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E-Book

Mathematik ist schön

Anregungen zum Anschauen und Erforschen für Menschen zwischen 9 und 99 Jahren

Autor	Heinz Klaus Strick
Verlag	Springer-Verlag
Erscheinungsjahr	2017
Seitenanzahl	360 Seiten
ISBN	9783662537305
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	16,99 EUR

Dieses Buch macht in 17 Kapiteln Angebote, sich mit bekannten oder auch weniger bekannten Themen aus der Mathematik zu beschäftigen. Dies geschieht in anschaulicher Weise; daher enthält das Buch eine Fülle von farbigen Abbildungen.

Es geht um Sterne und Vielecke, um Rechtecke und Kreise, um gerade und gekrümmte Linien, um natürliche Zahlen, um Quadratzahlen und vieles mehr.

Wer sich die Grafiken anschaut, wird reichlich Spannendes und Schönes in der Mathematik entdecken.
Das Buch bietet eine Vielzahl von Anregungen, über das Dargestellte nachzudenken und auch kleine Veränderungen vorzunehmen, um eigene Vermutungen zu erstellen und zu überprüfen.

Bei etlichen Themen werden keine (oder nur geringe) Voraussetzungen aus dem Schulunterricht benötigt. Es ist ein wichtiges Anliegen des Buches, dass auch junge Menschen den Weg zur Mathematik finden und Leser, deren Schulzeit schon einige Zeit zurückliegt, Neues entdecken. Hierbei helfen auch die zahlreichen Hinweise auf Internetseiten sowie auf weiterführende Literatur. 'Lösungen' zu den in den einzelnen Abschnitten eingestreuten Anregungen können auf der Internetseite des Springer-Verlags heruntergeladen werden.

Das Buch wurde also für alle geschrieben, die Freude an der Mathematik haben oder verstehen möchten, warum das Buch diesen Titel trägt. Es richtet sich auch an Lehrkräfte, die ihren Schülerinnen und Schülern zusätzliche oder neue Lernmotivation geben wollen.

Heinz Klaus Strick studierte die Fächer Mathematik und Physik an der Universität zu Köln. 37 Jahre lang war er Lehrer an einem Gymnasium in Leverkusen, zuletzt 21 Jahre auch Schulleiter der Schule. Durch seine fachdidaktischen Aufsätze, Schulbücher, Vorträge und Lehraufträge an verschiedenen Universitäten und nicht zuletzt durch seine Mathematik-Kalender (Mathematik-ist-schön-Website) erklärt er, warum Mathematik schön ist. Für seine Aktivitäten wurde ihm 2002 der Archimedes-Preis der MNU verliehen.

