| Geleitwort | 6 |
| Vorwort | 8 |
| Inhaltsverzeichnis | 9 |
| Abbildungsverzeichnis | 12 |
| Tabellenverzeichnis | 16 |
| 1 Einleitung | 18 |
| 2 Zum Umgang mit Heterogenität im Mathematikunterricht der Grundschule | 21 |
| 2.1 Leistungsheterogenität unter der Perspektive von Schulleistungsstudien und Vergleichsarbeiten | 21 |
| 2.2 Berücksichtigung von Leistungsniveaus in Lehrplänen und Bildungsstandards | 25 |
| 2.3 Natürliche Differenzierung zur Berücksichtigung verschiedener Bearbeitungsniveaus | 26 |
| 2.4 Unterrichtsentwicklung durch geeignete Aufgabenkultur | 30 |
| 2.4.1 Bedeutung der Aufgabenkultur | 30 |
| 2.4.2 Begriffsbestimmungen zu Lernumgebungen und Aufgaben | 31 |
| 2.5 Substanzielle Lernumgebungen (SLU) | 43 |
| 2.5.1 Definitionen im Zusammenhang mit SLU | 43 |
| 2.5.2 SLU auf der Basis konstruktivistischer Grundpositionen | 45 |
| 2.5.3 SLU als Möglichkeit natürlicher Differenzierung und diesbzgl. Anforderungen | 46 |
| 2.5.4 SLU als Möglichkeit für empirische Unterrichtsforschung | 49 |
| 3 Educational Design Research | 51 |
| 3.1 Begriffsverständnisse und Bedeutung von Educational Design Research | 51 |
| 3.2 Forschungsansätze des Educational Design Research | 53 |
| 3.2.1 Design-Experiment als methodologische Veränderung aufgrund lerntheoretischer Entwicklungen | 53 |
| 3.2.2 Von Developmental Research zu Design Research als Forschungsparadigma | 56 |
| 3.2.3 Design-Based Research | 60 |
| 3.2.4 Research-Based Design als Variante des Educational Design Research | 62 |
| 3.2.5 Action Research zur Professionalisierung von Lehrpersonen | 63 |
| 3.2.6 Von Formativer Evaluation zu Formative Research | 64 |
| 3.2.7 Engineering Research als weiterführende Methodologie durch „Scaling up“ | 68 |
| 3.3 Vergleich der verschiedenen Forschungsansätze und Diskussion | 70 |
| 3.4 Folgerungen für fachdidaktische Entwicklungsforschung | 74 |
| 3.4.1 Mathematikdidaktik als Design Science | 74 |
| 3.4.2 FUNKEN-Modell als Beispiel der Entwicklungsforschung | 76 |
| 4 Forschungsrahmen und Design der Studie | 79 |
| 4.1 Forschungsdesiderata und Forschungsfragen | 79 |
| 4.2 Forschungsansätze bzgl. Educational Design Research als Forschungsrahmen | 81 |
| 4.2.1 Verknüpfung verschiedener Ansätze des Educational Design Research | 81 |
| 4.2.2 Planung und Übersicht der Forschungszyklen | 83 |
| 4.2.3 Konstruktion, Erforschung und Weiterentwicklung substanzieller Lernumgebungen | 85 |
| 4.3 Design der Untersuchung | 87 |
| 4.3.1 Einordnung ins Projekt Mathe-Spürnasen | 87 |
| 4.3.2 Datenerhebung im Rahmen unterrichtsnaher Lernsituationen | 89 |
| 4.3.2.1 Durchführungen im Rahmen von Experimentiervormittagen | 89 |
| 4.3.2.2 Interviewsampling und Planung der Einzelinterviews | 90 |
| 4.3.3 Methoden der Datenauswertung | 95 |
| 4.3.3.1 Qualitative Inhaltsanalyse | 95 |
| 4.3.3.2 Breitenanalyse bzgl. der Anforderungsbereiche | 96 |
| 4.3.3.3 Tiefenanalyse bzgl. der Bearbeitungsaspekte | 97 |
| 5 Entwicklung, Erprobung und Durchführung ausgewählter SLU | 100 |
| 5.1 SLU Pascal’sches Dreieck | 100 |
| 5.1.1 Pascal’sches Dreieck als mathematischer Lerngegenstand | 100 |
| 5.1.2 Aufbau der SLU Pascal’sches Dreieck | 103 |
| 5.1.3 Fachliche und fachdidaktische Analyse ausgewählter kombinatorischer Aufgaben- und Problemstellungenstellungen | 104 |
| 5.1.3.1 Grundlagen zu kombinatorischen Aufgaben- und Problemstellungen | 104 |
| 5.1.3.2 Einführung – Murmeln Ziehen | 113 |
| 5.1.3.3 Vertiefung – Wege in Mannheim | 118 |
| 5.1.4 Durchführung der SLU | 124 |
| 5.1.4.1 Einführung: Konstruktion des Pascal’schen Dreiecks | 124 |
| 5.1.4.2 Vertiefung: Wege in Mannheim | 127 |
| 5.2 Design-Research-Prozess der SLU Pascal’sches Dreieck bzgl. ausgewählter Aufgabenstellungen | 130 |
| 5.2.1 Design-Research-Prozess am Beispiel der Einführung – Murmeln Ziehen | 130 |
| 5.2.1.1 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des mathematischen Gegenstands | 130 |
| 5.2.1.2 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des Materialeinsatzes | 131 |
