| Geleitwort | 6 |
| Danksagung | 8 |
| Inhaltsverzeichnis | 9 |
| Abbildungsverzeichnis | 14 |
| Tabellenverzeichnis | 17 |
| Einleitung | 19 |
| Aufbau der Arbeit | 22 |
| Die einzelnen Teile beinhalten folgende Themenschwerpunkte: | 22 |
| Teil I: Theoretische Grundlegung | 22 |
| Teil II: Die eigene Studie – Planung, Durchführung und Auswertung | 24 |
| Teil III: Ergebnisse der eigenen Studie | 24 |
| Teil IV: Zusammenfassung und vergleichende Diskussion der Ergebnisse | 24 |
| Teil I:Theoretische Grundlegung | 26 |
| 1 Kinder im 1. und 2. Schuljahr | 27 |
| 1.1 Die kognitive Entwicklung | 27 |
| Jean Piaget (1896–1980) | 28 |
| Jerome Bruner (geb. 1915) | 30 |
| Margaret Donaldson | 32 |
| Hans zur Oeveste | 33 |
| Lew Semjonowitsch Wygotski (1896–1934) und die sozio-kulturellen Theorien | 34 |
| Robin Case und die Theorien der Informationsverarbeitung | 35 |
| Neurowissenschaftliche Ansätze | 37 |
| Die Theorien des Kernwissens | 37 |
| Bezug zum eigenen Forschungsvorhaben | 38 |
| 1.2 Die Entwicklung des mathematischen Denkens | 39 |
| 1.3 Die sozial-emotionale Entwicklung | 42 |
| 1.4 Entwicklungsspezifika begabter Kinder | 43 |
| 1.5 Zusammenfassung | 45 |
| 2 Begabung | 46 |
| 2.1 Im Spannungsfeld von Begabung, Hochbegabung, Intelligenz undKreativität | 46 |
| 2.1.1 Zum Begriff der Begabung | 47 |
| 1. Die passive Genotyp-Umwelt-Korrelation | 48 |
| 2. Die reaktive Genotyp-Umwelt-Korrelation | 48 |
| 3. Die aktive Genotyp-Umwelt-Kovarianz | 48 |
| 2.1.2 Zum Begriff der Hochbegabung | 50 |
| 1. Die Ex-post-facto-Definition | 50 |
| 2. Termans IQ-Definition | 50 |
| 3. Die Prozentsatzdefinitionen | 51 |
| 4. Die sozial-bezogenen Definitionen | 51 |
| 5. Kreativitäts-Definitionen | 51 |
| 6. Lucitos eigene Definition | 51 |
| 2.1.3 Zum Begriff der Intelligenz | 52 |
| 2.1.4 Zum Begriff der Kreativität | 54 |
| 1. Originalität | 55 |
| 2. Effektivität | 55 |
| 3. Relevanz | 55 |
| 2.2 Begabungs- und Intelligenzmodelle | 56 |
| 2.2.1 Darstellung verschiedener relevanter Begabungs- und Intelligenzmodelle | 56 |
| Das Drei-Ringe-Modell der Hochbegabung von Renzulli | 57 |
| Das Triadische Interdependenzmodell der Hochbegabung von Mönks | 58 |
| Das differenzierte Begabungs- und Talentmodell von Gagné | 61 |
| Das Münchner Multifaktorielle Begabungsmodell von Heller und Hany | 63 |
| Das Modell der Intelligenztriade nach Robert Sternberg | 66 |
| Eysencks Konzept der Intelligenz | 68 |
| Die Rahmentheorie der multiplen Intelligenzen von Howard Gardner | 69 |
| Das Konzept zur Hochbegabung von Detlef Rost | 70 |
| Hochbegabung und Leistung:Ein Bedingungsgefüge von Aiga und Kurt Stapf, erweitert von Aiga Stapf | 72 |
| 2.2.2 Aktuelle Ergebnisse aus der Hirnforschung | 74 |
