"2 Mengen und Relationen (S. 42-44)

2.1 Mengen

In jeder Wissenschaft müssen die verwendeten Begriffe erklärt und möglichst formal definiert werden. Insbesondere in der Mathematik erwarten wir präzise und exakte Definitionen. Was ist eine Primzahl? Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Das ist präzise und für jeden verständlich, der weiß, was „teilbar“ bedeutet. Was heißt teilbar? Eine ganze Zahl a ist durch eine ganze Zahl b teilbar, wenn es eine ganze Zahl n gibt, sodass a = n·b ist.

Das versteht jeder, der weiß, was ganze Zahlen sind, und das Multiplikationszeichen kennt. Und so kann man immer weiterfragen, wie es Kinder gerne tun. Aber das kann doch nicht ewig weitergehen?! Irgendwann sind wir bei so einfachen und elementaren Begriffen angelangt, dass es keine noch einfacheren Begriffe gibt, auf die man sie zurückführen könnte. Ein solch grundlegender und elementarer Begriff der Mathematik ist der Begriff der Menge. Er lässt sich nicht weiter aus noch einfacheren Begriffen definieren. Der Begründer der Mengenlehre, Georg Cantor1, schrieb den berühmten Satz „Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ der Menge genannt werden) zu einem Ganzen.“

Dabei handelt es sich jedoch nicht um eine formale mathematische Definition, denn es wird lediglich ein undefinierter Begriff „Menge“ durch einen anderen undefinierten Begriff „Zusammenfassung“ ersetzt. Wichtig in dieser Beschreibung ist jedoch das Adjektiv „wohlunterschieden“, das besagt, dass keine Elemente einer Menge mehrfach vorkommen. Die einfachste Art, eine Menge hinzuschreiben, besteht darin, ihre Elemente mit Komma getrennt aufzuzählen und das Ganze in geschweifte Klammern zu packen:

M = {Anne, Boris, Claudia, Dirk}. Man könnte auch M = {Boris, Anne, Dirk, Claudia} schreiben. Auf die Reihenfolge, in der wir die Elemente hinschreiben, kommt es nicht an. Sie können sogar

M = {Boris, Anne, Boris, Dirk, Claudia, Anne} schreiben. Das wäre nicht falsch, sondern einfach nur ungeschickt.

Wir schreiben x ∈ M, falls x ein Element von M ist, andernfalls x ∉ M. Im obigen Beispiel gilt etwa Boris ∈ M und Franziska ∉ M. Stellen Sie sich vor, Sie hätten das Amt des Kassenwarts eines Schachvereins zu übernommen. Ihnen obliegt es nun unter anderem, die Mitgliederlisten zu 2.1 Mengen führen. Sicherlich ist es sinnvoll, diese irgendwie zu ordnen, beispielsweise alphabetisch nach dem Nachnamen oder nach einer vereinsinternen Mitgliedsnummer.

Aber für den Verein an sich, das heißt, für die Menge seiner Mitglieder, spielt es keine Rolle, wie Sie intern Ihre Listen sortiert haben. Natürlich würden Sie keine Mitglieder doppelt eintragen, aber dieser Fehler passiert trotzdem immer wieder. Das ist im Allgemeinen nicht weiter schlimm, es bedeutet allenfalls, dass der- oder diejenige beim nächsten Rundschreiben zwei Briefe bekommt. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M heißt Mächtigkeit von M und wird mit