Einführung

Naturwissenschaft und Technik gelten landläufig als Gebiete, auf denen klare Verhältnisse herrschen. Ob chemische Reaktionen, mechanische Konstruktionen oder elektrotechnische Schaltungen: Ursache und Wirkung stehen in fester Beziehung zueinander. Bei genauerer Betrachtung werden jedoch überall Unwägbarkeiten erkennbar: Fertigungstoleranzen, Temperaturschwankungen, unvorhersehbares Nutzungsverhalten oder plötzliche Ausfälle von Bauteilen stellen keineswegs eine erschöpfende Aufzählung der Möglichkeiten dar, sondern erweisen sich eher als die Spitze eines Eisbergs. Für den Umgang mit solchen Phänomenen bieten sich innerhalb der Mathematik die Fachgebiete Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung an.

• Die Statistik befasst sich mit der Auswertung von Beobachtungsdaten aus der realen Welt. Ob Sie Menschen interviewen, an einem technischen Versuchsaufbau Messungen vornehmen oder sich durch Krankenakten oder Steuerlisten oder Fußballergebnisse hindurchwühlen – sobald Sie unter einer konkreten Fragestellung Daten sammeln, sind Sie schon dabei, Statistik zu betreiben. Manche Schlussfolgerungen können Sie bereits ohne großen Rechenaufwand erreichen. Aber die Wahrscheinlichkeitsrechnung hilft Ihnen, die Verlässlichkeit Ihrer Ergebnisse zu beurteilen und zusätzliche Schlüsse zu ziehen.
• Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Erfindung von Theoretikern, um in der künstlichen Welt des Glücksspiels möglichst gut abzuschneiden. Durch zwei außerordentlich geschickte Erweiterungen der Theorie können die Überlegungen aber auch auf statistische Daten aus der echten Welt angewendet werden und erlauben dort weitergehende Auswertungen.

Die Statistik, unterstützt durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung, hilft Ihnen, unklare Situationen einzuschätzen. Sie verwendet dazu mathematische Verfahren und kommt auch schon einmal zu Aussagen, die Ihrer Intuition widersprechen. Jetzt gilt es zu entscheiden: Gibt es ausreichende Anhaltspunkte, dass hier tatsächlich ein überraschender Zusammenhang besteht, oder müssen Sie sich davor hüten, einem Trugschluss zum Opfer zu fallen? Mit dem bloßen Ausrechnen von Formeln ist es dann jedenfalls nicht getan. An einigen Stellen dieses Buches werde ich auf diesen Punkt noch einmal zurückkommen.

Über dieses Buch – oder: »… für Dummies« verpflichtet!

Dieses Buch ermöglicht Ihnen auf leicht verständliche Weise den Einstieg in die Fragestellungen, durch die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung entstanden sind. In einer einheitlichen Darstellungsweise führt es Sie dann bis zu fortgeschrittenen Themen wie beispielsweise stochastische Prozesse oder Zeitreihen.

Die Formeln und Rechenverfahren, die Sie dazu beherrschen müssen, werden so vorgestellt, dass Sie sie sofort einsetzen können. Gleichzeitig bekommen Sie aber auch stets die Anknüpfungspunkte für die dahinter stehende Theorie mitgeliefert.

Die Beispiele stammen aus unterschiedlichen Gebieten. So sehen Sie auch für Ihr Fach, wie die Gedankengänge dort eingesetzt werden können.

Das Buch will Sie nicht an allen Ecken und Enden spüren lassen, was Sie alles noch nicht wissen. Stattdessen möchte es Sie zu einer Entdeckungsreise in ein spannendes und buntes Teilgebiet der Mathematik einladen. Schließlich ist es ein »… für Dummies«-Buch. Das verpflichtet!

Wie man dieses Buch benutzt

Sie können mit diesem Buch alleine arbeiten. In einer kleinen Lerngruppe zu zweit oder zu dritt macht es aber vielleicht mehr Spaß, und Sie können sich gegenseitig weiterhelfen, wenn jemand von Ihnen gerade nicht weiterweiß.

In den Abschnitten finden Sie drei Zwischenüberschriften:

• So geht's: Dies ist die Schritt-für-Schritt-Anleitung, mit der Sie eine Aufgabenstellung abarbeiten können. Dazu gibt es auch immer ein durchgerechnetes Beispiel.
• Das steckt dahinter: Hier steht die mathematische Begründung dafür, warum dieser Rechenweg gerade das liefert, wonach gefragt ist. Wenn dies momentan nicht Ihre größte Sorge ist, können Sie diese Passagen auch ruhig erst einmal überschlagen.
• Darauf kommt's an: Nun folgen noch ein paar Tipps, die Ihnen helfen, das Rechenverfahren souveräner einzusetzen.

