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Handbuch der Mathematikdidaktik

Verlag	Springer Spektrum
Erscheinungsjahr	2015
Seitenanzahl	668 Seiten
ISBN	9783642351198
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	69,99 EUR

Das Handbuch gibt einen einzigartigen Überblick über die Didaktik der Mathematik, seine Lehr- und Lerninhalte, Denk- und Unterrichtsprozesse wie auch seine Forschungsthemen und -methoden. In 24 Kapitel leiten führende Vertreter der Mathematikdidaktik den Leser durch die vielfältigen Themen Ihres Fachgebietes. Ergänzt wird es durch drei Kapitel zu 'Mathematik als Bildungsgegenstand'.

Das Handbuch vermittelt dem Leser tiefe Einblicke in das aktuelle Wissen der Mathematikdidaktik und bietet deshalb Studierenden wie Lehrern unverzichtbare Informationen.

Prof. Dr. Regina Bruder, Technische Universität Darmstadt, Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Lisa Hefendehl-Hebecker, Universität Duisburg - Essen, Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Barbara Schmidt-Thieme, Universität Hildesheim, Institut für Mathematik und Angewandte Informatik

Prof. Dr. Hans-Georg Weigand, Universität Würzburg, Didaktik der Mathematik, Fakultät für Mathematik und Informatik

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Blick ins Buch

Inhaltsverzeichnis

Vorwort	5
Inhaltsverzeichnis	7
Mitarbeiterverzeichnis	10
Teil I	12
Mathematik als Bildungsgegenstand	12
Kapitel 1	14
Gesellschaftliche Bedeutung der Mathematik	14
1.1 Grundlegende Fragen	14
1.2 Mathematik als Wissenskultur	20
1.3 Mathematik als Werkzeug	23
1.4 Mathematik als Wissenschaft	24
Literatur	26
Kapitel 2	29
Schulmathematik und Realität – Verstehen durch Anwenden	29
2.1 Mathematik und die uns umgebende Welt	31
2.1.1 Mathematik entsteht aus realen Problemen	31
2.1.2 Mathematikunterricht und realitätsnahe Probleme	34
2.1.3 Zielsetzungen eines realitätsnahen Mathematikunterrichts	35
2.2 Modelle: Brücken zwischen „Mathematik und dem Rest der Welt“	40
2.2.1 „Mathematik und der Rest der Welt“	40
2.2.2 Was sind „Modelle“?	42
2.2.3 Typen von Modellen	44
2.3 Realitätsnaher Mathematikunterricht	47
2.3.1 Problemzonen des Mathematikunterrichts	47
2.3.2 Möglichkeiten und Grenzen eines realitätsnahen Mathematikunterrichts	49
2.3.3 Horizontale und vertikale Vernetzung	52
2.4 Realitätsnaher Mathematikunterricht in Zeiten von Standards und zentralen Prüfungen	55
Literatur	56
Kapitel 3	60
Bildungstheoretische Grundlagen des Mathematikunterrichts	60
3.1 Pädagogische Aspekte	61
3.2 Gesellschaftliche Aspekte	64
3.3 Funktionen der Schule und die Rolle der Bildungsstandards	66
3.4 Fachliche bildungsrelevante Charakterisierungen der Mathematik	71
3.4.1 Hans Freudenthal: „Mathematik als pädagogische Aufgabe“	71
3.4.2 „Fundamentale Ideen“ der Mathematik	72
3.4.3 Allgemeine mathematische Lernziele nach Heinrich Winter 1975	73
3.4.4 „mathematical literacy“ und „mathematical proficiency“	74
3.4.5 Charakteristika „moderner mathematischer Allgemeinbildung“	76
3.5 Synthetisierend: Heinrich Winters „Grunderfahrungen“	77
Literatur	79
Teil II	83
Mathematik als Lehr- und Lerninhalt	83
Kapitel 4	85
Arithmetik: Leitidee Zahl	85
4.1 Zur Entwicklung des Zahlensystems und des arithmetischen Denkens	85