| 5.2.1.3 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Lehrerinterventionen | 134 |
| 5.2.1.4 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Organisation der Bearbeitungsprozesse | 139 |
| 5.2.2 Design-Research-Prozess am Beispiel der Vertiefung – Wege in Mannheim | 139 |
| 5.2.2.1 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des mathematischen Gegenstands | 139 |
| 5.2.2.2 Analysen und Folgerungen hinsichtlich des Materialeinsatzes | 140 |
| 5.2.2.3 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Lehrerinterventionen | 143 |
| 5.2.2.4 Analysen und Folgerungen hinsichtlich der Organisation der Bearbeitungsprozesse | 149 |
| 5.3 SLU Würfel | 149 |
| 5.3.1 Würfel als mathematischer Lerngegenstand unter fachlicher Perspektive | 149 |
| 5.3.2 Aufbau der SLU Würfel | 150 |
| 5.3.3 Fachliche und fachdidaktische Analyse ausgewählter Aufgaben- und Problemstellungen (Vertiefung – Würfeltrick) | 151 |
| 5.3.4 Durchführung der SLU Würfeltrick | 156 |
| 6 Analyse und Charakterisierung der Bearbeitungsprozesse | 158 |
| 6.1 Breitenanalyse bzgl. der Anforderungsbereiche zur Beschreibung des Bearbeitungsspektrums | 158 |
| 6.1.1 Fallbeispiele zur SLU Pascal’sches Dreieck | 158 |
| 6.1.1.1 Einführung – Murmeln Ziehen und Fortsetzen des Pascal’schen Dreiecks | 158 |
| 6.1.1.2 Vertiefung – Wege in Mannheim | 175 |
| 6.1.2 Fallbeispiele zur SLU Würfel (Vertiefung – Würfeltrick) | 185 |
| 6.1.3 Vergleichende Analyse der SLU Pascal’sches Dreieck und Würfel sowie Diskussion | 204 |
| 6.2 Tiefenanalyse der Arbeitsprozesse hinsichtlich verschiedener Bearbeitungsaspekte | 206 |
| 6.2.1 Bearbeitungsaspekte bzgl. der SLU Pascal’sches Dreieck (Murmeln Ziehen/Wege in Mannheim) | 207 |
| 6.2.1.1 Umgang mit kombinatorischen Bedingungen | 207 |
| 6.2.1.2 Strukturierungen der Elemente der Figurenmenge | 211 |
| 6.2.1.3 Begründungen bzgl. der Vollständigkeit der Figurenmenge | 219 |
| 6.2.1.4 Anzahlbestimmung der Elemente einer Figurenmenge | 226 |
| 6.2.1.5 Darstellungen der Figurenmenge | 229 |
| 6.2.1.6 Beschreibungen von Wegen im Koordinatensystem (lernumgebungspezifischer Aspekt) | 235 |
| 6.2.2 Exemplarische Analyse hinsichtlich der Bearbeitungsaspekte im Rahmen der SLU Murmeln Ziehen und Wege in Mannheim | 235 |
| 6.2.3 Bearbeitungsaspekte bzgl. der SLU Würfel (Würfeltrick) | 241 |
| 6.2.3.1 Durchführung des Würfeltricks | 241 |
| 6.2.3.2 Beschreibungen von Zusammenhängen im Rahmen des Würfeltricks | 243 |
| 6.2.3.3 Begründungen bzgl. der Funktionsweise des Würfeltricks | 247 |
| 6.2.3.4 Verallgemeinerungen bzgl. der Funktionsweise des Würfeltricks | 249 |
| 6.2.3.5 Darstellungen der Zusammenhänge beim Würfeltrick | 252 |
| 6.2.4 Exemplarische Analyse hinsichtlich der Bearbeitungsaspekte im Rahmen der SLU Würfeltrick | 254 |
| 6.2.5 Voraussetzungen, Wechselbeziehungen und Überlappungen der Bearbeitungsaspekte im Rahmen der eingesetzten SLU | 258 |
| 6.2.5.1 Intrakategoriale Beziehungen innerhalb eines Bearbeitungsaspekts bei der SLU Murmeln Ziehen | 259 |
| 6.2.5.2 Interkategoriale Beziehungen zwischen Bearbeitungsaspekten bei der SLU Murmeln Ziehen | 275 |
| 6.2.5.3 Intrakategoriale Beziehungen innerhalb eines Bearbeitungsaspekts bei der SLU Wege in Mannheim | 281 |
| 6.2.5.4 Interkategoriale Beziehungen zwischen Bearbeitungsaspekten bei der SLU Wege in Mannheim | 289 |
| 6.2.5.5 Intrakategoriale Beziehungen innerhalb eines Bearbeitungsaspekts bei der SLU Würfeltrick | 298 |
| 6.2.5.6 Interkategoriale Beziehungen zwischen Bearbeitungsaspekten bei der SLU Würfeltrick | 304 |
| 6.3 Vergleichende Analyse der SLU Pascal’sches Dreieck und Würfel und Diskussion | 312 |
| 6.4 Zusammenfassende Darstellung der Analyse | 315 |
| 7 Zusammenfassung und Ausblick | 320 |
| 7.1 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse | 320 |
| 7.2 Folgerungen für SLU im Rahmen des Mathematikunterrichts | 325 |
| 7.2.1 Folgerungen für die Konstruktion von SLU | 325 |
| 7.2.2 Formulierung von Leitideen zum Einsatz von SLU im Unterricht | 326 |
| 7.3 Verknüpfung von Theorie und Praxis | 329 |
| Literatur | 331 |
| Anhang | 351 |