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Blick ins Buch

Inhaltsverzeichnis

Vorwort	5
Inhaltsverzeichnis	9
1 Regelmäßige Vielecke und Sterne	14
1.1Eigenschaften regelmäßiger Sterne	14
1.2Sterne zeichnen	20
1.3Diagonalen in einem regelmäßigen n-Eck	22
1.4Zackenwinkel im regelmäßigen n-zackigen Stern	24
1.5Aufgesetzte n-zackige Sterne	28
1.6Regelmäßige n-Ecke in der Gauß’schen Zahlenebene	29
1.7Spielpläne mithilfe von regelmäßigen n-Ecken aufstellen	34
1.8Hinweise auf weiterführende Literatur	36
2 Muster aus bunten Steinen	37
2.1Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen	37
2.2Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen	42
2.3Quotienten von Summen ungerader natürlicher Zahlen	45
2.4Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen	47
2.5Summe der ersten n Quadratzahlen von natürlichen Zahlen	53
2.6Summe der ersten n Kubikzahlen von natürlichen Zahlen	56
2.6.1Beweis der Formel für die Summe der ersten n Kubikzahlen durch Al-Karaji	57
2.6.2Beweis der Summenformel für Kubikzahlen durch Wheatstone	59
2.7Pythagoreische Zahlentripel	62
2.7.1Einfache Typen pythagoreischer Zahlentripel	63
2.7.2Weitere pythagoreische Zahlentripel	65
2.7.3Allgemeine Methode zur Bestimmung aller pythagoreischen Zahlentripel	67
2.7.4Herleitung der Formel zur Erzeugung aller pythagoreischen Zahlentripel	69
2.8Hinweise auf weiterführende Literatur	70
3 Zerlegung von Rechtecken in möglichst große Quadrate	71
3.1Ein Spiel mit einem Rechteck	71
3.2Rechnerische Untersuchung des Spiels – Beschreibung mithilfe von Kettenbrüchen	74
3.3Zusammenhang zwischen der Kettenbruchentwicklung und den Rechteckseiten	76
3.4Die Zerlegung besonderer Rechtecke – Fibonacci-Rechtecke	77
3.5Die Folge der Fibonacci-Zahlen	79
3.6Zusammenhang mit dem Euklidischen Algorithmus	82
3.7Beispiele unendlicher Folgen von Rechteckzerlegungen	85
3.8Bestimmung der Kettenbrüche von Quadratwurzeln	89
3.9Hinweise auf weiterführende Literatur	90
4 Kreise und Kreisringe	92
4.1Die Kreiszahl ? – Umfang und Flächeninhalt eines Kreises	92
4.2Kreisringe	94
4.3Verschobene Halbkreise	98
4.4Flechtbänder	101
4.5Laufbahnen	101
4.6Hinweise auf weiterführende Literatur	103
5 Pentominos und ähnliche Puzzles	105
5.1Einfache Polyominos	105
5.2Pentominos	108
5.2.1Parkettierung von Rechtecken durch Pentominos	108
5.2.2Parkettierung von vergrößerten Pentomino-Figuren durch Pentominos	112
5.2.3Parkettierung von Dreiecksfiguren mithilfe von Pentominos	114
5.3Hexominos	116
5.4Hinweise auf weiterführende Literatur	117
6 Fadenbilder	118
6.1Grundfigur Kreis – Seiten und Diagonalen in regelmäßigen Vielecken	118
6.2Grundfigur Quadrat	120
6.2.1Besondere Sternfiguren in einem Quadrat	120
6.2.2Parabeln in einem Quadrat	121
6.3Exkurs: Einhüllende einer Funktionenschar	124
6.3.1Beispiele von Geradenscharen, die im Rahmen des Schulunterrichts behandelt werden	124
6.3.2Ermittlung der Gleichung der einhüllenden Parabel	125
6.4Verfolgungskurven	129
6.5Grundfigur Kreis: Epizykloide	131
6.6Grundfigur zueinander senkrechte Achsen: Astroide	133
6.7Hinweise auf weiterführende Literatur	135
7 Rechnen mit Quadratzahlen – Zahlenzyklen	136
7.1Rechnen mit Quadratzahlen	137
7.1.1Rechnen mit Quadratzahlen: Von einer Quadratzahl zur nächsten	137
7.1.2Rechnen mit Quadratzahlen: Besondere Regel für Quadratzahlen mit Endziffer 5	138
7.1.3Rechnen mit Quadratzahlen: Produkte aus symmetrisch liegenden benachbarten Zahlen	139
7.1.4Rechnen mit Quadratzahlen: Kontrolle der Endziffern	141
7.1.5Rechnen mit Quadratzahlen: Vergleich der Methoden	142
7.2Zahlenzyklen	144
7.2.1Zahlenzyklen, die nach einem oder zwei Schritten enden	145
7.2.2Periodische Zyklen	146
7.3Zahlenzyklen modulo n	147
7.4Zahlenzyklen bei höheren Potenzen	149
7.4.1Untersuchungen der letzten beiden Endziffern von Kubikzahlen	149
7.4.2Untersuchung der letzten drei Endziffern einer Kubikzahl	151
7.5Hinweise auf weiterführende Literatur	153
8 Flächenaufteilungen	154
8.1Fortgesetzte Halbierungen	154
8.2Fortgesetzte Dreiteilungen	156
