| Geleitwort | 5 |
| Danksagung | 6 |
| Inhaltsverzeichnis | 7 |
| Abbildungsverzeichnis | 10 |
| Tabellenverzeichnis | 11 |
| 1. Einleitung | 14 |
| 2. Begriffsklärung: Stellenwert – Verständnis | 16 |
| 2.1 Mathematische Definition von dezimalem Stellenwertsystem | 16 |
| 2.2 Ausgewählte Theorien zur Klärung von Verständnis in dermathematikdidaktischen Forschung | 17 |
| 2.2.1 Netzwerk von Informationsbestandteilen | 18 |
| 2.2.2 Grundvorstellungen | 19 |
| 2.2.3 Subjektive Erfahrungsbereiche | 21 |
| 2.2.4 Zwischenfazit und Ausblick | 23 |
| 3. Stellenwertverständnis als Gegenstand empirischer Forschung | 24 |
| 3.1 Studien zur Beschreibung und Entwicklung von Stellenwertverständnis | 24 |
| 3.1.1 Research and Development Related to Learning About Numerals for Whole Numbers, Ashlock (1978) - Forschung und Entwicklung mit Bezug zum Lernen über Ziffern für ganze Zahlen (eigene Übersetzung) | 25 |
| 3.1.2 Encouraging thinking in mathematics, Kamii (1982) -Zu mathematischem Denken anregen (eigene Übersetzung) | 28 |
| 3.1.3 A developmental theory of number understanding, Resnick (1983) -Eine Entwicklungstheorie zum Zahlverständnis (eigene Übersetzung) | 30 |
| 3.1.4 Understanding of Numeration in Primary School, Bednarz & Janvier (1982)- Zahlverständnis in der Grundschule (eigene Übersetzung) | 33 |
| 3.1.5 Parts, Wholes, and Place Value: A Developmental View, Ross (1989) & Ergänzung durch Ross (1985) - Teile, Ganze und Stellenwert: Eine Entwicklungsbetrachtung(eigene Übersetzung) | 36 |
| 3.1.6 Children's Conceptual Structures for Multidigit Numbers and Methods of Multidigit Addition and Subtraction, Fuson, Wearne, Hiebert, Murray, Human, Oliver, Carpenter & Fennema (1997) - Konzeptuelle Strukturen für mehrstellige Zahlen und Methoden für mehrstellige Addition und Subtraktionvon Kindern (eigene Übersetzung) | 38 |
| 3.1.7 Zwischenfazit | 41 |
| 3.2 Studien zu Auswirkungen von Stellenwertverständnis und Zusammenhängen mit Rechenfertigkeiten | 43 |
| 3.2.1 Instruction, Understanding, and Skill in Multidigit Addition and Subtraction, Hiebert & Wearne (1996) - Instruktionen, Verständnis und Fähigkeiten bei der Addition und Subtraktion zweistelliger Zahlen (eigene Übersetzung) | 44 |
| 3.2.2 An investigation of the relationship between young children’s understanding of the concept of place value and their competence at mental addition, Thompson & Bramald (2002) - Untersuchung der Beziehung zwischen dem kindlichen Verständnis des Stellenwertkonzepts und der Kopfrechenkompetenz bei Additionsaufgaben (eigene Übersetzung) | 46 |
| 3.2.3 Training in Place-Value Concepts Improves Children’s Addition Skills, Ho & Cheng (1997) - Übungen zum Stellenwertkonzept verbessern die Additionsfähigkeitenvon Kindern (eigene Übersetzung) | 48 |
| 3.2.4 Zwischenfazit | 49 |
| 3.3 Studien zum Einfluss von Zahlwortsystemen auf Stellenwertverständnis | 49 |
| 3.3.1 Comparisons of children’s cognitive representation of number: China, France, Japan, Korea, Sweden, and the United States, Miura, Okamoto, Kim, Chang, Steere, & Fayol (1994) - Vergleiche von kognitiven Zahlrepräsentationen bei Kindern: China, Frankreich, Japan, Korea, Schweden und Amerika (eigene Übersetzung) | 50 |