| 2.2.3 Zusammenfassung der Erkenntnisse aus den vorgestellten Begabungs undIntelligenzmodellen | 75 |
| 2.3 Eigene Positionierung | 78 |
| 2.4 Begabung bei Kindern im 1. und 2. Schuljahr | 79 |
| 3 Mathematische Begabung | 82 |
| 3.1 Mathematische Begabung zwischen allgemeiner Intelligenzund spezifischen Begabungen | 83 |
| 3.1.1 Mathematische Begabung als Element allgemeiner Intelligenz | 83 |
| 3.1.2 Mathematische Begabung als spezifische Begabung | 84 |
| Die logisch-mathematische Intelligenz nach Gardner | 84 |
| Die räumliche Intelligenz nach Gardner | 85 |
| 3.1.3 Mathematische Begabung und allgemeine Intelligenzin verschiedenen Beziehungen zueinander | 86 |
| 3.1.4 Eigene Positionierung | 86 |
| 3.2 Mathematisches Tätigsein und die damit verbundenenmathematischen Kompetenzen und Fähigkeiten | 87 |
| 3.3 Merkmale und Fähigkeiten mathematisch begabterGrundschulkinder | 95 |
| Das Merkmalsystem von Krutetskii | 95 |
| Krutetskii benennt folgende drei Typen: | 97 |
| Handlungsmuster mathematischer Begabung nach Kiesswetter | 97 |
| Handlungsmuster mathematischer Begabung nach Kiesswetter: | 98 |
| Mathematikspezifische Begabungsmerkmale nach Käpnick | 98 |
| Spezifische Merkmale mathematischer Begabung nach Käpnick: | 98 |
| Fähigkeiten und Handlungsmuster mathematisch begabter Kinder nach Nolte | 100 |
| Handlungsmuster mathematisch begabter Kinder nach Nolte: | 100 |
| Merkmale mathematischer Begabung nach Hrzán | 101 |
| Merkmale mathematischer Begabung: | 101 |
| 3.4 Modelle zur mathematischen Begabung | 102 |
| 3.5 Gegenüberstellung und Verdichtung der verschiedenenMerkmalsysteme | 104 |
| 3.6 Mathematische Begabung bei Kindern im 1. und 2. Schuljahr | 106 |
| 3.7 Konsequenzen für das eigene Forschungsvorhaben | 108 |
| Inhaltsunabhängige mathematische Fähigkeiten von Kindern im 1. und2. Schuljahr: | 108 |
| Zweidimensionales Schema aus mathematischen Inhalten undinhaltsunabhängigen Fähigkeiten zur Erfassung mathematischen Tätigseins | 109 |
| 4 Problemlösen | 110 |
| 4.1 Zum Begriff des Problemlösens | 110 |
| 4.2 Kategorisierung von Problemen | 111 |
| 4.3 Phasen des Problemlösens | 112 |
| Die fünf Stufen des Problemlösens nach Dewey: | 112 |
| Pólyas vier Phasen des Problemlösens: | 113 |
| 4.4 Problemlösestrategien | 114 |
| Heuristische Strategien | 115 |
| Strategie des Generierens und Testens von Lösungen | 115 |
| Strategie der Suchraumveränderung | 115 |
| Strategie der Analogiebildung | 115 |
| Strategie der Ziel-Mittel-Analyse | 115 |
| Strategie des Zerlegens in überschaubare Teile | 116 |
| Strategien des Vorwärts- und Rückwärtsarbeitens | 116 |
| Untergliederung von Strategien nach ihrer Einsatzmöglichkeitgemäß Friedrich/Mandl: | 117 |
| 4.5 Problemaufgaben | 118 |
| 4.6 Die Entwicklung der Problemlösefähigkeit | 118 |
