Einleitung

Ich freue mich und möchte Ihnen danken, dass Sie sich für dieses Buch entschieden haben – eine gute Wahl, wie ich finde. Dieses Buch ergänzt das Buch »Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies«, und ich müsste eigentlich in jedem Kapitel mehrfach auf die in jenem Buch vermittelte Theorie verweisen. Sehen Sie beide Bücher bitte als eine Einheit, die ohne den jeweils anderen Teil nicht auskommt. Im ersten Buch versuche ich, Ihnen die Theorie in allen Details zu vermitteln. Sie finden dort die wichtigsten mathematischen Zusammenhänge, die Sie als angehender Naturwissenschaftler brauchen. In den einzelnen Kapiteln dieses Buches wird die Theorie nur sehr knapp wiederholt. Dafür haben Sie mit diesem Buch die Möglichkeit, in knapp 170 Aufgaben die Theorie nach allen Regeln der Kunst zu üben. Sie werden jetzt vielleicht sagen, dass beispielsweise ein Biologe und ein Physiker sehr unterschiedliche Herangehensweisen an die Mathematik benötigen. Stimmt. Aber was sie gemeinsam haben, sind die mathematischen Grundkonzepte und Grundideen. Alle Naturwissenschaftler brauchen die praxisrelevanten mathematischen Grundlagen, und genau darum soll es gehen.

Über dieses Buch

Dieses Übungsbuch zu dem Buch »Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies« bietet Ihnen die Chance, mathematisch zu stolpern und Ihre mathematische Perspektive durch eine Änderung des Blickwinkels zu erweitern. Mathematik lernt man nur durch eigenständiges Stolpern anhand von Aufgaben. Sie müssen selbst aktiv werden. Wenn ich Ihnen eine Aufgabe, einen Beweis oder ein Beispiel vorrechne, besteht die Gefahr, dass Sie mögliche Irrwege gar nicht erkennen. Wenn Sie aber selbst erfahren haben, wo genau die Fallgruben sind, werden Sie diese in späteren Projekten gekonnt umgehen.

Dieses Buch ist für Studierende der Naturwissenschaften geschrieben, die in ihrem Studium Mathematik anwenden und so viel davon verstehen müssen, dass sie sich später mit Mathematikern unterhalten können. Es ist kein Nachhilfebuch für den Abiturstoff, nur weil auch Integrale thematisiert werden. Vielmehr geht es um Mathematik auf Universitätsniveau, wie Sie es im Studium der Naturwissenschaften benötigen.

Törichte Annahmen über den Leser

Für wen ist dieses Buch geschrieben? Zunächst einmal haben Sie sich nicht vom Titel abschrecken lassen, weder vom Wort »Übungsbuch« noch von »Mathematik« und auch nicht von »Dummies«. Ich bin stolz auf Sie.

Dieses Buch ist geschrieben für …

• Schülerinnen und Schüler, die an der Mathematik interessiert sind und erste Einblicke in die schillernde Welt der höheren Mathematik bekommen möchten. Vielleicht geht es Ihnen um einen Einblick in die Universitätsmathematik. Den können Sie hier haben.
• Studierende, die Mathematikkurse belegen und ein wenig frustriert von der in der Veranstaltung angegebenen Literatur sind. Dieses Buch gibt Ihnen Ein‐ und Überblicke und jede Menge Übungsaufgaben, die ich selbst als Wochen‐ oder Klausuraufgaben in meinen Kursen verwende. Dabei werden Sie nicht mit technischen Details überfrachtet, sondern finden viele ganz praktische Hinweise. Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden erklärt und erläutert. Dennoch werden Sie unter Umständen auch immer mal wieder in das oben genannte Hauptbuch hineinschauen müssen.
• Interessierte Personen jeden Alters, die ihr mathematisches Grundlagenwissen in einem Trainingslager voller Übungsaufgaben auffrischen möchten. Wie peinlich ist es für Eltern, wenn sie ihrem Kind nicht bei den Hausaufgaben helfen können. Eltern möchten doch (fast) perfekt sein. In diesem Sinne: Zeigen Sie keine Blöße und frischen Sie mithilfe dieses Buches Ihre Kenntnisse zur Prozentrechnung auf! Beeindrucken Sie Menschen, die es nicht von Ihnen erwarten, mit mathematischen Konzepten. Man sollte sich immer weiterbilden – warum also nicht auch (und gerade) mathematisch? Folgen Sie mir also auf den Spuren einer der ältesten Wissenschaften …

Konventionen in diesem Buch

Es gibt nicht viele Regeln für dieses Buch, in die ich Sie vorher einführen müsste. Beim Schreiben des Buches war mir wichtig, dass Sie mit einem Lächeln kompetent durch die Mathematik geleitet werden. Mathematik kann nämlich Spaß machen und ist keineswegs so trocken, wie oftmals (und fälschlicherweise) vermutet wird. Lassen Sie sich also von mir (ver)führen. Ich versuche, Sie im Geiste an die Hand zu nehmen und gemeinsam mit Ihnen durch die wundersame Welt der Mathematik zu spazieren. Auf dem kurvigen Weg besprechen wir ein paar Aufgaben. So sehe ich meine Bücher.

