Textprobe: Einleitung: Maximal nilpotent sind die Cartan-Teilalgebren / Ebenso wie das Nilradikal / Beide studieren wir im reichen Tal / Der assoziierten Lie-Algebren. (Sven Wirsing, im März 2015) In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden sog. Cartan-Teilalgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Während meiner Promotionszeit an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel hielt Salvatore Siciliano einen anregenden Vortrag im Oberseminar zu Cartan-Teilalgebren in Lie-Algebren assoziiert zu assoziativen Algebren. Dieser Vortrag war für mich der Anreiz, mich näher mit maximal nilpotenten Teilstrukturen der assoziierten Lie-Algebra zu assoziativen Algebren zu beschäftigen. In dem vorliegenden Buch werden wir seine Theorie zu Cartan-Teilalgebren aufarbeiten und auf verschiedene spezielle assoziative Algebren ausdehnen. Zusätzlich werden wir eine zweite maximal nilpotente Teilstruktur, nämlich das Nilradikal, in der assoziierten Lie-Algebra analysieren und beschreiben. Das erste Kapitel hat einleitenden Charakter und stellt die in diesem Buch verwendeten assoziativen Algebren, Monoide und Gruppen systematisch zusammen. Sie dienen im weiteren Verlauf dieses Buch zur Illustration der erlangten Erkenntnisse allgemeinerer Natur und sollen dem Leser diese Ergebnisse an und ihre Anwendung auf konkrete Strukturen verdeutlichen. Einige Anwendungen auf diese Strukturen werden auch in die zahlreichen Übungsaufgaben verlagert, die am Ende jedes Kapitels bzw. Abschnittes zu finden sind. Diese Aufgaben dienen dem Leser als weitere Vertiefung in die geschilderten Thematiken. Zu Beginn jeder übungsaufgaben-Serie befinden sich zudem offene Fragestellungen, die dem Leser (aber auch dem Autor) als Basis für weitere Forschungen in diesem Bereich dienen können. Zahlreiche Graphiken verdeutlichen dem Leser zudem die erlangten Ergebnisse in diesem Buch. Wir fassen in Kapitel 2 einige Resultate über die Thematik von endlichen Untergruppen von Körpern und Divisionsalgebren zusammen. Teilweise geben wir Beweise dieser grundlegenden algebraischen Resultate an, teilweise zitieren wir nur entsprechende Artikel in der Literatur. Einige dieser Aussagen werden wir in an einigen Stellen benutzen, weshalb die aufgeführten Beweise zu einem tieferen Verständnis der entsprechenden Resultate dienen. Dieses Kapitel hat der Autor aber auch aus Eigen-Interesse an den Beweisen der aufgeführten Resultate integriert. Zu nennen sind dabei die Resultate zur Zyklizität endlicher Untergruppen von Körpern, der Satz von Wedderburn über endliche Divisionsalgebren sowie Hersteins und Amitsurs Erkenntnisse zur Klassifikation endlicher Untergruppen von Schiefkörpern. Ähnlich strukturiert ist auch das Kapitel 3. Hierbei beschäftigen wir uns mit der Normal- und Subnormalteilerstruktur von Einheitengruppen von Divisionsalgebren. Dabei geben wir einen Beweis für den Satz von Cartan- Brauer-Hua zur Normalteiler-Struktur an, stellen das Ergebnis von Scott zu auflösbaren Einheitengruppen ausführlich dar und beenden das Kapitel mit dem Satz von Stuth zur Subnormalteiler-Struktur. Letzteres Ergebnis verallgemeinert die vorherigen Ergebnisse, wird aber ohne Beweis angegeben. Zu einer assoziativen Algebra kann man in natürlicherweise die sog. Assoziierte Lie-Algebra ableiten. Wir untersuchen in Kapitel 4, wie sich das Nilradikal (das grösste nilpotente Ideal) dieser Lie-Algebra mit Hilfe der Ausgangsalgebra und deren assoziativer Struktur beschreiben lässt. Es zeigt sich, dass dabei das Zentrum und das Nilradikal der assoziativen Algebra eine Rolle spielen: in vielen Fällen ist das Nilradikal Summe dieser beiden assoziativen Teilstrukturen. Als zusätzliche Voraussetzung fordern wir lediglich die Separabilität der