| Entwicklung der epistemischen Struktur in vier Bereichen: | 118 |
| 4.7 Zur Beziehung zwischen (mathematischer) Begabung undProblemlöseverhalten | 120 |
| 4.8 Bezug zur eigenen Forschungsarbeit | 122 |
| 5 Identifikation von Begabung | 124 |
| 5.1 Identifikation in Abhängigkeit vom zugrunde liegendenBegabungsmodell | 124 |
| 5.2 Verfahren zur Identifikation | 124 |
| 5.2.1 Verfahren mit größerer Objektivität | 125 |
| Intelligenztests | 125 |
| Kreativitätstests | 126 |
| Schulleistungstests | 127 |
| Indikatoraufgabentests | 127 |
| 5.2.2 Verfahren mit geringerer Objektivität | 127 |
| Lehrermeinung | 127 |
| Elternmeinung | 128 |
| Selbsteinschätzung | 128 |
| Einschätzung durch andere – Peers | 128 |
| Checklisten | 128 |
| 5.3 Die Kombination mehrerer Verfahren zur Identifikationbesonderer Begabungen | 129 |
| 5.4 Probleme und Chancen der Identifikation von Begabungbei jüngeren Kindern | 130 |
| 6 Interesse | 132 |
| 6.1 Zum Begriff des Interesses | 132 |
| 6.2 Entwicklung von Interesse | 133 |
| 6.3 Interesse und Begabung | 135 |
| 6.4 Interesse bei Kindern im 1. und 2. Schuljahr | 135 |
| 7 Zusammenfassung der Ergebnissedes theoretischen Teils | 137 |
| Es ergeben sich folgende Erkenntnisse: | 137 |
| 1. Kognitive Entwicklung | 137 |
| 2. Entwicklung des mathematischen Denkens | 138 |
| 3. Sozial-emotionale Entwicklung | 138 |
| 4. Begabung im frühen Schulalter | 139 |
| 5. Mathematische Begabung und Problemlösen bei Kindern im 1. und 2. Schuljahr | 140 |
| 6. Identifikation mathematischer Begabung bei Kindern im Schulanfangsalter | 140 |
| Fazit | 141 |
| Anforderungen an die Aufgaben unter besonderer Berücksichtigungder Problemhaltigkeit und der individuellen Voraussetzungen der Kinder: | 142 |
| 1. Problemhaltigkeit bestimmt sich unter anderem durch den Inhalt einer Aufgabe: Fremde Inhalte stellen mit einer höheren Wahrscheinlichkeit ein Problem dar alsbekannte Inhalte. | 142 |
| 2. Herausfordernde Situationen können außerdem durch fremde Aufgabenformategeschaffen werden. | 142 |
| 3. Stufung des Schwierigkeitsniveaus | 142 |
| 4. Bearbeitung auf verschiedenen Darstellungsebenen | 143 |
| Teil II: Die eigene Studie – Planung, Durchführungund Methoden der Auswertung | 144 |
| 8 Forschungsfragen | 145 |
| Ziel der Studie | 146 |
| Im Einzelnen sollen die folgenden Fragestellungen untersucht werden: | 146 |
| 9 Untersuchungsdesign | 147 |
| 9.1 Die Rahmenbedingungen | 147 |
| 9.2 Die Aufgaben | 147 |
| 9.2.1 Allgemeine Anforderungen an die Aufgaben | 147 |
| 9.2.2 Die ausgewählten Aufgaben | 148 |
| 9.2.2.1 Die Aufgabe „Türme bauen“ | 148 |
| 9.2.2.2 Die Aufgabe „Jonas sammelt Murmeln“ | 150 |
| 9.2.2.3 Die Aufgabe „Das Puzzle“ | 154 |
| 9.2.2.4 Die Aufgabe „Rechenketten“ | 161 |
| 9.2.3 Abbildung mathematischen Tätigseins anhand der Aufgaben | 169 |
