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Makro-Mathematik

Jenseits von Algebra und Analysis: Algorithmen

Autor	Bodo v. Pape
Verlag	Books on Demand
Erscheinungsjahr	2016
Seitenanzahl	402 Seiten
ISBN	9783743156418
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	16,99 EUR

Makro-Mathematik ist Mathematik mit einer Tabellenkalkulation unter konsequenter Nutzung der Möglichkeit, kleine Programme - 'Makros' - einzubinden. Vom Fachlichen her erweist sich ein algorithmisch-numerischer Ansatz für die Schule als sehr attraktiv: Der Bereich der Problemlösungen wird befreitvon der Fessel der rein algebraischen Verfahren. Gleichzeitig ist der Aufwand an Theorie deutlich reduziert. Der Zugang zu Lösungen konkreter Aufgaben wird sehr viel direkter. Das kommt dem eigenständigen Finden von Lösungen ebenso zugute wie dem Nachvollzug fertiger Lösungen. Im Kern handelt es sich um ein Plädoyer für eine Neuausrichtung des Mathematikunterrichts im Zeichen der Verfügbarkeit von Rechnern. Die Diskussion um den Einsatz von Computern im Mathematikunterricht wird umfassend aufgearbeitet unter dem Aspekt der Tabellenkalkulation. Die vorgestellten Makros kann man mit den Schülern gemeinsam entwickeln. Besonderes Interesse und Gewicht kommt fünf Prozedurmakros zum Optimieren zu (Minimieren und Maximieren in 1 bis 5 Variablen). Diese Makros werden interessant sein für jedermann, der mit Excel arbeitet oder der Überzeugung ist, dass man mit Excel arbeiten sollte - in der Schule oder darüber hinaus, derzeit oder in Zukunft.

B. v. Pape ist Gymnasiallehrer im Ruhestand. Seit über 25 Jahren verfolgt und begleitet er die Diskussion um die Tabellenkalkulation im Mathematikunterricht. In den letzten 10 Jahren galt sein besonderes Interesse der Frage, welche zusätzlichen Inhalte sich mit dem Einsatz des Computers als Rechner erschließen lassen: Voronoi-Parkette, Optimieren in mehreren Variablen, klassische 'Geht nicht.'-Probleme, die 'Großen Probleme' der Antike. Auf seiner Homepage excelecke.wordpress.com sind mehr als 800 Beispiele abrufbar aus den Bereichen Mathematik, Physik und Informatik.

