| Geleitwort | 6 |
| Danksagung | 7 |
| Inhaltsverzeichnis | 9 |
| Einleitung | 15 |
| 1 Flexibler Umgang mit Brüchen | 23 |
| 1.1 Didaktische Rekonstruktion als integrierendes Forschungsprogramm | 24 |
| 1.1.1 Lernen aus konstruktivistischer Sicht | 24 |
| 1.1.2 Individuelle Vorstellungen und ihre Bedeutung | 24 |
| 1.1.3 Auf Vorstellungen aufbauen – Didaktische Rekonstruktion | 27 |
| 1.2 Zusammenhänge von Teil, Anteil und Ganzem erfassen | 32 |
| 1.2.1 Grundvorstellungen als präskriptive fachliche Vorstellungen | 33 |
| 1.2.2 Komplexität der Grundvorstellungen: Brüche und Operationen | 36 |
| 1.2.3 Bruch als Teil eines Ganzen – Bruch als Relativer Anteil | 39 |
| 1.2.4 Erweitern, Kürzen und Addieren | 41 |
| 1.3 Schwierigkeiten beim Umgang mit Brüchen | 44 |
| 1.3.1 Schwierigkeiten in verschiedenen Ebenen und Schichten | 45 |
| 1.3.2 Ausgewählte Befunde zu intuitiven Gesetzen und Regeln | 47 |
| 1.3.3 Ausgewählte Befunde zu individuellen Vorstellungen | 48 |
| 1.3.4 Zusammenhänge zwischen verschiedenen Schichten | 50 |
| 1.4 Flexibel mit Brüchen umgehen – Grundlegung | 51 |
| 1.4.1 Flexibilität und flexible Strategien | 52 |
| 1.4.2 Im Fokus: Zusammenhänge von Teil, Anteil und Ganzem | 53 |
| 1.5 Mit verschiedenen Ganzen arbeiten | 55 |
| 1.5.1 Die Bedeutung des Ganzen als Bezugsgröße | 55 |
| 1.5.2 Mit verschiedenen Qualitäten des Ganzen arbeiten | 56 |
| 1.5.3 Schwierigkeiten mit dem Ganzen | 61 |
| 1.6 Einheiten bilden und umbilden | 62 |
| 1.6.1 Multiplikatives Denken und multiplikative Situationen | 62 |
| 1.6.2 Einheiten nutzen: Bilden und Umbilden von Einheiten | 65 |
| 1.7 Verschiedene Konstellationen bewältigen | 68 |
| 1.7.1 Drei Konstellationen als Ausdruck von Zusammenhängen | 68 |
| 1.7.2 Teil eines Ganzen – Realisierung in drei Konstellationen | 70 |
| 1.7.3 Relativer Anteil – Realisierung in drei Konstellationen | 72 |
| 1.7.4 Flexibel mit Konstellationen umgehen | 73 |
| 1.7.5 Zusammenhänge in und zwischen Konstellationen | 75 |
| 1.8 Operative Vorgehensweisen nutzen | 76 |
| 1.8.1 Aufgabeninitiierte operative Vorgehensweisen | 76 |
| 1.8.2 Selbstinitiierte operative Vorgehensweisen | 82 |
| 1.9 Forschungsfragen zum flexiblen Umgang mit Brüchen | 85 |
| 2 Hintergrund und Realisierung des Forschungsdesigns | 89 |
| 2.1 Methodologische Vorüberlegungen zur empirischen Erfassung individueller Vorstellungen | 89 |
| 2.1.1 Produkt- und Prozessperspektive | 90 |
| 2.1.2 Quantitative und qualitative Forschungsansätze und ihre Kombination | 91 |
| 2.1.3 Qualitätskriterien empirischer Forschung | 95 |
| 2.2 Design im Modell der Didaktischen Rekonstruktion | 96 |
| 2.3 Realisierung der Interviewstudie (Phasen IV-VI) | 99 |
| 2.3.1 Design der Interviewstudie | 99 |
| 2.3.2 Interviewstudie: Rahmenbedingungen und Durchführung | 102 |
| 2.4 Realisierung der Paper-Pencil-Test-Studie (Phasen VII-IX) | 104 |
| 2.4.1 Design der Paper-Pencil-Test-Studie | 104 |
| 2.4.2 Paper-Pencil-Test-Studie: Rahmenbedingungen und Durchführung | 106 |
| 2.5 Datenauswahl für die vertiefte Analyse | 106 |
| 2.5.1 Auswahl der Interviewepisoden für die vertiefte Analyse | 107 |
| 2.5.2 Auswahl der Test-Items für die vertiefte Analyse | 111 |
| 2.6 Sachanalysen der vertieft ausgewerteten Aufgaben | 113 |
| 2.6.1 Einzeichnen bzw. Ablesen von Anteilen bzw. Teilen im Kreis | 113 |
| 2.6.2 Bestimmen des Teils bzw. des Ganzen für Mengen | 117 |
| 2.6.3 Zeichnerisches Ergänzen eines flächigen Teils zum Ganzen (Quadrat) | 127 |
| 2.6.4 Zeichnerisches Ergänzen eines flächigen Teils zum Ganzen (Dreieck) | 133 |
| 2.7 Datenanalyse | 134 |
| 2.7.1 Methodologische Überlegungen | 135 |
| 2.7.2 Verschränkung der Interviewdaten und der Testdaten | 137 |
| 2.7.3 Analyse der Interviewstudie | 138 |
| 2.7.4 Analyse der Paper-Pencil-Test-Studie | 139 |
| 2.7.5 Verortung der vertieft analysierten Daten in den Kapiteln 3 bis 8 | 142 |
| 3 Warum der Blick auf den flexiblen Umgang mit Brüchen? – Eine Vorstudie | 143 |
| 3.1 Ausgangspunkt | 144 |
| 3.2 Design und Forschungsfragen | 144 |
| 3.3 Fallbeispiel eines ausgewählten Prozesses | 145 |
| 3.4 Diskussion der empirischen Befunde | 156 |
