Einführung

Wollen Sie richtig Eindruck bei Ihren Freunden und Verwandten schinden, so verwenden Sie doch einfach bei passender Gelegenheit mathematische Fachausdrücke wie beispielsweise Algebra, Matrix oder Vektor. Wenn Sie diese Nomen dann noch mit spezifischen Adjektiven wie linear, affin oder skalar kombinieren, bleibt die offene oder unausgesprochene Bewunderung gewiss nicht aus.

Voraussetzung dafür ist selbstverständlich, dass Sie genau wissen, worum es sich dabei handelt. Die Basis dafür haben Sie bereits erfolgreich gelegt, indem Sie dieses Buch in Händen halten.

Zu diesem Buch

In diesem Buch werden Sie rasch und ohne Schnörkel alles Wichtige über die lineare Algebra erfahren, von den Grundlagen bis hin zu den tiefgründigsten Erkenntnissen.

Mathematische Abhandlungen und selbst die meisten Lehrbücher neigen dazu, möglichst knapp und kompakt ihre Inhalte zu vermitteln. »Jedes Wort zuviel verwässert die reine Lehre«, das ist die Devise. Warum aufwändig einen Sachverhalt erklären, wenn man genauso gut eine kryptische Formel angeben kann, die – allerdings nur für Eingeweihte – alles Wesentliche bereits enthält? Viele Leser werden durch diese Art von Mathematik abgeschreckt, wenn nicht gar verängstigt.

Ich verspreche Ihnen, dass dieses Buch anders ist. Es wird Sie sanft in eine der zweifellos wichtigsten Teilgebiete der Mathematik entführen. Sie werden sich wundern, wie viel Spaß und Unterhaltung sogar die kompliziertesten Sachverhalte bereiten können! Dieses Buch wird Sie auf eine Weise ansprechen, die Sie bisher nicht kannten, aber an die Sie sich schnell gewöhnen werden. Es behandelt überraschende, spannende aber auch alltägliche Themen.

Dabei können Sie das Buch in beliebiger Reihenfolge durcharbeiten. Es zwingt Sie niemand dazu, das Buch von vorne bis hinten Seite für Seite zu lesen. Wie andere Dummies-Bücher ist auch dieses Buch so aufgebaut, dass Sie so viel wie möglich darin herumblättern können - schließlich ist es Ihr Buch. Die lineare Algebra bietet so viele interessante Aspekte, dass Sie immer wieder davon fasziniert sein werden!

Konventionen in diesem Buch

Zahlreiche Bücher verwenden etliche Konventionen, die Sie kennen sollten, bevor Sie die Lektüre starten können. Das ist hier nicht der Fall. Es gibt nur einige wenige Konventionen, die Ihnen helfen werden, sich schnell zurechtzufinden:

• Kursivschrift kennzeichnet wichtige Fachbegriffe und hebt bedeutsame Worte hervor.
• Fettschrift wird für Schlüsselworte in Aufzählungen und in Aktionen bei nummerierten Schritten verwendet. Ebenso sind wichtige Begriffe fett markiert, die jedoch keine Fachbegriffe der linearen Algebra darstellen.

Was Sie nicht lesen müssen

Es gibt im gesamten Buch immer wieder interessante und nützliche Aspekte bei der Behandlung der Themen, die Sie jedoch nicht unbedingt lesen müssen, um die weiteren Abschnitte zu verstehen. Diese Informationen habe ich Ihnen in die grau unterlegten Kästen gepackt.

Sollte ein Satz mit dem Techniker-Symbol (das ulkige Gesicht) gekennzeichnet sein, verweist er auf weiterführende oder tiefer gehende Facetten für Insider. Wenn Sie zurzeit noch kein Insider sind, ist das nicht schlimm. Vielleicht werden Sie später einmal wieder das Buch in die Hand nehmen wollen und dann sind die »Achtung Technik« Einschübe ihre Lieblingslektüre!

Törichte Annahmen über den Leser

Wenn Sie jetzt nicht zufällig in einer Buchhandlung stehen und versehentlich dieses Dummies-Buch mit einem Kochbuch für südfranzösische Desserts verwechselt haben, wird Ihnen die lineare Algebra heute womöglich bereits einiges Kopfzerbrechen bereiten.

Oder Sie bereiten sich auf ein technisches oder naturwissenschaftliches Studium vor und haben gesehen, dass Sie schon im ersten Semester – mehr oder weniger freiwillig – mit linearer Algebra konfrontiert werden. Vielleicht haben Sie Ihr Studium auch schon hinter sich und wollen auf möglichst amüsante Weise alles Wichtige über lineare Algebra rekapitulieren? Ich weiß es wirklich nicht.

Auf jeden Fall sind Sie motiviert, sich mit Mathematik zu befassen und werden sich noch wundern, was alles auf Sie zukommt. In einem Punkt muss ich Sie jedoch enttäuschen. Die Delikatessen der südfranzösischen Küche werden wir nicht behandeln, ganz ehrlich nicht. Allerdings können wir dafür bereits im ersten Kapitel über Diätpläne sinnieren …

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Vermutlich haben Sie schon im Inhaltsverzeichnis geblättert und die Gliederungsebenen entdeckt. Dieses Buch besteht aus fünf Teilen mit insgesamt zwanzig Kapiteln. Jedes Kapitel wiederum ist in Abschnitte unterteilt, manchmal sind selbst diese Abschnitte in Unterabschnitte aufgegliedert.