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Blick ins Buch

Inhaltsverzeichnis

Titelseite	5
Impressum	6
Inhaltsverzeichnis	7
Vorwort	15
Zur Didaktik der Makro-Mathematik	27
1 Algorithmen: Tabelle und Makro	69
1.1 Nullstellsuche via Tabelle	69
1.2 Nullstellen via Makro	72
2 Auf dem Weg zur Kurvendiskussion	75
2.1 Schnitt zweier Geraden	75
2.2 Geradenschnitt algorithmisch	78
2.3 Schnitt von Parabeln	80
2.4 Parabelpaare ohne Schnitt	81
2.5 Kurvenpaare	81
2.6 Algorithmische Funktionen	82
2.7 Kurvendiskussion	85
2.8 Abstand eines Punkts von einem Funktionsgraphen	88
3 Lineare Gleichungssysteme	89
3.1 Gleichungssysteme	89
3.2 Arbeitsblatt	89
3.3 Genauigkeit und Effizienz	91
3.4 Unscharfe Koeffizienten	92
3.5 Matrizeninversion	95
3.6 Formellösung	97
4 Das Leiterproblem	99
4.1 Problemstellung	99
4.2 Schaufigur	100
4.3 Makro-Lösung	101
4.4 Die Leiter-Kiste-Aufgabe	102
4.5 Das Bierdeckelproblem	103
4.6 Die Ziege am Strick	106
4.7 Flächenminimierung	107
4.8 Kugelhalbierung	110
4.9 Das halbvolle Glas	111
4.10 Pi-Berechnung nach Archimedes	112
4.11 Pi-Berechnung nach Cusanus	113
4.12 An der Grenze: Uneigentliche Integrale	114
5 Martin aus PISA	115
5.1 Näherungslösung	115
5.2 Exakte Lösung	116
5.3 Erweiterung des Problems	118
6 Geometrische Optimierung	119
6.1 Synthetische Geometrie und Makro-Geometrie	119
6.2 Philos Gerade	120
6.3 Minimierung im Winkelfeld	122
6.4 Extremale Entfernungen Punkt/Ellipse	123
6.5 Extremale Entfernungssummen/-differenzen	125
6.6 Scharnierquadrate	126
6.7 Der Wassertrog	127
6.8 Die Wasserrinne	129
6.9 Kreisberührungen in drei Punkten	130
6.10 Maximierung eines Dreiecks durch drei Punkte	131
6.11 Maximales Quadrat durch 4 Punkte	132
6.12 Das Regiomontanus-Problem	133
6.13 Dreiecksteilung nach Heron	134
6.14 Überbrückung eines Kreisrings	135
6.15 Vervielfachung eines Quaders	136
6.16 Seifenhautfläche	137
6.17 Kubische Gleichungen: Lills Methode	139
6.18 Höhere Gleichungen: Lills Methode	140
7 Geometrie jenseits von Euklid	141
7.1 Neusis	141
7.2 Würfelverdopplung	143
7.3 Zweifaches geometrisches Mittel	143
7.4 Dreiteilung mit dem Tomahawk	144
7.5 Höhere Vielecke	145
8 Japanische Tempelgeometrie	147
8.1 Sangaku	147
8.2 Kreise in einer Ellipse	148
8.3 Kreise im Dreieck	149
8.4 In Teufels Küche	150
9 Billardprobleme	151
9.1 Billardkugel-Rundtouren im Viereck	151
9.2 Billard-Rundtour: Ein zweiter Blick	153
9.3 Flächenmaximierung zur Rundtour	153
9.4 Alhazens Billard-Problem	154
9.5 Extremale Wege in einer Ellipse	155
9.6 Einlochen auf einem Ellipsentisch	155
9.7 Treffen über Doppeltbande	156
9.8 Lichtdreiecke in Ellipsen	157
10 Gehege-Aufgaben	159
10.1 Flächenmaximierung von Vier- und Fünfecken	159
10.2 Freie Gehege: Sehnenpolygone	160
10.3 Unfreies Gehege	160
11 Extremalprobleme in der Physik	163
11.1 L’Hospitals Gewicht-Aufgabe	163
11.2 L’Hospitals Hintergrund	165
11.3 Lösung per Kräftegleichgewicht	166
11.4 Zwei Gewichte	166
11.5 Massenanziehung	167
11.6 Der Strohhalm im Glas	169
11.7 Spiegelung am Kreis	170
11.8 Laufzeitminimierung	171
11.9 Honigwaben	172
11.10 Segeln hart am Wind	173
11.11 Der Regenbogen	174
12 Optimierung in zwei Variablen	177
12.1 Rundum-Suche	177
12.2 Abstand und Schnitt von Kurven	179
12.3 Gewölbegang	180
12.4 Maximierung eines Dreiecks im Kreis	181
12.5 Kreisberührung nach Apollonius	182
12.6 Der Fermat-Punkt	185
12.7 Drei Gewichte	187
12.8 Brocard-Punkte	189
12.9 Der Lemoine-Punkt	190
12.10 Die Pothenot’sche Aufgabe	191
12.11 Das Riesenrad-Problem	192
12.12 Neusis: Makro-Schachtelung	194
12.13 Das Mesolab des Eratosthenes	194
13 Kinematisch erzeugte Kurven: Die Ophiuride	197
13.1 Erzeugung als Lotfußpunktkurve	197
13.2 Erzeugung als Kissoide	198
13.3 Erzeugung mit Doppelgnomon	199
13.4 Kurvendiskussion: Extrempunkte	200
13.5 Kurvendiskussion: Wendepunkt	200
13.6 Wendepunkt per Makro	202
13.7 Spitzen	203
13.8 Doppelpunkte einer Kurve	204
13.9 Schnittpunkte zweier Kurven	204
14 Algorithmische Geometrie	205
14.1 Torricelli-Punkt: Minimale Entfernungssumme	205
14.2 n-Punkte-Transportprobleme	206
14.3 Waste Dump	207
14.4 Pferchkreis	208
14.5 Rohraufgaben	209
14.6 Minimum Zone Circle	209
14.7 Wandern in einer Hügellandschaft	210