Radikalfaktorstruktur der assoziativen Algebra, um mit Hilfe des Satzes von Wedderburn-Malcev ein Radikalkomplement verwenden zu können. Strategisch gehen wir so vor, dass wir zunächst die Untersuchungen für auflösbare Algebren durchführen. Dabei verwenden wir Ergebnisse zur Jordan- Zerlegung und behandeln die Gruppenalgebren, die Solomon-Algebren, die Solomon-Tits-Algebren und die Algebren der unteren und oberen Dreiecksmatrizen als Beispiele ausführlich. Anschliessend übertragen wir Analysen von Herstein zu einfachen Ringen und ihrem assoziierten Lie-Ring auf einfache und halbeinfache Algebren: es stellt sich heraus, dass das Nilradikal mit dem grössten auflösbaren Ideal übereinstimmt und zudem genau das Zentrum der Algebra ist. Dabei beweisen wir zusätzlich, dass das Nilradikal der assoziierten Lie-Algebra von direkten Produkten sich als direktes Produkt der Nilradikale der Faktoren ergibt: es gibt diesbezüglich keine sog. 'Diagonalen'. Mit beiden Resultaten können wir dann den allgemeinen Fall studieren und lösen. Das Kapitel wird dadurch abgeschlossen, das bewiesene Resultat auf Algebrenkonstruktionen wie das Tensorprodukt, Adjunktion einer Eins, Matrixalgebren, Teilalgebren etc. möglichst zu übertragen. Dabei steht der Gedanke im Vordergrund, das Nilradikal (der assoziierten Lie-Algebra) dieser abgeleiteten Konstruktionen aus den vorliegenden Ingredenzien zu ermitteln (also z.B. aus den Faktoren eines Tensorproduktes oder der Ausgangsalgebra bei Teilalgebren). Inwieweit hierbei Ergebnisse zu erwarten sind, analysieren und beweisen wir in diesem Abschnitt. Im vorherigen Kapitel haben wir uns ausführlich mit dem Nilradikal von Lie- Algebren assoziiert zu assoziativen Algebren beschäftigt und analysiert, wie man es mit Hilfe der assoziativen Struktur beschreiben kann. Das Nilradikal gehört zu den maximal nilpotenten Teilstrukturen. Zu diesen gehören auch die sog. Cartan-Teilalgebren, mit den wir uns in diesem Kapitel beschäftigen. Deniert sind die Cartan-Teilalgebren als nilpotente und selbstnormalisierende Teilalgebren in einer Lie-Algebra. Das Ziel dieses Kapitels ist die Analyse, wie die Cartan-Teilalgebren mit Hilfe der assoziativen Struktur beschrieben werden können. Einige der Ergebnisse in diesem Kapitel basieren auf dem Artikel von Salvatore Siciliano [51], andere jedoch sind Weiterentwicklungen seiner Theorie, die wir auf diverse assoziative Algebren (wie etwa Divisionsalgebren, einfache und halbeinfache Algebren, reduzierte Algebren, Algebren mit separabler Radikalfaktorstruktur, etc..) ausdehnen. Ausführlich behandeln wir dabei unsere Standard-Beispiele, insbesondere die Gruppenalgebren, die Dreiecksmatrizen und die Solomon-(Tits)-Algebren, um die entwickelte Theorie zu verdeutlichen. Das Hauptergebnis dieses Kapitels ist die 1:1-Beziehung zwischen maximalen Tori (maximal kommutative separable Teilalgebren) und Cartan- Teilalgebren. Dabei ist die Bildung der Zentralisatoren der maximalen Tori eine Bijektion auf die Cartan-Teilalgebren. Die Umkehrabbildung ermittelt zu jeder Cartan-Teilalgebren dadurch einen maximalen Torus, indem alle sog. vollseparablen Elemente der Cartan-Teilalgebra gebildet werden. In vielen Fällen sind beide Mengen (maximale Tori und Cartan-Teilalgebren) identisch, wie z.B. bei halbeinfachen oder separablen assoziativen Algebren. Hierzu zählen auch zentrale Divisionsalgebren, wo sich zeigt, dass maximale Tori und Cartan-Teilalgebren mit den maximal separablen Teilkörpern - welche wiederum mit den separablen maximalen Teilkörpern übereinstimmen - zusammenfallen. Dies ergibt einen neuen Beweis für ein Ergebnis von Emmy Noether. Insbesondere stellt hier die Dimension der maximalen Tori ( = Cartan-Teilalgebren) eine Invariante dar. Bei auflösbaren Algebren