4.1.1 Ursprünge	86
4.1.2 Die Entstehung arithmetischen Denkens in den antiken Hochkulturen	87
4.1.3 Zahlen als ideelle Objekte im antiken Griechenland	90
4.1.4 Die Entdeckung des Inkommensurablen	92
4.1.5 Das indisch-arabische dezimale Stellenwertsystem	93
4.1.6 Erweiterungen des Zahlensystems	95
4.1.7 Die Konstruktion der reellen Zahlen	96
4.2 Zahlen und Arithmetische Denkweisen	97
4.2.1 Ursprünge arithmetischen Denkens	97
4.2.2 Die Bedeutung von Darstellungsarten für arithmetisches Denken	100
4.2.3 Natürliche Zahlen und arithmetisches Denken in Vorschule und Grundschule	104
4.2.4 Zahlbereichserweiterungen in der Sekundarstufe	108
4.2.5 Dyskalkulie	113
4.3 Zahlen und Arithmetik im Unterricht	115
4.3.1 Zur Geschichte des Arithmetikunterrichts	115
4.3.2 Forschungen zum Arithmetikunterricht	117
Literatur	119
Kapitel 5	124
Algebra: Leitidee Symbol und Formalisierung	124
5.1 Entwicklung und Bedeutung der algebraischen Formelsprache	124
5.1.1 Zur Entstehung der Formelsprache	125
5.1.2 Zur Bedeutung der Formelsprache	131
5.1.3 Die Rolle der Variablen	133
5.1.4 Die Formelsprache aus semiotischer Perspektive	135
5.2 Algebraische Denkweisen und Methoden	137
5.2.1 Wurzeln algebraischen Denkens und ihre Weiterentwicklung	137
5.2.2 Vom ursprünglichen Verstehen zum relationalen Denken - ein Beispiel	140
5.2.3 Forschungen zum algebraischen Denken	142
5.3 Algebraunterricht	144
5.3.1 Zur Geschichte des Algebraunterrichts	145
5.3.2 Forschungen zum Algebraunterricht	147
Literatur	151
Kapitel 6	156
Analysis: Leitidee Zuordnung und Veränderung	156
6.1 Historische und epistemologische Grundlagen	157
6.1.1 Zur geschichtlichen Entwicklung	157
6.1.2 Funktion als Leitbegriff der Mathematik und des Mathematikunterrichts	162
6.1.3 Infinitesimales Denken und epistemologische Hürden	165
6.2 Funktionales Denken im Lernprozess	168
6.2.1 Aspekte funktionalen Denkens und ihre Rolle bei der Begriffsentwicklung	168
6.2.2 Repräsentationsebenen und Übersetzungsprozesse	171
6.3 Analysisunterricht	174
6.3.1 Wege zur Ableitung und zum Integral	174
6.3.2 Wachstum und Änderung	181
6.3.3 Analysisunterricht zwischen Anschaulichkeit und formaler Exaktheit	185
Literatur	189
Kapitel 7	192
Geometrie: Leitidee Raum und Form	192
7.1 Geometrie und Geometrieunterricht aus der historisch-genetischen Perspektive	193
7.1.1 Entwicklungslinien	194
7.1.2 Akzentuierungen für die Beschäftigung mit Geometrie	197
7.1.3 Niederschlag in der Geschichte des Geometrieunterrichts	198
7.2 Geometrie und Geometrieunterricht – lern- und kognitions-psychologisch	200
7.2.1 Aspekte geometrischen Denkens	200
7.2.2 Entwicklung geometrischen Denkens	208
7.3 Geometrieunterricht	209
7.3.1 Geometrie und Curriculum	209
7.3.2 Das weiter zu erforschende Verhältnis von Lehrenden und Lernenden zur Geometrie	211
7.3.3 Eine aktuelle Strömung: Raumgeometrie und 3D-DGS	214
7.3.4 Geometrie und Veranschaulichung im Mathematikunterricht	215
7.3.5 Geometrieunterricht in internationaler Entwicklung	218
7.4 Fazit und Ausblick	219
Literatur	220
Kapitel 8	227
Stochastik: Leitidee Daten und Zufall	227
8.1 Fachlich-epistemologische Überlegungen	228
8.2 Empirische Untersuchungen zum probabilistischen und statistischen Denken	237