| „Türme bauen“ | 169 |
| „Jonas sammelt Murmeln“ | 170 |
| „Das Puzzle“ | 170 |
| „Rechenketten“ | 171 |
| 9.3 Die Kinder | 172 |
| 9.3.1 Beteiligte Schulen | 172 |
| 9.3.2 Auswahl der beteiligten Kinder | 172 |
| Die eingesetzten Auswahlinstrumente: | 173 |
| Durchführung der „Mathe-AG“ | 174 |
| 9.4 Durchgeführte Tests | 176 |
| 9.4.1 Basiswissentest | 176 |
| Der Basiswissentest umfasst folgende Bereiche: | 176 |
| 9.4.2 Intelligenztest | 178 |
| Der Grundintelligenztest Skala 1 – CFT 1 | 178 |
| 9.4.3 Vergleich der Ergebnisse beider Tests | 181 |
| 9.5 Untersuchungsmethoden | 181 |
| 9.5.1 Datenerhebung | 181 |
| Das qualitative Interview | 182 |
| Die Einzelfallstudie | 183 |
| Durchführung der Datenerhebung | 184 |
| 9.5.2 Datenauswertung | 185 |
| Analyse qualitativer Interviews | 185 |
| Durchführung der Datenauswertung | 187 |
| Schritte zur Datenauswertung im eigenen Forschungsvorhaben | 187 |
| Teil III:Ergebnisse der eigenen Studie | 190 |
| 10 Die Aufgabe „Türme bauen“ | 192 |
| 10.1 Aufgabentext | 192 |
| 10.2 Auswertung nach dem Einsatz heuristischer Strategien | 192 |
| Welche heuristischen Strategien zeigen die Kinder? | 194 |
| 10.3 Auswertung nach dem Einsatz aufgabenspezifischer Strategien | 197 |
| Welche konkreten Möglichkeiten zum Einsatz dieser aufgabenspezifischenStrategien bietet nun die Aufgabe „Türme bauen“? | 198 |
| Gegenpaarbildung | 198 |
| Tachometerprinzip | 199 |
| Lösungssuche in Phasen | 199 |
| Strategiekeime | 200 |
| Welche der aufgabenspezifischen Strategien nutzen die Kinder tatsächlich? | 201 |
| 10.4 Auswertung nach den Phasen des Problemlöseprozesses | 205 |
| 1. Annehmen und Verstehen der Aufgabe | 206 |
| 2. Lösungsplanung und -realisierung | 207 |
| Handlungen zur Lösungsplanung | 207 |
| Vorgehen beim Lösen | 208 |
| Problemlöseniveau | 208 |
| Qualität der Lösung | 208 |
| Bearbeitungsdauer | 209 |
| Problemlöseniveau | 211 |
| Bearbeitungsdauer204 III Ergebnisse der eigenen Studie | 215 |
| 3. Präsentation der Lösung | 216 |
| 4. Rückschau | 217 |
| Lösungskontrolle | 217 |
| Reflexion der Lösung | 217 |
| Sicherheit in Bezug auf die Lösung | 217 |
| Lösungskontrolle | 218 |
| 10.5 Auswertung nach mathematikspezifischen Begabungsmerkmalen | 221 |
| 10.6 Einzelbeispiel Willi: „Soll ich es mir vorstellen oder bauen?“ | 225 |
| Hintergrundinformationen | 225 |
| Interpretation | 228 |
| 10.7 Abschließende Zusammenfassung der Ergebnisdarstellung | 230 |
| 10.7.1 Gruppierung der Kinderlösungen zu Bearbeitungstypen | 230 |
| Bearbeitungstyp T – A | 230 |
| Bearbeitungstyp T – B | 231 |
| Bearbeitungstyp T – C | 231 |
| Bearbeitungstyp T – D | 231 |
| Bearbeitungstyp T – E | 231 |
| 10.7.2 Besonderheiten der Aufgabe | 232 |
| 11 Die Aufgabe „Jonas sammelt Murmeln“ | 235 |