sind die maximalen Tori schlicht die Radikalkomplemente, falls die Radikalfaktorstruktur separabel ist. Dieses Ergebnis, welche schon von Thorsten Bauer in seiner Dissertation [4] sowie von Salvatore Siciliano in [51] bewiesen worden ist, leiten wir mit Hilfe eines anderen Ansatzes her. Daraus ergibt sich leicht mit Hilfe des Satzes von Wedderburn- Malcev sowie des Hauptergebnisses zu Cartan-Teilalgebren, dass alle maximalen Tori sowie alle Cartan-Teilalgebren konjugiert sind sowie die Cartan- Teilalgebren genau die Zentralisatoren der Radikalkomplemente sind. Bei reduzierten Algebren können wir die Ermittlung der Cartan-Teilalgebren auf maximal auflösbare Teilstrukturen reduzieren. Diese lassen sich beschreiben als direkte Summe maximaler Tori mit dem Radikal. Die Zentralisatoren der maximalen Tori der Ausgangsalgebra stimmen mit denen in den maximal auflösbaren Teilalgebren überein. Zudem analysieren wir, wann die Gruppenalgebra reduziert ist. Im modularen Fall zeigt sich, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die Gruppenalgebra auflösbar ist. Im halbeinfach Fall jedoch zeigt sich ein anderes Bild: die unterliegende Gruppe ist hamiltonsch, und die Gleichung a2 + b2 + 1 = 0 hat in gewissen Körpererweiterungen zu Einheitswurzeln keine Lösung. Für hamiltonsche Gruppen greifen wir auf Kapitel 6 vor und bestimmen die Dimension einer Cartan-Teilalgebra. Im vorletzten Abschnitt wird verdeutlicht, wie man die Ermittlung der Cartan-Teilalgebren auf die eines Radikalkomplementes reduzieren kann. Die maximalen Tori entsprechen denen der Radikalkomplemente. Da die Radikalkomplemente separabel sind, stimmen für sie maximale Tori und Cartan-Teilalgebren überein. Die Zentralisatoren der Cartan-Teilalgebren der Radikalkomplemente sind genau die Cartan-Teilalgebren der Ausgangsalgebra. Dies führt zu einer Strategie, wie man eine Cartan-Teilalgebra ermitteln kann. Besonders leicht erhalten wir hierdurch erneut einen Beweis im auflösbaren Fall. Des Weiteren illustrieren wir die Strategie an Gruppenalgebren zu Diedergruppen. Das Kapitel wird dadurch abgeschlossen, das bewiesene Resultat auf Algebrenkonstruktionen wie das Tensorprodukt, Adjunktion einer Eins, Matrixalgebren, Teilalgebren möglichst zu übertragen. Dabei steht derselbe Gedanke im Vordergrund wie bereits beim Nilradikal beschrieben. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit den Dimensionen der maximalen Tori in Gruppenalgebren. Hierbei geben wir das Resultat von Salvatore Siciliano wieder, dass die Dimension im halbeinfachen Fall der Summe der Grade der irreduziblen komplexen Charaktere entspricht. Dieses Resultat nutzen wir aus, um einerseits diverse Abschätzungen (Involutionenzahl, Gruppenordnung, abelsche Untergruppen, maximaler Grad) für diese Dimension anzugeben und andererseits diese Dimension für diverse Gruppenklassen (wie etwa Frobenius-Gruppen, direkte Produkte, extra-spezielle p-Gruppen, diverse lineare Gruppen, ambivalente Gruppen wie etwa Diedergruppen und die symmetrische Gruppe, metazyklische Gruppen, p-Gruppen, nilpotente Gruppen, minimal nicht-abelsche p-Gruppen, etc.) genau zu berechnen. Dabei nutzen wir sowohl klassische Theoreme wie auch neuere Ergebnisse zur Charaktertheorie von endlichen Gruppen aus. Kapitel 7 gibt einen Ausblick auf den zweiten Band zu maximal nilpotenten Teilstrukturen. Dort werden wir uns auf den auflösbaren Fall spezialisieren, dabei jedoch nun auch das Zusammenspiel aller maximal nilpotenter Lie-Teilalgebren und Untergruppen betrachten. Eine Graphik illustriert die Fragestellungen zu Band II. Im Anhang stellen wir eine Klasse von auflösbaren Algebren vor, die wir strukurell untersuchen (insbesondere zur Lie-Nilpotenz) und anschliessend hinsichtlich Isomorphie klassifizieren.