Die Kapitel sind die wichtigste bedeutungstragende Einheit. Hier werden die wesentlichen Aspekte der linearen Algebra ausführlich diskutiert. In den Teilen werden Kapitel zusammengefasst, die thematisch eng verwandt sind. Um Ihnen die Lektüre dieser Kapitel zu erleichtern, werden sich die Abschnitte jeweils mit Teilaspekten befassen, die logisch zusammenhängen.

Allerdings ist es unvermeidlich, dass ich bei der Darstellung der einzelnen Themen auch auf andere Kapitel zur Erklärung verweise. Das ist kein Fehler, sondern liegt in der Natur der Sache, nämlich der linearen Algebra. Das macht sie sogar besonders reizvoll und wichtig. Alles hängt mit einander zusammen und voneinander ab wie ein wild zerzauster Wollknäuel. Daher ist es auch keine schlechte Strategie, wenn Sie sich ein bereits gelesenes Kapitel zu einem späteren Zeitpunkt erneut vorknöpfen. Denn dann könnten Ihnen neue Aspekte der behandelten Themen auffallen und ziemlich viele tiefsinnige Zusammenhänge besser einleuchten. Die lineare Algebra ist wie ein Labyrinth, durch das Sie dieses Buch hindurchführen möchte!

Teil I: Grundlagen der linearen Algebra

Dieser Teil befasst sich mit den Basiselementen der linearen Algebra. Sie finden dort zunächst einen Streifzug durch die faszinierende Welt eines der wichtigsten und erfolgreichsten Teilgebiete der Mathematik. Sie werden anhand praktischer und anschaulicher Beispiele Sinn und Nutzen der gesamten linearen Algebra erforschen und nebenbei lernen, wie man sich gesund ernährt.

In einem eigenen Kapitel finden Sie einen Crash-Kurs zur Behandlung komplexer Zahlen, ohne selbst Komplexe zu bekommen. Ebenfalls zur Sprache kommen Körper, wie sie nur die Mathematik kennt. Diese wichtigen Strukturen sind ein integraler Bestandteil der linearen Algebra und es ist immer gut, wenn man nachschlagen kann, was es damit auf sich hat.

Der Teil schließt mit der Vektorrechnung, die sich durch den gesamten Rest des Buches zieht und immer wieder benötigt wird.

Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra

In diesem Teil untersuchen wir gemeinsam die zentrale Struktur der linearen Algebra, nämlich die Vektorräume. Alle zulässigen und möglichen Operationen können Sie selbst ausprobieren. Natürlich werden auch zahlreiche Beispiele für Vektorräume nicht fehlen.

Und dann geht es schnurstracks um lineare Gleichungssysteme, die immer wieder und an unerwarteter Stelle auftauchen. Aber keine Panik. Sie werden dort auch sehen, wie man die Lösungsmengen dieser mächtigen Konstrukte bestimmt.

Eine Abstraktion von linearen Gleichungssystemen führt uns unmittelbar zu den Matrizen, die am Anfang unhandlich erscheinen, die sich aber sehr bald schon als höchst effektiv und nützlich erweisen, ganz ehrlich! Ein weiteres wichtiges Thema dieses zweiten Teils ist die lineare Unabhängigkeit, eine grundlegende Eigenschaft von Vektoren, die sich überraschend sehr erfolgreich auf lineare Gleichungssysteme anwenden lässt.

Teil III: Analytische Geometrie fürs Leben

Der dritte Teil steht ganz im Zeichen der Geometrie. Erfahrungsgemäß wird es Ihnen große Freude bereiten, nach und nach die Grundelemente der Geometrie zu erkunden und in zwei oder drei Dimensionen zahlreiche Objekte zu erzeugen. Abstände, Winkel und Schnitte zwischen derartigen geometrischen Figuren lassen sich effektiv algebraisch ermitteln und manchmal auch anschaulich darstellen.

Den Höhepunkt jedoch werden die geometrischen Transformationen darstellen. Wenn Sie beispielsweise die Hauptachsentransformation als einen recht schwierigen algebraischen Vorgang in Erinnerung haben, dann wird es Ihnen eine Freude sein, wie leicht das mit linear-algebraischen Mitteln von der Hand geht. Und spätestens dann wird klar, warum lineare Algebra so eng mit analytischer Geometrie verknüpft ist.

Teil IV: Lineare Algebra for Runaway Dummies

Im vierten Teil werden Sie die allgemein als schwierig empfundenen und abstrakten Komponenten der linearen Algebra kennen lernen. Sie befinden sich dort im Innersten, an den undurchsichtigsten Stellen des Labyrinthes. Aber ich verspreche Ihnen, Sie wieder herauszuführen und dabei die tiefgründigsten Gedanken über lineare Algebra mitnehmen zu...