Die weiter unten erläuterten Symbole am Rand werden Ihnen helfen, schnell und übersichtlich die wichtigen Passagen zu erkennen. Neue Begriffe und Schlüsselwörter sind fett gedruckt. Inhaltliche Betonungen werden durch eine kursive Schreibweise kenntlich gemacht. So haben Sie alles Wichtige immer schnell im Blick.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in sieben Teile plus einen Anhang gegliedert. Ich habe mich dabei größtenteils am oben genannten Hauptbuch orientiert. Sie können beide Bücher nebeneinanderlegen und finden in den korrespondierenden Teilen die nötige Theorie beziehungsweise die passenden Aufgaben. Die jeweiligen Teile sind auch hier in kleinere und handliche Portionen, die Kapitel, aufgeteilt, damit Sie den Stoff besser aufnehmen können. Die Teile unterscheiden grundsätzlich vier mathematische Teilgebiete: Analysis, Lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Der Aufbau der Teile ist mit der Darstellung im Hauptbuch deckungsgleich, sie sollten sich also sofort im jeweils anderen Buch zurechtfinden. Nur einzelne Kapitelnummern können wegen Zusammenlegungen oder Aufspaltungen leicht voneinander abweichen.

Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen

In diesem Teil geht es um den mathematischen Kindergarten. Ich zeige Ihnen Grundrechenarten, erläutere noch einmal die Bruchrechnung und lüfte Geheimnisse rund um die Prozent‐ und Zinsrechnung. Anschließend können Sie Grundlagen der mathematischen Logik und der Mengenlehre wiederholen. Dann machen wir einen kleinen Sprung. Sie lernen, wie man mithilfe der vollständigen Induktion die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen bezwingen kann. Schließlich zeige ich Ihnen elementare Funktionen und ihre grundlegenden Eigenschaften, auf die Sie sich in späteren Kapiteln immer wieder beziehen können.

Teil II: Differenziation – die Kunst des Ableitens

Dies ist der erste Teil zur Analysis. Hier suchen Sie unter anderem Steigungen von Funktionen in einem Punkt. Die Ableitung einer Funktion in einem Punkt gibt an, wie steil die Funktion in diesem Punkt ist – das könnte Ihnen zum Beispiel wichtige Informationen für Ihre nächste Bergtour liefern.

Teil III: Integration – eine Kunst für sich

Dieser Teil behandelt das zweite große Thema der Analysis, die Integration. Es geht beispielsweise um das Finden von Flächeninhalten, die durch die Graphen von Funktionen begrenzt werden. Sie werden an vielen Aufgaben sehen, wie Sie die verschiedenen Integrationsmethoden schrittweise anwenden können.

Teil IV: Lineare Algebra

Mein Lieblingsteil behandelt hauptsächlich das Lösen von Gleichungssystemen. Solche Systeme spielen in der Praxis eine wesentliche Rolle, wenn komplexe Systeme beschrieben werden sollen. In der Schule haben Sie gelernt, wie man relativ leicht zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten in den Griff bekommt. In diesem Teil zeige ich Ihnen, wie Sie fast genauso einfach Systeme mit zehn Gleichungen und zehn Unbekannten lösen können, ohne daran zu verzweifeln. Die zugrundeliegenden Methoden und Herangehensweisen funktionieren sogar genauso gut für beliebig viele Gleichungen und Unbekannte!

Ein mit Gleichungssystemen verwandtes Thema sind besonders schöne Funktionen, die lineare Abbildungen genannt werden. Diese Funktionen beschreiben in der Praxis beispielsweise die Bewegungen eines Roboterarms in der Automobilherstellung. Solche Abbildungen können Sie als Matrizen darstellen. In den ganz praktischen Aufgaben zur Linearen Algebra, die ich für Sie vorbereitet habe, können Sie sich mit all diesen Methoden vertraut machen. Und als kleinen Nachschlag gibt es noch ein paar Aufgaben rund um die komplexen Zahlen obendrauf.

Teil V: Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieser Teil führt Sie in die Welt der Stochastik ein. Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Statistik umfasst. Ich zeige Ihnen, wie Sie überzeugende Statistiken des täglichen Lebens interpretieren und was Sie aus ihnen herauslesen können (und auch, was eben nicht). Außerdem gebe ich Ihnen Tipps, wie Sie die Methoden der Statistik verwenden können, um Ihre Ergebnisse geschickt darzustellen – im positiven Sinne natürlich! Anhand zahlreicher Aufgaben können Sie die Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgiebig üben.

Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und...