Ich habe mir große Mühe gegeben, in den »So geht's«-Passagen möglichst wenige Vorkenntnisse vorauszusetzen. Trotzdem musste ich halt auf irgendetwas aufbauen. Also wäre es wohl ganz gut, wenn Sie zumindest eine Formelsammlung in Reichweite hätten. Manche Dinge sind ja auch gar nicht unbedingt schwierig (ich denke da an die Bruchrechnung und an binomische Formeln und all so etwas), aber liegen einfach schon sooo lange zurück.

Die Beispiele können Sie zunächst einmal mit einem normalen Taschenrechner durchrechnen. Wenn Sie dem Thema treu bleiben, sollten Sie sich aber auch bald damit vertraut machen, wie Sie diese Berechnungen mit einem Computeralgebrasystem, einer Tabellenkalkulation oder mit entsprechender Statistik-Software durchführen.

Törichte Annahmen über die Leser

Am wahrscheinlichsten erscheint mir, dass Sie dieses Buch in die Hand nehmen, weil Sie im Laufe Ihres Studiums einen Kurs über Statistik absolvieren. Vielleicht müssen Sie sich aber auch beruflich mit Statistik beschäftigen oder sind ganz einfach nur am Thema interessiert. Sie wollen dabei zunächst einmal grundlegende Aufgabenstellungen und Rechenweisen kennenlernen, ohne sich dafür mit komplizierter Mathematik beschäftigen zu müssen.

Zugleich sehen Sie aber, dass im Laufe der Zeit auch ein paar fortgeschrittene Themen für Sie auf dem Programm stehen werden. Und Sie ahnen möglicherweise, dass Sie sich irgendwann auch mit den mathematischen Gedanken, die hinter den Formeln stehen, zumindest ein klein wenig beschäftigten sollten, damit Sie die Rechenverfahren im Rahmen von Studienprojekten oder vielleicht auch der Abschlussarbeit hinreichend kompetent einsetzen können.

Wenn das – so in der groben Richtung – auf Sie zutrifft, haben Sie das richtige Buch in der Hand.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Das Buch ist nach bestimmten Oberthemen in sechs Teile gegliedert, in denen der Stoff kapitelweise Schritt für Schritt beschrieben wird.

Die Teile I bis III stellen das Grundwissen der Statistik und der notwendigen Zuarbeit aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung dar. Sie bauen in weiten Teilen aufeinander auf. In den Teilen IV und V sowie im Top-Ten-Teil finden Sie weiterführende Themen. Mit ihnen können Sie sich weitgehend unabhängig voneinander beschäftigen.

Die Kapitel 1 bis 15 enden jeweils mit einer Aufgabe. Hier können Sie einen Punkt aus dem vorangegangenen Stoff noch einmal üben. Die Lösungen stehen in Anhang D.

Teil I: Beschreibende Statistik

Ich finde es immer wieder erstaunlich, wie viel sich über die Welt um uns herum schon mit einfachen Mitteln herausfinden lässt – ganz ohne geheimnisvolle Formeln und komplizierte Mathematik. Es kommt »nur« darauf an,

• Fragen richtig zu stellen,
• ein paar einfache Kennzahlen, allen voran Häufigkeiten, Mittelwerte und Standardabweichungen zu berechnen und grafisch übersichtlich zu präsentieren,
• und vor allem: eine ganze Bande naheliegender Trugschlüsse auf Abstand zu halten.

Ein wenig von meinem Erstaunen möchte ich Sie in dem Teil spüren lassen. Blättern Sie ruhig ein wenig darin herum. Sie werden bald merken, was ich meine.

Teil II: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeit ist ein künstlich erdachter Begriff, der erst einmal nur in der Welt der Glücksspiele funktioniert. Deshalb werden Sie hier auch zunächst erfahren, wie in dieser Umgebung Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet werden. Durch die Einführung der Begriffe Zufallsvariable und Verteilung lässt sich das Konzept dann aber so weiterentwickeln, dass es auch für Vorgänge im richtigen Leben nutzbar wird.

Sie werden einige häufig vorkommende Verteilungen kennenlernen. Die Kennzahlen dieser Verteilungen können Sie zur Not erst einmal auswendig lernen. Bei einigen von ihnen ist es ziemlich anspruchsvoll, nachzurechnen, warum es sich mit ihnen gerade so und nicht anders verhält. Wichtiger ist, dass Sie sich mit den Beschreibungen der Situationen vertraut machen, die typischerweise dafür verantwortlich sind, dass Sie es jetzt gerade mit dieser Verteilung zu tun haben.

Dieser Teil ist eher knapp gehalten. Je nachdem, wie tief gehend Sie sich mit dem Thema beschäftigen möchten, sollten Sie eventuell zusätzliche Quellen zurate ziehen.

Teil III: Beurteilende Statistik

Die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf statistische Daten bringt Einsichten in die Verlässlichkeit der berechneten Kennzahlen. Sie können dadurch Fragen beantworten wie

• Ich habe die Füllmenge von 1% unserer Tagesproduktion an Getränkepackungen nachgemessen. Wie genau kann ich daraus den Durchschnitt und die Schwankungsbreite der Füllmenge...