8.3 Unterrichtspraktische Überlegungen: Stochastik in der Schule	241
8.4 Schlussbemerkungen	250
Literatur	250
Teil III	258
Mathematik als Denkprozesse	259
Kapitel 9	260
Begriffsbildung	260
9.1 Begriffe in der Mathematik	260
9.1.1 Die mathematik-didaktische Analyse	261
9.1.2 Die erkenntnistheoretische Begriffskritik	263
9.2 Lerntheoretische Grundlagen	265
9.2.1 Die Idee der didaktischen Phänomenologie	265
9.2.2 Grundvorstellungen	267
9.2.3 Die didaktische Rekonstruktion	268
9.3 Begriffslernen im Mathematikunterricht	269
9.3.1 Aspekte des Begriffsverständnisses	269
9.3.2 Arten des Begriffserwerbs	272
9.3.3 Empirische Untersuchungen	275
9.4 Strategien des Begriffslehrens	277
9.4.1 Kurzfristiges Lehren mathematischer Begriffe	278
9.4.2 Mittelfristiges Lehrenmathematischer Begriffe	279
9.4.3 Langfristiges Lehren mathematischer Begriffe	280
Literatur	281
Kapitel 10	284
Problemlösen lernen	284
10.1 Begriffliche Grundlagen	284
10.2 Problemtypologien	285
10.3 Mathematische Problemlösekompetenz als Ziel schulischer Allgemeinbildung	289
10.4 Zu Verlaufsmodellen mathematischer Problemlöseprozesse	291
10.5 Zum Erwerb mathematischer Problemlösekompetenz	294
10.5.1 Einflussfaktoren auf Inhalt und Verlauf von Problemlöseprozessen	294
10.5.2 Fördermethoden und -konzepte für den Erwerb von Problemlösekompetenz	295
10.6 Unterrichtskonzepte zur Ausbildung mathematischer Problemlösekompetenz	298
10.7 Problemlösen und Begabtenförderung/-erkennung	301
10.8 Offene Fragen	302
Literatur	303
Kapitel 11	307
Algorithmik	307
11.1 Vorbemerkungen	307
11.2 Algorithmen: Entstehungsgeschichte, Etymologie, Grundbegriffe	308
11.3 Die Methodologie des algorithmischen Arbeitens und fundamentale fachdidaktische Prinzipien der Mathematik	313
11.3.1 Das genetische Prinzip und die historische Perspektive	313
11.3.2 Konstruktivität	319
11.3.3 Elementarität	321
11.3.4 Vernetztheit, Beziehungshaltigkeit	322
11.3.5 Experimentelles, exploratives Arbeiten, das operative Prinzip und mathematische Heuristik	323
11.4 Werkzeuge für das algorithmische Arbeiten	325
11.5 Algorithmik und mathematische Bildungsinhalte besonders im Bereich der Schulbildung	328
11.6 Schlussbemerkungen	330
Literatur	332
Kapitel 12	334
Argumentieren und Beweisen	334
12.1.1 Die Natur des mathematischen Beweises	334
12.1.2 Beweisen im Unterricht	336
12.2 Argumentieren und Beweisen	341
12.2.1 Begriffsklärung	341
12.2.2 Toulmin’s Argumentationstheorie	342
12.2.3 Beweisen und explorieren	344
12.2.4 Einsicht in die Beweisnotwendigkeit	344
12.3 Kognitive Aspekte	346
12.3.1 Kognitive Voraussetzungen von Beweiskompetenz	346
12.3.2 Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern und Metawissen zum Beweisen	347
12.3.3 Stufen- und Entwicklungsmodelle mathematischer Beweiskompetenz	350
12.3.4 Interventionen zur Förderung von Beweiskompetenz	351
12.4 Zusammenfassung	352
Literatur	354
Kapitel 13	359
Anwendungen und Modellieren	359
13.1 Curriculare Relevanz von mathematischem Modellieren	359
13.2 Theoretische Diskussion zum Modellieren in der Mathematikdidaktik	362
13.2.1 Theoretische Diskussion zum mathematischen Modellieren im Unterricht – Historische Entwicklung und aktueller Stand	362