| 3.3.2 Whorf reloaded – Language effects on non-verbal number processing in 1st grade – a trilingual study, Pixner, Möller, Hermanova, Nürk und Kaufmann (2011) - Sprachliche Effekte auf die nonverbale Zahlverarbeitung in der ersten Klasse. Eine trilinguale Studie (eigene Übersetzung) | 52 |
| 3.3.3 Zwischenfazit | 52 |
| 3.4 Zusammenfassung und Übersicht | 53 |
| 4. Theoretische Darstellung der arithmetischen Inhalte zurBeschreibung von Stellenwertverständnis | 55 |
| 4.1 Arithmetische Inhalte als Bestandteile zum Stellenwertverständnis | 55 |
| 4.1.1 Zahlrepräsentation: Zahlzeichen | 56 |
| 4.1.2 Zahlrepräsentation: Zahlwort | 57 |
| 4.1.3 Zahlrepräsentation: Zahldarstellung | 61 |
| 4.1.4 Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip im ZR 100 | 63 |
| 4.1.5 Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen | 65 |
| 4.1.5.1 Übersetzungen zwischen Zahlzeichen und Zahlwort | 66 |
| 4.1.5.2 Übersetzungen zwischen Zahlwort und Zahldarstellung | 67 |
| 4.1.5.3 Übersetzungen zwischen Zahlzeichen und Zahldarstellung | 67 |
| 4.1.6 Zwischenfazit | 68 |
| 4.2 Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis | 69 |
| 4.2.1 Zählen (bis 9 bzw. 12) | 69 |
| 4.2.2 Strukturieren | 70 |
| 4.2.3 Nutzen der Teil-Ganzes-Beziehung | 70 |
| 4.2.4 Bündeln | 72 |
| 4.3 Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis und Zwischenfazit | 73 |
| 4.4 Anwendungsbereiche von Stellenwertverständnis | 74 |
| 5. Typische Fehler, problematische Prozesse und Einflussfaktoren fürStellenwertverständnis | 76 |
| 5.1 Fehler und problematische Prozesse innerhalb einer Zahlrepräsentation | 76 |
| 5.1.1 Zahlwort | 76 |
| 5.1.2 Zahlzeichen | 77 |
| 5.2 Fehler und problematische Prozesse beim Übersetzen zwischenZahlrepräsentationen | 78 |
| 5.2.1 Materialspezifische Fehler | 78 |
| 5.2.2 Materialunspezifische Fehler | 79 |
| 5.2.2.1 Interpretationsfehler des Zahlzeichens | 79 |
| 5.2.1.1 Lautgetreue Schreibweise | 81 |
| 5.2.1.2 Problematische Prozesse/ wenig flexible Nutzung von Strukturen | 81 |
| 5.3 Fehler repräsentationsübergreifend | 81 |
| 5.4 Zusammenfassung | 83 |
| 6. Formulierung der Forschungsfragen | 86 |
| 7. Empirische Untersuchung im Bereich Stellenwertverständnis imQuerschnittdesign | 89 |
| 7.1 Methode | 89 |
| 7.2 Stichprobe | 90 |
| 7.3 Durchführung der Interviews | 91 |
| 7.4 Auswertung der Interviews | 92 |
| 7.5 Auswertungen der empirischen Ergebnisse | 93 |
| 7.5.1 Empirische Ergebnisse: Anwendungsbereich von Stellenwertverständnis | 95 |
| 7.5.1.1 Aufgabe: 30+7 | 95 |
| 7.5.1.2 Aufgabe: 26+30 | 97 |
| 7.5.1.3 Aufgabe: 54–40 | 99 |
| 7.5.1.4 Aufgabe: 70–8 | 101 |
| 7.5.1.5 Aufgabe: Analogienutzung | 103 |
| 7.5.1.6 Zwischenfazit | 105 |
| 7.5.2 Empirische Ergebnisse: Zahlzeichen | 106 |
| 7.5.2.1 Vergleich zwischen Zahlzeichen (Stellenwertprinzip) | 106 |
| 7.5.2.2 Interpretation eines Zahlzeichens (Bündelungsprinzip) | 109 |
| 7.5.3 Empirische Ergebnisse: Zahlwort | 112 |
| 7.5.3.1 Zählen (über 12) | 112 |
| 7.5.3.1.1 Weiterzählen | 113 |
| 7.5.3.1.2 Rückwärtszählen | 116 |
| 7.5.3.1.3 Zählen in Zehnerschritten (Zehnerzahlen) | 118 |
| 7.5.3.1.4 Zählen in Zehnerschritten (gemischte Zahlen) | 120 |
| 7.5.3.1.5 Zwischenfazit | 124 |
| 7.5.3.2 Vergleich von Zahlen über Zahlworte | 125 |
| 7.5.3.3 Übertragungen zwischen Zahlsprechweisen (Bündelungsprinzip) | 127 |
| 7.5.3.3.1 Kanonische Übertragung: drei Zehner und sieben Einer | 127 |
