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Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen

Jubiläumsband des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

Verlag	Springer Spektrum
Erscheinungsjahr	2015
Seitenanzahl	216 Seiten
ISBN	9783658068356
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	49,99 EUR

Mathematische Grundvorstellungen sind im Bereich der Arithmetik und Algebra umfassend bearbeitet worden, für die Geometrie gilt dies bislang nicht. Dieser Band beleuchtet erste wesentliche Schritte in diese Richtung und versucht die fehlenden Konzepte der Grundvorstellungen in der Geometriedidaktik aufzuarbeiten. In engem Zusammenhang mit Grundvorstellungen stehen Begriffsbildungen, denen ein hoher Stellenwert im Geometrieunterricht zukommt. Das Buch enthält die ausformulierten Vorträge der 30. Herbsttagung 2013 des Arbeitskreis Geometrie in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM).

Prof. Dr. Matthias Ludwig, Professor für Didaktik der Mathematik an der Goethe-Universität Frankfurt

Prof. Dr. Andreas Filler, Professor für Didaktik der Mathematik an der Humboldt-Universität zu Berlin

Prof. Dr. Anselm Lambert, Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität des Saarlandes

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Inhaltsverzeichnis

Editorial	5
Inhaltsverzeichnis	9
1 Grundbegriffe, Grundvorstellungen und Nutzungen der Geometrie	12
1.1 Grundbegriffe der Geometrie	12
1.2 Grundvorstellungen zur Geometrie	14
1.3 Nutzung von Geometrie	15
1.4 (Individueller) Sinn der Geometrie	17
1.5 Zum Curriculum Geometrie	19
1.6 Rückblick	19
1.7 Literatur	20
2 Grundvorstellungen zur Schulgeometrie	23
„Situated Cognition“ in der Geometriedidaktik	23
2.1 Grundvorstellungen – eine robuste didaktische Kategorie	23
2.2 Situated Cognition – eine analytische Perspektive	26
2.3 Grundvorstellungen zur Schulgeometrie	27
G1: Geometrie als Schule des rechten Sehens	27
G2: Geometrie als Schule des verständigen Denkens	29
G3: Geometrie als Schule des regelgeleiteten Gehorsams	30
G4: Geometrie als Schule der technischen Naturbeherrschung	32
G5: Geometrie als Schule der Ästhetik	33
2.4 Schulgeometrie im 21. Jahrhundert?	34
2.5 Literatur	37
3 Winkel in der Sekundarstufe I – Schülervorstellungen erforschen	39
3.1 Einleitung	39
3.2 Winkel – ein aspektreicher Begriff	40
3.2.1 Schulbuchanalyse – Darstellungen und Repräsentationen zum Winkel	42
3.2.2 Untersuchung zu Winkelvorstellungen von Fünft- und Zehntklässlern	45
3.3 Begriffsbildung zum Winkel	47
3.3.1 Untersuchung zu Schülervorstellungen zur Winkelgröße 1°	49
3.4 Fazit	51
3.5 Literatur	51
3.5.1 Schulbücher	52
4 Geometrische Darstellungen als Vorstellungsgrundlage für algebraische Operationen am Beispiel der negativen Zahlen	53
4.1 Einleitung	53
4.2 Primäre und sekundäre Grundvorstellungen	54
4.3 Rationale Zahlen	56
4.3.1 Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden	57
4.3.2 Addition	57
4.3.3 Subtraktion als Addition der Gegenzahl	58
4.3.4 Multiplikation	58
4.4 Die Multiplikation mit (–1) als Inversion	60
4.4.1 Symmetrien bei Funktionen	60
4.4.2 Sinus- und Cosinus am Einheitskreis	61
4.4.3 Zentrische Streckung	63
4.5 Zusammenfassung und Ausblick	64
4.6 Literatur	65
5 Baustrategien von Vor- und Grundschulkindern: Zur Artikulation räumlicher Vorstellungen in konstruktiven Arbeitsumgebungen	66
5.1 Einleitung	66
5.2 Unangeleitetes und angeleitetes Konstruieren konkreter Bauwerke	68
5.3 Räumliche Fähigkeiten und der Erwerb arithmetischer Konzepte im Grundschulalter	69
5.3.1 Komponenten räumlicher Fähigkeiten	69
5.3.2 Räumliche Fähigkeiten im Arithmetikunterricht der Grundschule	70
5.4 „Ziele und Visionen 2020“: Intentionen des Projekts (Y)CUBES	72
5.5 Einblicke in erste Ergebnisse aus dem Projekt (Y)CUBES	74
5.5.1 Ein Modell zur Charakterisierung von Baustrategien	74
5.5.2 Validierung und Erweiterung des Modells durch Teilstudien im Projekt (Y)CUBES	76
5.6 Ausblick	79
5.7 Literatur	80
6 Grundvorstellungsumbrüche beim Übergang zur 3D-Geometrie	84
6.1 Einleitung	84
6.1.1 Grundvorstellungen	85
6.2 Identifizierte Probleme beim Arbeiten in 3D-DGS	85
6.2.1 Die Kreiskonstruktion	86
6.2.2 Die Lotgeradenkonstruktion	91
6.3 Diskussion und Ausblick	93
6.4 Literatur	94