| 4 Quantitative Überblicksauswertung des schriftlichen Tests | 158 |
| 4.1 Quantitativer Überblick in vier Stufen | 158 |
| 4.1.1 Stufe 1: Gesamtpunktzahlen | 158 |
| 4.1.2 Stufe 2: Punkteverteilung nach Aufgaben | 161 |
| 4.1.3 Stufe 3: Punkteverteilung nach Konstellationen | 162 |
| 4.1.4 Stufe 4: Punkteverteilung nach Items für die Konstellationen | 164 |
| 4.1.5 Zusammenfassung der quantitativen Überblicksanalyse | 168 |
| 4.2 Voraborientierung zu den Kapiteln 5 bis 8 | 169 |
| 5 Vorstellungen und Strukturierungen beim Bestimmen des Teils | 170 |
| 5.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen | 170 |
| 5.2 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Teils (kontinuierliches Ganzes) | 171 |
| 5.2.1 Auflistung der Codierung der Lösungen für die Items 1a und 1b | 172 |
| 5.2.2 Ergebnisse und Interpretation | 174 |
| 5.3 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Teils (diskretes Ganzes) | 182 |
| 5.3.1 Auflistung der Codierung der Rechenwege und Bilder für Item 2a | 183 |
| 5.3.2 Ergebnisse und Interpretation | 188 |
| 5.4 Diskussion der empirischen Befunde | 199 |
| 6 Vorstellungen und Strukturierungen beim Bestimmen des Anteils | 205 |
| 6.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen | 205 |
| 6.2 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Anteils | 206 |
| 6.2.1 Auflistung der Codierung der Lösungen für Item 1c | 206 |
| 6.2.2 Ergebnisse und Interpretation | 208 |
| 6.3 Diskussion der empirischen Befunde | 215 |
| 7 Vorstellungen und Strukturierungen beim Bestimmen des Ganzen | 219 |
| 7.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen | 219 |
| 7.2 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Ganzen (diskreter Teil) | 220 |
| 7.2.1 Auflistung der Codierung der Rechenwege und Bilder für die Items 2b und 2c | 221 |
| 7.2.2 Ergebnisse und Interpretation zu Item 2b und 2c | 227 |
| 7.3 Analysen der Prozesse zum Bestimmen des Ganzen (diskreter Teil) | 236 |
| 7.3.1 Simon und Akin bearbeiten die Bonbonaufgabe I:Multiplizieren von Teil und Nenner (1:14 – 12:06) | 237 |
| 7.3.2 Simon und Akin bearbeiten die Bonbonaufgabe II: Stammbruchganzes nehmen oder Verdoppeln (36:37 – 48:22)? | 242 |
| 7.3.3 Laura und Melanie bearbeiten die Bonbonaufgabe I: Einheiten bilden (0:41 – 7:01) | 258 |
| 7.3.4 Laura und Melanie bearbeiten die Bonbonaufgabe II: Zusammenhänge operativ erschließen (30:33 – 37:35) | 263 |
| 7.4 Verdichtung: Konstellation III mit diskretem Teil | 279 |
| 7.5 Analysen der schriftlichen Produkte zur Bestimmung des Ganzen (flächiger Teil) | 282 |
| 7.5.1 Auflistung der Codierung der Lösungen für die Items 3a und 3b | 282 |
| 7.5.2 Ergebnisse und Interpretation zu den Items 3a und 3b | 286 |
| 7.5.3 Auflistung der Codierung der Lösungen für die Items 4a und 4b | 292 |
| 7.5.4 Ergebnisse und Interpretation zu den Items 4a und 4b | 297 |
| 7.5.5 Vergleich zwischen den Items 3a, 3b, 4a und 4b | 302 |
| 7.6 Analysen der Prozesse zur Bestimmung des Ganzen (flächiger Teil) | 304 |
| 7.6.1 Ramona und Jule ergänzen zum Ganzen: Form des Ganzen und strukturelle Beziehungen (11:22 – 22:06) | 304 |
| 7.6.2 Simon und Akin ergänzen zum Ganzen: Form des Ganzen in Welt und Mathematik (12:07 – 20:14) | 311 |
| 7.6.3 Laura und Melanie ergänzen zum Ganzen: Anzahl der Quadrate (7:11 – 18:02) | 318 |
| 7.7 Diskussion der empirischen Befunde | 325 |
| 8. Zusammenhänge zwischen Konstellationen | 332 |
| 8.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen | 333 |
| 8.2 Simon und Akin bearbeiten Merves Problem: Der wachsende Kuchen (29:37 – 36:35) | 334 |
| 8.3 Analyse einiger Beispiele aus dem schriftlichen Test | 341 |
| 8.4 Diskussion der empirischen Befunde | 346 |
| 9 Diskussion der Ergebnisse | 350 |
| 9.1 Zusammenschau der Kapitel 4 bis 8 | 350 |
| 9.2 Konsequenzen für die Fachliche Klärung | 359 |
| 9.3 Konsequenzen für die Didaktische Strukturierung | 360 |
| 10 Zusammenfassung und Ausblick | 362 |
| 10.1 Fazit | 363 |
| 10.2 Forschungsmethodische Grenzen | 364 |
| 10.3 Reflexion möglicher Anschlussfragen | 365 |
| Schluss | 367 |
| Literatur | 368 |
