125
13 Abbildungsverzeichnis	127
14 Anhang	129
14.1 Bestimmung der Koeffizienten ck einer Taylorreihe der RW(p)	129
14.2 Der Nachweis der umhüllenden Taylorreihe für ct * ct + 1 > 0	131
14.3 Erweiterung des Satzes 9	133
14.4 Erweiterung des Satzes 10	134
15 Tabellen	135
16 Abbildungen	141
17 Sachwortverzeichnis	173

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