15 Optimierung in drei Variablen	213
15.1 Das Problem von Fagnano	213
15.2 Fagnano-Problem: Klassische Lösung	215
15.3 Fagnano-Problem: Ein zweiter Blick	216
15.4 Zweifachtouren im Dreieck	217
15.5 Extremale Dreiecke - Vorgabe: Kreise für Eckpunkte	217
15.6 Lichtdreiecke	218
15.7 Kanalanbindung	219
16 Anpassungen	221
16.1 Anpassen einer Kette	221
16.2 Logistisches Wachstum	222
16.3 Ortung	224
17 Das Malfatti-Problem	225
17.1 Malfatti-Kreise: Konstruktion	225
17.2 Makros zur Ebenen Geometrie	226
17.3 Malfatti-Kreise per Makro	228
17.4 Die Lösung des Malfatti-Problems	230
17.5 Sonderfall gleichseitiges Dreieck	231
18 Dreiecke	233
18.1 Vorgabe: Seite und zwei Winkelhalbierenden	233
18.2 Vorgabe: Seite, Winkel, Winkelhalbierende	235
18.3 Vorgabe: Höhenabschnitte	236
18.4 Dreieck aus R, ? und A	238
18.5 Gleichschenkliges Dreieck aus Umfang und Inkreis	239
18.6 Dreieck aus a, b und ?	240
18.7 Dreiecke aus Mittelpunktsabständen	241
18.8 Das Dreieck von Calabi	242
19 Optimierung in 4 und 5 Variablen	243
19.1 Laubfegen	243
19.2 Steiner-Netze	244
19.3 Flächenmaximale Vierecke gleichen Umfangs	245
19.4 Bizentrische Vierecke	246
19.5 Übereck-Gehege	247
19.6 Inkreis-Maximierung eines Fünfecks	248
19.7 Briefträger im Fünfeck	249
19.8 Billardtour im Fünfeck	250
20 Drei Probleme aus der Variationsrechnung	251
20.1 Das Brachistochrone-Problem	251
20.2 Lösungsansatz	252
20.3 Minimierung in 5 Variablen	253
20.4 Der Solver	253
20.5 Der klassische Weg	255
20.6 Visualisierung	256
20.7 Das Katenoid als Minimalfläche	257
20.8 Kürzeste Wege	259
20.9 Mehrhaufen-Fegen	261
21 Bogenlänge	263
21.1 Tabelle und Funktionsmakro	263
21.2 Funktioneninversion	265
21.3 Flächenteilung	266
21.4 Wegmarken	268
22 Krümmung	269
22.1 Die Rolle der Krümmung	269
22.2 Die Krümmung eines Funktionsgraphen	270
22.3 Evoluten	271
22.4 Trassierung	272
22.5 Krümmungsextrema	273
23 Kurven	275
23.1 Die Länge eines Kurvenstücks	275
23.2 Die von einer Kurve umrandete Fläche	276
23.3 Die Krümmung einer Kurve	277
23.4 Erzeugung einer Kurve aus ihrer Krümmung	278
23.5 Parallelkurven	280
23.6 Evoluten	281
23.7 Evolventen	282
23.8 Die Evolvente in Betrieb	283
23.9 Lotfußpunktkurven	284
24 Flächendiagramme zu Kurven	285
24.1 Verallgemeinerte Kegelschnitte	285
24.2 Verallgemeinerte Cassini-Kurven	287
24.3 Distanzbereiche einer Kurve	287
24.4 Distanzbereiche zu Relationen	288
24.5 Exkurs: Temperaturverteilung	289
25 Voronoi-Parkette	291
25.1 Grundlage	291
25.2 Gewichtete Voronoi-Diagramme	294
25.3 Diagramme höherer Ordnung	295
25.4 Diagramme zu Linienstücken und Figuren	296
25.5 Voronoi in Natur, Kunst und Design	296
25.6 Voronoi-Test	298
25.7 Exkurs: Voronoi im Raum	299
25.8 Änderung der Metrik	300
25.9 Karlsruhe-Metrik	301
25.10 Nichtmetrische Distanzen	302
26 Analytische Geometrie	303
26.1 Lineare Gebilde im Raum	303
26.2 Funktionsmakros zur Analytischen Geometrie im Raum	306
27 Raumgeometrie	309
27.1 Darstellende Geometrie	309
27.2 Abbildungen	311
27.3 Förderung der Raumgeometrie	312
27.4 Geradenschnittpunkt	314
27.5 Umkreis eines Dreiecks	315
27.6 Minimieren im Raum	316
27.7 Umkugel eines Tetraeders	317
27.8 Umkugel klassisch	319
27.9 Inkugel eines Tetraeders	319
27.10 Minimale Umkegel einer Kugel (Paketlösung)	320
28 Raumgeometrie: Projekte	321
28.1 Bastelbögen	321
28.2 Visualisierung im Raum	322
28.3 Projekt „Höherdimensionale Würfel“	324
28.4 Projekt „Ikosaeder“	325
28.5 Projekt „Voronoi-Kugel“	326
Materialien	331
Lösung der Aufgabe zur Raumgeometrie	331
Klausuraufgabe am Rechner	332
Aufgabe aus dem Zentralabitur: LK Analysis	333
Aufgabe aus dem Zentralabitur: Analytische Geometrie	335
Workshops	337
Workshop „Das Leiterproblem“	337
Workshop „3D-Drehhaus“	345
Workshop „Pantopant“	349
Workshop „TURTLE-Grafik“	353
Workshop „Fraktale“	357
Workshop „Projekt Mikado“	365
Workshop „Permutationen“	367
Workshop „Backtracking“	369
Zur Diskussion	373
„Algorithmen“	373
„Informatik“	376
„Unterhaltungsmathematik“	378
„Algorithmische Ansätze in der Kunst“	379
Übersicht über die Makro-Beispiele	381
Funktionsmakros	381
Prozedurmakros	384
Quellenverzeichnis	385
Druckwerke	385
Dokumente im Netz	397

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