Textprobe: Kapitel 5.2.1, Mark-to-Market Simulationsmodell: Dieses Excel-basierte Simulationsmodell beruht auf den Darstellungen von CreditMetrics und betrachtet das gesamte Bonitätsrisiko einschließlich des Ausfallrisikos. Ausgangspunkt ist die Ermittlung von Korrelationen mittels historischer Zeitreihen von Aktienkursen. Um einen vollständigen Konjunkturzyklus zu betrachten, werden für die Korrelationsermittlung die Schlusskurse auf Monatsbasis für den 10-Jahres-Zeitraum vom 30.04.1999 bis zum 31.03.2009 herangezogen. Die Ergebnisse werden schließlich in einer Korrelationsmatrix zusammengefasst. Im nächsten Schritt erfolgt die Erfassung von Migrationsmatrix, risikoadjustierter Forward-Zinsstrukturkurve und Recovery Rates. Diese Parameter werden gemäß obiger Darstellung aktueller Literatur entnommen, welche sich mit Kreditportfoliomodellen befasst. Bei den Recovery Rates wird auf eine gesonderte stochastische Modellierung mittels Beta-Verteilung verzichtet und stattdessen lediglich auf den Erwartungswert in Bezug auf die Rangstellung des Titels zurückgegriffen. Schließlich sind auch die kreditspezifischen Daten wie Volumen, Zinssatz, Laufzeit, Rating und Rangstellung im Modell zu erfassen. Darauffolgend werden nun die Renditeintervalle der Standardnormalverteilung mit den Wahrscheinlichkeiten aus der Migrationsmatrix und in Abhängigkeit vom Ausgangsrating bestimmt. Sodann können standardnormalverteilte und unkorrelierte Zufallszahlen per Zufallszahlengenerator in Excel gezogen werden, die als Realisationen der Unternehmensaktivarenditen der betrachteten Kreditnehmer interpretiert werden. Dabei ist das Gesetz der großen Zahlen zu beachten, nach welchem eine theoretische Verteilung umso besser angenähert wird, je häufiger ein Zufallsexperiment mit der entsprechenden Verteilungsannahme durchgeführt wird. Im vorliegenden Modell werden 3.000 Simulationsläufe durchgeführt, um einerseits den Standardfehler der Simulation ausreichend zu begrenzen und andererseits den Umfang der Kalkulation in einem Rahmen zu halten, welcher für Excel noch zu bewältigen ist. Um nun die Risikointerdependenzen zwischen den Kreditnehmern zu berücksichtigen, muss die ermittelte Korrelationsmatrix mittels der Cholesky-Faktorisierung in eine untere und obere Dreiecksmatrix zerlegt werden, was durch ein entsprechendes Makro in Excel realisiert wird. Durch Multiplikation der unkorrelierten Zufallszahlen mit der unteren Dreiecksmatrix erhalten wir dann korrelierte, standardnormalverteilte Zufallszahlen. Dadurch wird dem Erfordernis Rechnung getragen, dass die Unternehmensaktivarenditen als multivariat standardnormalverteilt unterstellt werden. Durch Zuordnung der korrelierten Unternehmensaktivarenditen zu den entsprechenden Renditeintervallen in Abhängigkeit vom Ausgangsrating wird dann für jeden Simulationslauf die Ratingkategorie jedes einzelnen Kreditnehmers zum Risikohorizont bestimmt. Nunmehr kann pro Simulationslauf auf Basis der Ratingklasse eine Neubewertung jedes einzelnen Kredittitels zum Risikohorizont mit der Barwertrechnung durchgeführt werden. Aus der Summe der einzelnen Kreditwerte gelangt man letztendlich zum gesuchten Portfoliowert je Simulationslauf. Aus der Gesamtheit der simulierten Portfoliowerte ist die Berechnung des Erwartungswertes sowie von Quantilswerten verschiedener Konfidenzintervalle möglich, aus welchen wiederum ein dem jeweiligen Konfidenzniveau entsprechender Value at Risk ermittelt werden kann. Aus Vereinfachungsgründen ist die Kreditlaufzeit von 5 Jahren in der Analyse eine Konstante, wobei stets endfällige Darlehen betrachtet werden. Weitere konstante Faktoren sind der Risikohorizont von einem Jahr und die Zusammensetzung von 7 Kreditnehmern im Portfolio. Der erste variable Einflussfaktor ist somit die Migrationsmatrix. Sie bestimmt für jedes Ausgangsrating die entsprechende Einteilung der Standardnormalverteilung in Renditeintervalle. Wenn beispielsweise für jedes Ausgangsrating die Ausfallwahrscheinlichkeit erhöht wird, dann weitet sich die entsprechende Wahrscheinlichkeitsmasse in der Verteilung aus und die Default-Grenze wandert nach rechts. Somit wird eine simulierte Rendite öfter in dieses Intervall treffen und die Zahl der Ausfälle erhöht sich. Allerdings kann dieser Effekt durch den Standardfehler der Simulation überlagert werden. Wie oben beschrieben, wird nicht direkt mit den Migrationswahrscheinlichkeiten gerechnet. Diese bestimmen lediglich, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine simulierte Rendite in ein vorgegebenes Intervall trifft und damit ein bestimmtes Rating zum Risikohorizont auslöst. Wenn nun zum Beispiel nur zehn Simulationsläufe für einen Kredit durchgeführt werden und dessen Bleibewahrscheinlichkeit 80 % beträgt, dann besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass durch das Modell zehn Mal das Verbleiben in der anfänglichen Ratingklasse prognostiziert wird und die 20 % von möglichen weiteren Bonitätszuständen vernachlässigt werden. Dieser Standardfehler wird umso geringer, je höher die Anzahl an Simulationsläufen ist. Ein vollständiger Ausschluss dieses Fehlers ist jedoch auch bei mehreren tausend Wiederholungen nicht möglich. Anders formuliert bedeutet dies, dass durch eine höhere Ausfallwahrscheinlichkeit zwar die Wahrscheinlichkeit steigt, dass die Rendite in dieses Intervall trifft, aber ob diese Wahrscheinlichkeit durch entsprechende Renditeausprägungen auch tatsächlich realisiert wird, bleibt unklar. Ein weiterer wichtiger Faktor ist die Korrelationsstruktur. Diese bestimmt, inwieweit die standardnormalverteilten Zufallszahlen durch die Cholesky-Zerlegung zusammenrücken bzw. auseinandergehen. Bei einer hohen Korrelation nähern sich die ermittelten Zufallszahlen einander stark an. Die Renditen und die Bonitätszustände verhalten sich damit gleichgerichtet. Alle Kreditnehmer nehmen mit hoher Übereinstimmung sowohl die schlechten, als auch die guten Bonitätszustände an. Damit wird aber das Risiko besonders groß, dass alle Kreditnehmer eine zum Ausfall führende niedrige Rendite aufweisen. Das Totalverlustpotenzial des Portfolios steigt. Wenn nun die Korrelation stark verringert werden kann, dann hat die Cholesky-Zerlegung nur eine schwach gleichgerichtete Wirkung, d. h. die Zufallszahlen bleiben wie nach ihrer unkorrelierten Ziehung weitgehend ohne Zusammenhang. Wenn ein Kreditnehmer eine schlechte Bonität am Risikohorizont aufweist, beeinträchtigt dies die Bonität anderer Kreditnehmer kaum und das Verlustpotenzial sinkt.