| 11.1 Aufgabentext | 235 |
| 11.2 Auswertung nach dem Einsatz heuristischer Strategien | 235 |
| Welche heuristischen Strategien zeigen die Kinder? | 236 |
| 11.3 Auswertung nach dem Einsatz aufgabenspezifischer Strategien | 239 |
| Welche aufgabenspezifischen Strategien nutzen die Kinder? | 239 |
| 11.4 Auswertung nach den Phasen des Problemlöseprozesses | 242 |
| 1. Annehmen und Verstehen der Aufgabe | 242 |
| 2. Lösungsplanung und -realisierung | 243 |
| Handlungen zur Lösungsplanung | 243 |
| Problemlöseniveau | 245 |
| Vorgehen beim Lösen | 247 |
| Qualität der Lösung | 248 |
| 3. Präsentation der Lösung | 250 |
| 4. Rückschau | 251 |
| Reflexion der Lösung | 252 |
| Sicherheit in Bezug auf die Lösung | 253 |
| 11.5 Auswertung nach mathematikspezifischen Begabungsmerkmalen | 255 |
| 11.6 Einzelbeispiel Arne: „Das habe ich mir sowieso gerade überlegt.“ | 257 |
| Hintergrundinformationen | 257 |
| Interpretation | 260 |
| 11.7 Abschließende Zusammenfassung der Ergebnisdarstellung | 261 |
| 11.7.1 Gruppierung der Kinderlösungen zu Bearbeitungstypen | 261 |
| Bearbeitungstyp J – A | 261 |
| Bearbeitungstyp J – B | 262 |
| Bearbeitungstyp J – C | 262 |
| Bearbeitungstyp J – D | 262 |
| 11.7.2 Besonderheiten der Aufgabe | 263 |
| 12 Die Aufgabe „Das Puzzle“ | 266 |
| 12.1 Aufgabentext | 266 |
| Teilaufgabe 1 „Quadratdrilling 1“ | 266 |
| Teilaufgabe 2 „Quadratdrilling 2“ | 267 |
| Teilaufgabe 3 „Quadratdrilling 1 und 2“ | 267 |
| Teilaufgabe 4 „zwei Quadratvierlinge“ | 267 |
| Teilaufgabe 5 „drei Quadratfünflinge“ | 267 |
| 12.2 Auswertung nach dem Einsatz heuristischer Strategien | 268 |
| Welche heuristischen Strategien zeigen die Kinder? | 269 |
| 12.3 Auswertung nach dem Einsatz aufgabenspezifischer Strategien | 272 |
| 12.4 Auswertung nach den Phasen des Problemlöseprozesses | 276 |
| 1. Annehmen und Verstehen der Aufgabe | 276 |
| 2. Lösungsplanung und -realisierung | 276 |
| Handlungen zur Lösungsplanung | 276 |
| Vorgehen beim Lösen | 278 |
| Problemlöseniveau | 279 |
| Qualität der Lösung | 281 |
| Bearbeitungsdauer | 283 |
| 3. Präsentation der Lösung | 284 |
| 4. Rückschau | 284 |
| Lösungskontrolle | 284 |
| Reflexion der Lösung | 284 |
| Sicherheit in Bezug auf die Lösung | 285 |
| 12.5 Auswertung nach mathematikspezifischen Begabungsmerkmalen | 286 |
| 12.6 Einzelbeispiel Yannis: „Das sieht man doch!“ | 291 |
| Hintergrundinformationen | 291 |
| Interpretation | 294 |
| 12.7 Abschließende Zusammenfassung der Ergebnisdarstellung | 296 |
| 12.7.1 Gruppierung der Kinderlösungen zu Bearbeitungstypen | 296 |
| Bearbeitungstyp P – A | 296 |
| Bearbeitungstyp P – B1 | 297 |
| Bearbeitungstyp P – B2 | 297 |
| Bearbeitungstyp P – C | 297 |
| Bearbeitungstyp P – D | 297 |
| 12.7.2 Besonderheiten der Aufgabe | 298 |