| 7.5.3.3.2 Nicht-kanonische Übertragung: vier Zehner und 13 Einer | 130 |
| 7.5.3.3.3 Vergleich nicht-kanonischer und kanonischer Bündelungen: achtZehner oder sechzig Einer | 133 |
| 7.5.3.3.4 Zwischenfazit | 135 |
| 7.5.3.4 Interpretation des Zahlwortes Hundert (Bündelungsprinzip) | 135 |
| 7.5.4 Empirische Ergebnisse: Zahldarstellung | 138 |
| 7.5.5 Empirische Ergebnisse: Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip | 142 |
| 7.5.5.1 Zahlauffassung nicht-kanonischer Zahldarstellungen | 143 |
| 7.5.5.2 Zahldarstellung nicht-kanonischer Zahldarstellungen | 147 |
| 7.5.5.3 Zuordnung von Ziffern im Zahlzeichen zur Zahldarstellung | 151 |
| 7.5.5.4 Bedeutung der 0 an der Einerstelle | 157 |
| 7.5.5.5 Bedeutung des Begriffs Zehner | 162 |
| 7.5.6 Empirische Ergebnisse: Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen | 165 |
| 7.5.6.1 Zahlzeichen in Zahlwort | 166 |
| 7.5.6.2 Zahlwort in Zahlzeichen | 171 |
| 7.5.6.3 Zahlwort in Zahldarstellung | 175 |
| 7.5.6.3.1 Zahldarstellung an Mehrsystemblöcken | 175 |
| 7.5.6.3.2 Zahldarstellung am Rechenrahmen | 177 |
| 7.5.6.3.3 Zahldarstellung an der Stellenwerttafel | 180 |
| 7.5.6.3.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung vonStellenwertverständnis | 182 |
| 7.5.6.4 Zahldarstellung in Zahlwort | 184 |
| 7.5.6.4.1 Zahlauffassung an Mehrsystemblöcken | 184 |
| 7.5.6.4.2 Zahlauffassung am Rechenrahmen | 185 |
| 7.5.6.4.3 Zahlauffassung an Stellenwerttafel | 187 |
| 7.5.6.4.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung vonStellenwertverständnis | 188 |
| 7.5.6.5 Zahlzeichen in Zahldarstellung | 190 |
| 7.5.6.5.1 Zahldarstellung an Mehrsystemblöcken | 190 |
| 7.5.6.5.2 Zahldarstellung am Rechenrahmen | 192 |
| 7.5.6.5.3 Zahldarstellung an der Stellenwerttafel | 194 |
| 7.5.6.5.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis | 195 |
| 7.5.6.6 Zahldarstellung in Zahlzeichen | 196 |
| 7.5.6.6.1 Zahldarstellung an Mehrsystemblöcken | 196 |
| 7.5.6.6.2 Zahldarstellung am Rechenrahmen | 198 |
| 7.5.6.6.3 Zahldarstellung an der Stellenwerttafel | 202 |
| 7.5.6.6.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis | 203 |
| 7.5.7 Empirische Ergebnisse: Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis | 204 |
| 6.5.6.1 Zählen (bis 12) | 205 |
| 6.5.6.2 Strukturieren | 205 |
| 6.5.6.3 Nutzen der Teile-Ganzes-Beziehung | 209 |
| 6.5.6.4 Bündeln | 211 |
| 8. Gesamtinterpretation der Ergebnisse | 215 |
| 8.1 Beschreibung markanter Aspekte zum Stellenwertverständnis | 215 |
| 8.1.1 Zahlendreher – repräsentationsübergreifend | 215 |
| 8.1.2 Zehner – als Begriff und in der Zahlvorstellung | 217 |
| 8.1.3 Differenzierung semantischer und syntaktischer Ebene | 219 |
| 8.1.4 Qualität von Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen und dessen Zusammenhangmit der Vorkenntnis Strukturieren | 220 |
| 8.2 Zuordnung der aufgetretenen Fehler zu möglichen Ursachen | 222 |
| 8.3 Mögliche Beschreibung von Stellenwertverständnis für den deutschenSprachraum | 227 |
| 8.3.1 Beschreibung auf empirischer Basis | 228 |
| 8.3.2 Mögliche Definition von Stellenwertverständnis | 231 |
| 8.3.3 Begründung der Theoriewahl zum Verständnisbegriff | 232 |
| 8.3.4 Entwicklung von Stellenwertverständnis | 234 |
| 9. Zusammenfassung und Ausblick | 243 |
| 10. Literaturverzeichnis | 246 |