13.2.2 Der Modellierungsprozess als Rahmen für Modellierungsaktivitäten	365
13.3 Unterrichtliche Beispiele zum Modellieren	368
13.3.1 Die Leuchtturm-Aufgabe als Beispiel für reichhaltige Modellierungsprozesse	368
13.3.2 Preisgestaltung eines Internet-Cafés als authentisches Modellierungsbeispiel	370
13.4 Modellierungskompetenzen und ihre Förderung	371
13.4.1 Definition und Konzept von Modellierungskompetenzen	371
13.4.2 Förderung von Modellierungskompetenzen	373
13.5 Modellieren mit digitalen Werkzeugen	373
13.6 Ergebnisse empirischer Studien zur Förderung des Modellierens	376
13.6.1 Studien zu kognitiven und affektiven Aspekten	376
13.6.2 Studien zur Effektivität von Lernumgebungen, zu Lehrerinterventionen und adaptivem Lehrerverhalten bei Modellierungsprozessen	377
13.7 Ausblick: Aktivitäten und Projekte zur Förderung von Anwendungen und Modellieren im Mathematikunterricht	380
Literatur	381
Kapitel 14	386
Darstellen und Kommunizieren	386
14.1 Einleitung	386
14.2 Darstellen: Repräsentationsformen mathematischen Wissens	387
14.2.1 Repräsentationsformen in Theorie und Praxis	387
14.2.2 Hintergrundtheorien und ihre Anwendungen auf mathematikdidaktische Fragestellungen	388
14.2.3 Einteilungen und Eigenschaften von Repräsentationen mathematischer Objekte und Sachverhalte	390
14.2.4 Sprache und mathematische Fachsprache	393
14.3 Formalisieren: Zeichengebrauch und Begriffsbildung	395
14.3.1 Gebrauch von Repräsentationsformen	396
14.3.2 Erwerb von und Wechsel zwischen Repräsentationsformen	398
14.4 Kommunizieren: Interaktion im Mathematikunterricht	399
14.4.1 Unterrichtskommunikation	399
14.4.2 Interaktions- und Handlungsmuster	400
14.4.3 Mimik, Gestik und Raumverhalten	402
14.4.4 Erklären und Argumentieren	402
14.4.5 Gesprächs- und Schreibanlässe	403
14.5 Fazit	405
Literatur	405
Teil IV	410
Mathematik im Unterrichtsprozess	410
Kapitel 15	412
Unterrichtsmethoden und Instruktionsstrategien	412
15.1 Einleitung	412
15.2 Sozial- und Arbeitsformen als Elemente des Unterrichts	413
15.2.1 Lernen in kooperativen Sozialformen	414
15.2.2 Lehrerzentrierte Sozialformen	416
15.2.3 Offene Lernumgebungen	417
15.2.4 Zusammenfassung	418
15.3 Mathematikunterricht als Organisation von Lerngelegenheiten	419
15.3.1 Kognitive Aktivierung	420
15.3.2 Metakognitive Aktivierung und Förderung	422
15.3.3 Konstruktive Lernunterstützung	423
15.3.4 Inhaltliche und strukturelle Klarheit	423
15.3.5 Zusammenfassung	425
15.4 Instruktionsstrategien	425
15.4.1 Cognitive Apprenticeship	426
15.4.2 Four Component Instruction Design, 4C/ID	427
15.4.3 Cognitive Load Theory	428
15.4.4 Zusammenfassung	429
15.5 Offene Fragen und aktuelle Entwicklungslinien	429
Literatur	431
Kapitel 16	436
Aufgaben in Forschung und Praxis	436
16.1 Kategorien zur Charakterisierung von Aufgaben	438
16.1.1 Inhaltsbezogene Merkmale	438
16.1.2 Kognitionsbezogene Merkmale	439
16.1.3 Didaktische Merkmale	439
16.2 Aufgaben in der fachbezogenen Lehr-Lernforschung und in der Unterrichtsforschung	443
16.2.1 Aufgaben in der Lernprozessforschung	443
16.2.2 Aufgaben in der Leistungsmessung	444
16.2.3 Aufgaben in der Unterrichtsforschung	445
16.2.4 Aufgaben in der Professionalitätsforschung	448