| Umgang mit der unlösbaren Teilaufgabe | 298 |
| 13 Die Aufgabe „Rechenketten“ | 301 |
| 13.1 Aufgabentext | 301 |
| 13.2 Auswertung nach dem Einsatz heuristischer Strategien | 301 |
| Welche heuristischen Strategien zeigen die Kinder? | 302 |
| 13.3 Auswertung nach dem Einsatz aufgabenspezifischer Strategien | 305 |
| 13.4 Auswertung nach den Phasen des Problemlöseprozesses | 308 |
| 1. Annehmen und Verstehen der Aufgabe | 308 |
| 2. Lösungsplanung und -realisierung | 309 |
| Handlungen zur Lösungsfindung | 313 |
| Problemlöseniveau | 314 |
| 3. Präsentation der Lösung | 318 |
| 4. Rückschau | 318 |
| 13.5 Auswertung nach mathematikspezifischen Begabungsmerkmalen | 322 |
| 13.6 Einzelbeispiel Nick: „Eigentlich ist ja alles nur eine große Aufgabe.“ | 325 |
| Hintergrundinformationen | 325 |
| Interpretation | 331 |
| 13.7 Abschließende Zusammenfassung der Ergebnisdarstellung | 334 |
| 13.7.1 Gruppierung der Kinderlösungen zu Bearbeitungstypen | 334 |
| Bearbeitungstyp R – A | 334 |
| Bearbeitungstyp R – B | 334 |
| Bearbeitungstyp R – C | 334 |
| Bearbeitungstyp R – D | 335 |
| 13.7.2 Besonderheiten der Aufgabe | 335 |
| Teil IV: Zusammenfassung und vergleichende Diskussionder Erkenntnisse | 338 |
| 14 Zusammenfassung der Erkenntnisse aus allen Aufgaben | 340 |
| 14.1 Die heuristischen Strategien | 340 |
| 14.2 Die aufgabenspezifischen Strategien | 342 |
| 14.3 Die Phasen des Problemlöseprozesses | 343 |
| 1. Annehmen und Verstehen der Aufgaben | 343 |
| 2. Lösungsplanung und -realisierung | 344 |
| 3. Präsentation der Lösung | 346 |
| 4. Rückschau | 347 |
| Allgemeine Beobachtungen | 348 |
| 14.4 Die mathematikspezifischen Begabungsmerkmale | 349 |
| 14.5 Die Bearbeitungstypen | 351 |
| Fazit | 354 |
| 14.6 Die Aufgaben | 356 |
| 14.6.1 Bedeutung der Aufgaben für die Studie | 356 |
| 14.6.2 Abbildung mathematischen Tätigseins durch die Aufgaben | 357 |
| 15 Resümee | 360 |
| Einsatz der vier Forschungsaufgaben zur Diagnose mathematischer Begabung | 374 |
| 16 Ausblick | 376 |
| 16.1 Didaktische Überlegungen für den mathematischen Anfangsunterricht | 376 |
| 16.2 Offene Fragen | 380 |
| Literaturverzeichnis | 382 |
| Anhang | 396 |
| Anhang 1 Interview-Leitfäden | 397 |
| Anhang 1.1 „Türme bauen“ | 397 |
| Anhang 1.2 „Jonas sammelt Murmeln“ | 399 |
| Anhang 1.3 „Das Puzzle“ | 402 |
| Anhang 1.4 „Rechenketten“ | 405 |
| Anhang 2 Die Aufgabe „Zahlenmauer“ | 409 |
| Anhang 3 Checkliste | 410 |
| Anhang 4 Die Aufgaben der „Mathe-AG“ | 410 |
| Anhang 4.1 Die Aufgabe „Zauberdreiecke“ | 411 |
| Anhang 4.2 Die Aufgabe „Perlenkette“ | 413 |
| Anhang 4.3 Die Aufgabe „Geschicktes Rechnen“ | 413 |
| Anhang 5 Basiswissentest | 414 |
| Anhang 6 Transkriptionsregeln | 419 |
| Anhang 7 Auswertungs-Leitfaden | 420 |