7 Leitideen des Raumgeometrieunterrichts	96
Geometrieunterricht und Allgemeinbildung – ein Diskussionsbeitrag	96
7.1 Einleitung	96
7.2 Raumgeometrieunterricht (in Österreich)	97
7.3 Wozu (be)treiben wir Geometrie? Drei Gründe	98
7.3.1 Reflektiertes Entscheiden des Individuums und des Kollektivs	98
7.3.2 Kommunikation	100
7.3.3 Erkenntnisbeitrag	102
7.4 Schlüsselaktivitäten und Leitideen	104
7.4.1 Idee der Rekonstruktion (des Raumes aus ebenen Bildern) – das Lesen	106
7.4.2 Idee der Projektion – das Schreiben	108
7.4.3 Idee der Koordinatisierung/Messung – das Normieren	109
7.4.4 Idee der Abstraktion – der geometrische Formenschatz	110
7.4.5 Idee der Dynamik – neue Formen erzeugen	112
7.5 Basisaktivitäten und Formenschatz der Zukunft?	113
7.6 Literatur	114
8 Begriffe im Geometrieunterricht der ‚Hauptschule‘	115
8.1 ‚Hauptschule‘	115
8.1.1 Kurzer Überblick über die Vorgeschichte: Die Entwicklung der Volksschule zur Hauptschule	115
8.1.2 Heutige Situation	120
8.2 Begriffsentwicklung in Raumlehre und Geometrieunterricht	121
8.2.1 Kriterienorientierte Klassifikation geometrischer Begriffe	122
8.2.2 Begriffe in der Raumlehre	122
8.2.3 Begriffe im Geometrieunterricht	129
8.3 Aktuelle Diskussion	131
8.3.1 Bildungsstandards und Mindestkompetenzen	131
8.4 Literatur	134
9 Begriffsbilder und -konventionen in Begriffsfeldern: Was ist ein Würfel?	136
9.1 Einleitung	136
9.2 Begriffe, Bezeichner und Objekte	137
9.3 Mehrdeutigkeiten im semiotischen Dreieck – der Würfel	138
9.4 Mehrdeutigkeiten im semiotischen Dreieck – allgemein	142
9.5 Begriffe deskriptiv betrachtet – der Würfel	144
9.6 Begriffe deskriptiv betrachtet – allgemein	154
9.7 Begriffe normativ betrachtet – allgemein	157
9.8 Fazit	159
9.9 Literatur	160
10 Das Haus der Vierecke aus der Sicht des Heidelberger Winkelkreuzes	162
10.1 Die Entwicklung des Heidelberger Winkelkreuzes	162
10.1.1 Modelle von Vierecken mit dem Heidelberger Winkelkreuz spannen	162
10.1.2 Die Entstehung des HWK	163
10.2 Das Heidelberger Winkelkreuz aus mathematischer Sicht	169
10.2.1 Halbdiskrete Polarkoordinaten	169
10.2.2 Beschreibung von Vierecken mit dem HWK	170
10.2.3 HWK-Vierecke, kombinatorische Gleichwertigkeit und Kongruenz	171
10.3 Das Haus der Vierecke aus der Sicht des HWK	174
10.3.1 Quadrate	174
10.3.2 Rechtecke	175
10.3.3 Parallelogramme	175
10.3.4 Symmetrische Trapeze	176
10.3.5 Trapeze	176
10.3.6 Allgemeines (konvexes) Viereck	177
10.3.7 Drachen	178
10.3.8 Noch einmal: Rauten	178
10.3.9 Noch einmal: Quadrate	178
10.3.10 Zusammenfassung	178
10.3.11 Gemeine Wagenhebervierecke	179
10.4 Das Haus der HWK-Vierecke	179
10.4.1 Alle verwendeten Stifte haben verschiedene Farbwerte	180
10.4.2 Genau zwei der verwendeten Stifte sind gleichfarbig	180
10.4.3 Zwei Paare gleichfarbiger Stifte	180
10.4.4 Genau drei der verwendeten Stifte sind gleichfarbig	181
10.4.5 Alle vier der verwendeten Stifte sind gleichfarbig	181
10.5 Einsatz des HWK in der Schule	181
10.5.1 Klassensätze und Lehrerexemplar	181
10.5.2 Einsatzbeispiel für das HWK: Umstrukturierung und Vertiefung des Wissen zu Parallelogrammen	182
10.6 Literatur	184
11 Achsensymmetrie: Vom Spielen zum Formalisieren	185
Eine Vorstellung von Dienes’ Ansatz	185
11.1 Einleitung	185
11.2 Stufen im Lernprozess	187
11.2.1 Stufe 1: Freies Spiel	187
11.2.2 Stufe 2: Spiel nach Regeln	189
11.2.3 Stufe 3: Vergleich der Spiele	190
11.2.4 Stufe 4: Darstellung der Abstraktion	192
11.2.5 Stufe 5: Symbolisierung	193
11.2.6 Stufe 6: Formalisieren	195
11.3 Literatur	197
12 Maßstab 1:1 – Geometrie für Geomatiker	198
12.1 Längen oder Winkel?	198
12.1.1 Die Mutter aller Karten	198
12.1.2 Parameterdarstellung der Kugel	199
12.1.3 Plattkarte im Hochformat	200
12.2 Immer gerade aus	203
12.2.1 Geodätische Linien	203
12.2.2 Großkreise statt Geraden	203
12.2.3 Großkreis auf der Plattkarte	204
12.2.4 Großkreise als Geraden auf der Karte?	205
12.2.5 Gnomonische Projektion	205
12.3 Maßstab eins zu eins	207
12.4 Das Theorema egregium	209
12.5 Flächentreu und winkeltreu	210
12.5.1 Flächentreue Karten	210
12.6 Winkeltreue Karten	213
12.6.1 Gerhard Mercator	213
12.6.2 Loxodromen	214
12.6.3 Die schöne Kugel	215
12.7 Literatur	216
12.7.1 Websites	216

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