16.3 Aufgaben in der fachdidaktischen Entwicklungsforschung	449
16.4 Aufgaben in der Lehrerprofessionalisierung und in der Steuerung von Bildungssystemen	452
16.5 Fazit: Perspektiven für die Aufgabenforschung	453
Literatur	454
Kapitel 17	462
Medien	462
17.1 Was sind Medien?	462
17.1.1 Weiter und enger Medienbegriff	462
17.1.2 Medien und die Vielfalt der Forschungsfragen	463
17.1.3 Medien und Einsatzzweck	463
17.1.4 Medien und Darstellungsebenen	464
17.1.5 Medien und Bezeichnungsvielfalt	464
17.2 Traditionelle Medien im Mathematikunterricht	465
17.2.1 Arbeitsmittel	465
17.2.2 Werkzeuge	466
17.2.3 Anschauungsmittel	467
17.2.4 Gedruckte Medien	468
17.2.5 Übergreifende Konzepte	469
17.2.6 Präsentationsmedien	470
17.3 Digitale Medien im Mathematikunterricht	470
17.3.1 Rechner/Hardware	471
17.3.2 Programme/Software	475
17.3.3 Netz und Vernetzung von Medien – das Internet	479
17.4 Theoretische Grundlagen des Einsatzes digitaler Technologien (DT)	481
17.4.1 DT und das didaktische Dreieck	481
17.4.2 Die Theorie der instrumentellen Genese	482
17.5 Forschungsbereiche zu den digitalen Medien bzw. digitalen Technologien (DT)	483
17.5.1 Voraussetzungen für den DT-Einsatz	483
17.5.2 Wirkungen des DT-Einsatzes	484
17.5.3 Der Einsatz von DT in Prüfungen	485
17.5.4 Multiple und dynamische Repräsentationen	485
17.5.5 Hard- und Software-Design, Konstruktion von Lernumgebungen	486
17.5.6 Digitale Medien in der Grundschule	486
17.5.7 Digitale Medien in der Lehreraus- und -weiterbildung	486
17.6 Ausblick	487
Literatur	488
Kapitel 18	492
Diagnostik und Leistungsbeurteilung	492
18.1 Grundsätzliche Überlegungen	493
18.1.1 Diagnose und Diagnosekompetenz	493
18.1.2 Förderdiagnostik	494
18.1.3 Verhältnis von Diagnose und Bewertung	495
18.1.4 Merkmale von Diagnosen	495
18.1.5 Verhältnis Diagnose und Förderung	497
18.2 Bewertungsmaßstab, Beurteilungsfehler und Grenzwerte	498
18.3 Diagnostik als Forschungsgegenstand	500
18.3.1 Untersuchungen zur Urteilsgenauigkeit	500
18.3.2 Diagnosekompetenz und Fördermaßnahmen	501
18.4 Diagnostik und Leistungsbeurteilung im Unterricht	502
18.4.1 Instrumente und Maßnahmen zur Erhebung und Bewertung von Leistungen	503
18.4.2 Instrumente und Maßnahmen zur Diagnose im Unterricht	505
18.5 Resümee	509
Literatur	510
Kapitel 19	514
Individualisieren und differenzieren	514
19.1 Strukturmomente für eine Binnendifferenzierung im Mathematikunterricht	515
19.2 Didaktisch-methodische Differenzierungsmaßnahmen im Mathematikunterricht in historischer Entwicklung	520
19.3 Offene Fragen	531
Literatur	532
Teil V	536
Didaktik der Mathematik als Forschungsdisziplin	536
Kapitel 20	539
Zur geschichtlichen Entwicklung der Mathematikdidaktik als wissenschaftlicher Disziplin	539
20.1 Vorbemerkung	539
20.2 Vom Beginn des 19. Jahrhunderts bis zum 1. Weltkrieg	541
20.2.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik	541
20.2.2 Die Diskussion um die „Neuere Geometrie“	548
20.3 Die Zeit zwischen den Weltkriegen	550
20.3.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik	550
20.3.2 Die Diskussion um die Infinitesimalrechnung	552
20.4 Die Zeit nach dem 2. Weltkrieg	555
20.4.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik	555
20.4.2 Die Diskussion um die „Abbildungsgeometrie“	559
