Stetige Verzinsung

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen, bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt. Der Zeitraum der einzelnen Zinsperiode geht demnach gegen 0. ˜ n m · § r n… Jahre Kn... Kapital nach n Jahren r… Zinssatz ˜ 1 ¸ ¨ K K

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Stetige Verzinsung für m : \: ˜ · § n m · § r ¸ ¨ ˜ ˜ ˜ n r ¸ ¨ e K K lim K 1 ¸ ¨ n 0 0 ¹ © f o m m ¹ ©

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Umrechnungen:

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Die Zinssätze werde ich immer mit stetiger Verzinsung messen, da man diese Verzinsungsart in sehr vielen finanzmathematischen Modellen annimmt; so zum Beispiel bei der Berechnung des fairen europäischen Call- und Put-Preises anhand des Black-Scholes-Merton-Modells oder generell bei der Bewertung von Derivaten.

Nun aber zurück zur Frage: Wie berechnet man den Future-Preis? Aktie1 Future-Preis11 1

˜ ˜ T r ohne Erträge e S

0

T ˜ ˜ r gegenwärtige Aktienkurs S0… mit bekanntem Ertrag (Barwert I: Wert, e I S

0

T… Laufzeit (in Jahren) den eine zukünftig fällige Zahlungsreihe in r… stetige Zinssatz für T Jahre der Gegenwart besitzt )

˜ ˜ T ) q r ( mit bekannter Rendite q e S

0

Nun scheint dies ziemlich „aus der Luft gegriffen“, deshalb will ich erklären, wie man solche Bewertungsformeln deduziert. Dazu betrachte ich nur die erste Variante, da die anderen denselben Ansatz haben. Eine Arbitrageüberlegung führt hier zum Ziel: Ich habe beispielsweise eine Aktie, deren Kurs bei 50 € liegt, und der risikolose Zinssatz für sechsmonatige Anlagen liegt bei 4 % per annum.

Voraussetzungen für einige (die größten, z.B. Investmentbanken) Marktteilnehmer:

o keine Existenz von Transaktionskosten,

o Aufnahme und Anlage des Kapitals ist zum risikolosen Zinssatz möglich,

o alle Handelsgewinne unterliegen dem gleichen Steuersatz,

o Arbitragemöglichkeiten werden genützt, sobald sie auftreten.

Die Methode liegt in der Einschränkung des Future-Preises:

Future-Preis = 47 € Future-Preis = 54 € Heute: Heute:

o Ich leihe mir 50 € zu 4 % p.a. für 6 o Ich verkaufe eine Aktie leer (Short-Monate selling), nehme 50 € ein

o Kauf einer Aktie [Leerverkauf: Verkauf eines Underlyings, das

o Abschluss eines Short Futures der sich noch gar nicht im Besitz des Verkäufers befindet; mit der Absicht, es später billiger Aktie in 6 Monaten für 54 €

erwerben zu können.]

o Ich lege die 50 € zu 4 % p.a. für 6 Monate an

o Abschluss eines Long Futures der Aktie in 6 Monaten für 47 €

In 6 Monaten: In 6 Monaten:

o Verkauf der Aktie für 54 € (Short o Kauf der Aktie für 47 € (Long Future)

o Ich schließe den Leerverkauf Future)

o Rückzahlung des Kredits mit Zinsen o Habe 51,01 € Erlös aus der Anlage

o Risikoloser Gewinn= 4,01 € (51,01 €)

o Risikoloser Gewinn = 2,99 €

Es dürfen nun aber keine Arbitragemöglichkeiten existieren, da auch der Future-Preis fair sein muss. Der Future-Preis ist so anzupassen, dass der Wert zum heutigen Zeitpunkt gerade Null beträgt - der Vertrag sollte bei t = 0 tatsächlich wertlos sein. Im Gegensatz zu Optionen kann man sich hier eine ganz einfache Strategie überlegen: Mein Counterpart kauft von mir einen Future auf die eben betrachtete Aktie mit Fälligkeit in sechs Monaten. Ich bin nun verpflichtet, zum Fälligkeitszeitpunkt die Aktie an meinen „Gegenspieler“ zu einem Preis F auszuliefern. Um dies jedoch garantieren zu können, kaufe ich die Aktie um 50 € heute und finanziere sie durch einen Kredit in der Höhe von 50 €. Nach sechs Monaten verkaufe ich dem Gegenüber die Aktie zum Future-Preis. Wähle ich den Preis so, dass mit

˜ ˜ , , 5 0 04 0 , e € zurückgezahlt werden kann, so ist diesem der Betrag in der Höhe von 01 51 50 ˜ ˜ T r e S F es möglich die Verpflichtung ohne Gewinn oder Verlust zu erfüllen. :

0

Der Future-Preis hängt also lediglich vom risikolosen Zinssatz r ab und nicht vom Underlying!

1.5. Händlertypen1 15 1

Es werden drei wesentliche Händlertypen unterschieden:

Absicherer (Hedger) Schließen Geschäfte zur Risikoreduzierung oder sogar zur Risikoeliminierung ab.

Spekulanten Spekulieren (wetten) auf zukünftige Bewegungen des Preises eines Underlyings. Sie nutzen die Hebelwirkung von Derivaten (Leverage : Kapitel „Eigenschaften von Aktienoptionen“).

Arbitrageure Streben Vorteile aus unterschiedlichen Kursen auf verschiedenen Märkten an.

Zusammenfassung1Kapitel111

„Die Berechnung des fairen europäischen Call- und Put-Preises anhand des Black-Scholes-Merton-Modells“ - folgende Komponenten möchte ich nach dieser Einführung hieraus nochmals explizieren:

o Mit dem Kauf eines Calls bzw. eines Puts erwirbt man das Recht das Underlying zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt (: Zeitpunkt: europäische Option), dem Fälligkeitszeitpunkt, zu einem heute schon vereinbarten Kurs, dem Ausübungspreis, zu kaufen bzw. zu verkaufen.

o Für den Erwerb einer Option muss also ein bestimmter Betrag bezahlt werden: Dieser heißt Optionspreis (Call- bzw. Put-Preis). Wichtig ist dabei, dass der Optionspreis fair, also ohne Existenz von Arbitragemöglichkeiten, berechnet wurde.

o Das Black-Scholes-Merton-Modell ist ein Bewertungsverfahren für die Berechnung des fairen europäischen Call- und Put-Preises.

o Das Modell konnte sich bald als „Standard“ in der Optionspreisbildung etablieren. Frühere Methoden zur Optionsbewertung fanden keinen Anklang, weil sie von schwer bis teilweise unbestimmbaren Parametern abhingen, wie beispielsweise dem erwarteten Aktienpreis bei Fälligkeit der Option. Die Determinanten (: Kapitel „Eigenschaften von Aktienoptionen“, Bestimmungsfaktoren) für den Preis der Option sind im Black-Scholes-Merton-Modell bis auf eine Ausnahme alle real auf dem Markt beobachtbar. Allein die zukünftige Volatilität 16 des Aktienkurses ist nicht exakt bestimmbar, kann aber relativ „trivial“, zum Beispiel mittels historischer Daten (Historische Volatilität) oder deduziert aus den Marktpreisen von Optionen (Implizite Volatilität), objektiv geschätzt werden. 17

Nachdem nun ein...