20.5 Schlussbemerkung	562
Literatur	563
Kapitel 21	567
Forschungsgegenstände und Forschungsziele	567
21.1 Einleitung	567
21.2 Zur Rolle des Inhalts	569
21.2.1 Auswahl von Inhalten	569
21.2.2 Aufbereitung von Inhalten	570
21.3 Unterricht und andere Lehr-Lern-Umgebungen	573
21.4 Charakteristika der Lehrenden	576
21.5 Charakteristika der Lernenden	578
21.5.1 Struktur und Entwicklung mathematischer Kompetenz bei Schülerinnen und Schülern	579
21.5.2 Fehlvorstellungen, Grundvorstellungen und Conceptual Change	581
21.6 Perspektiven	583
Literatur	585
Kapitel 22	590
Qualitative mathematikdidaktische Forschung: Das Wechselspiel zwischen Theorieentwicklung und Adaption von Untersuchungsmethoden	590
22.1 Einleitung	590
22.2 Die Rationale qualitativer Forschung	591
22.3 Qualitative Unterrichtsforschung in der Mathematikdidaktik	592
22.4 Schwerpunkt: „Theorieentwicklung auf der Grundlage eines qualitativen Forschungsansatzes“	593
22.4.1 Theoretischer Startpunkt	593
22.4.2 Theoretische Reflexionen zu einer Szene zum „kgV“	594
22.5 Schwerpunkt: „Anpassung einer Forschungsmethode an einen Forschungsgegenstand“	600
22.5.1 Die theoretische Einbettung	602
22.5.2 Erweiterte und an den Forschungsgegenstand angepasste Analyse	604
22.5.3 Folgerungen	607
22.6 Abschließende Bemerkungen	607
Literatur	609
Kapitel 23	612
Quantitative Forschungsmethoden in der Mathematikdidaktik	612
23.1 Grundlagen	613
23.1.1 Der Aufbau eines schriftlichen Forschungsberichts	613
23.1.2 Welche Fragestellungen erfordern quantitative Methoden?	613
23.1.3 Psychometrie	615
23.2 Schritte des quantitativ-empirischen Forschungsprozesses	618
23.2.1 Formulierung von Fragestellungen und Hypothesen	618
23.2.2 Entwurf des Designs (Studienanlage, Gesamtplan) zur Untersuchung der Hypothesen	619
23.2.3 Konstruktion der Untersuchungsinstrumente	622
23.2.4 Wahl der Stichprobe	625
23.2.5 Statistische Analysen	625
23.3 Ausblick	633
Anhang	636
Literatur	638
Kapitel 24	641
Theorien und Theoriebildung in didaktischer Forschung und Entwicklung	641
24.1 Herausforderungen im Umgang mit Theorien	642
24.1.1 Herausforderungen bei der Rezeption von Theorien	642
24.1.2 Herausforderungen in der (Weiter-)Entwicklung von Theorien	643
24.2 Unterschiedliche Konzeptualisierungen von Theorien und ihrer Rolle in wissenschaftlichen Praktiken	643
24.2.1 Theorien auf unterschiedlichen Ebenen	643
24.2.2 Theorien als Ergebnis oder Rahmenbedingung wissenschaftlicher Praktiken	646
24.2.3 Theorien als Rahmenbedingungen: Mittler zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematikdidaktik (Abb. 24.1)	647
24.3 Theorien als Ergebnisse von Forschung: Struktur und Funktionen von Theorieelementen	648
24.4 Theoriebildung als Prozess	651
24.4.1 Empirische Absicherung von Theorieelementen in unterschiedlichen Forschungsdesigns	652
24.4.2 Absicherung von Theorieelementen durch Vernetzung und Argumentation statt Empirie	653
24.4.3 Unterschiedliche Wege zur Gewinnung empirisch beforschbarer Ansätze: Importe und innerdisziplinäre Diskurse	654
24.4.4 Von isolierten Theorieelementen zu umfassenderen Theorien	656
24.5 Zum Weiterlesen	657
Literatur	657
Sachverzeichnis	661

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