8.3Fortgesetzte Vierteilungen	158
8.4Fortgesetzte Fünfteilungen	160
8.5Fortgesetzte Teilungen in n gleich große Teilflächen	162
8.6Geometrische Folgen und Reihen	163
8.7Zerlegung von regelmäßigen n-Ecken in gleich große Teilflächen	165
8.8Hinweise auf weiterführende Literatur	168
9 Wiegen im 3er-System	169
9.1Lösung der einfachen Fälle des Wägeproblems	170
9.2Lösung der übrigen Fälle des Wägeproblems	171
9.3Darstellung natürlicher Zahlen im 3er-System	173
9.4Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungen	174
9.5Hinweise auf weiterführende Literatur	177
10 Parkettieren von regelmäßigen 2n-Ecken mithilfe von Rauten	178
10.1Parkettierung eines regelmäßigen 10-Ecks	179
10.2Anwenden der Parkettierungsmethode auf andere regelmäßige 2n-Ecke	180
10.3Verallgemeinerungen der beobachteten Gesetzmäßigkeiten	182
10.4Anleitung zum Basteln der Rauten-Puzzles	184
10.5Alternative Auslegungen des regelmäßigen 10-Ecks mit Rauten	185
10.6Zentralsymmetrische Parkettierung der regelmäßigen 2n-Ecke von innen nach außen	187
10.7Zentralsymmetrische Parkettierung der regelmäßigen 2n-Ecke von außen nach innen	189
10.8Rauten-Parkettierungen für regelmäßige 5-Ecke, 7-Ecke, 9-Ecke usw	192
10.9Hinweise auf weiterführende Literatur	194
11 Untersuchungen zum Satz von Pick	195
11.1Eine Regel für Rechtecke	196
11.2Eine Regel für rechtwinklige Vielecke	198
11.3Überprüfung der Regel für schräg abgeschnittene Dreiecke	200
11.4Überlegungen zu einem allgemeinen Beweis des Satzes von Pick	201
11.5Hinweise auf weiterführende Literatur	204
12 Augensummen	206
12.1Augensummen beim Werfen von zwei regelmäßigen Hexaedern	207
12.2Augensummen beim Werfen von mehreren regelmäßigen Hexaedern	209
12.3Eine fehlerhafte Vorstellung über Augensummen	211
12.4Ein faires Würfelspiel mit Augensummen	214
12.5Die Sicherman-Würfel	215
12.6Weitere Ersatz-Zufallsgeräte für den Doppelwurf	216
12.7Algebraischer Hintergrund für die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten	219
12.8Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen beim n-fachen Würfeln	223
12.9Wahrscheinlichkeitsverteilungen der platonischen Körper	225
12.10Vergleich von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit gleichen Augensummen	227
12.11Ein Beispiel zum Zentralen Grenzwertsatz	229
12.12Bestimmen von Augensummen mithilfe von Markow-Ketten	232
12.13Hinweise auf weiterführende Literatur	234
13 Das verschwundene Quadrat	236
13.1Scheinbar zueinander kongruente Figuren	237
13.2Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit dem Höhensatz des Euklid	242
13.3Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit anderen Methoden Euklids	247
13.3.1Anwendung des Kathetensatzes	247
13.3.2Umwandlung durch Flächenanlegung	248
13.4Weitere Eigenschaften der Folge der Fibonacci-Zahlen	249
13.5Anordnung von Sam Loyd	251
13.6Weitere geeignete Zahlentripel	252
13.7Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras	253
13.8Hinweise auf weiterführende Literatur	254
14 Zerlegen von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate	256
14.1Rechtecke, die sich in neun bzw. zehn verschieden große Quadrate zerlegen lassen	257
14.2Bestimmen der Seitenlängen zu einer gegebenen Zerlegung	259
14.3Einführung der Bouwkamp-Notation zur Beschreibung einer Zerlegung	263
14.4Quadrate, die man in lauter verschieden große Quadrate zerlegen kann	266
14.5Zusammenhang mit elektrischen Netzwerken	269
14.6Ein Spiel mit Rechteckzerlegungen	270
14.7Hinweise auf weiterführende Literatur	271
15 Kissing Circles	273
15.1Untersuchung sich berührender Kreise mithilfe trigonometrischer Methoden	274
15.2Der Vier-Kreise-Satz von Descartes	276
15.3Bestimmung von Beispielen mit ganzzahligen Radien	280
15.4Pappos-Ketten	284
15.5Berührende Kreise mit Krümmung 0	287
15.6Hinweise auf weiterführende Literatur	289
16 Summen von Potenzen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen	290
16.1Herleitung von Summenformeln mithilfe arithmetischer Folgen höherer Ordnung	291
16.2Koeffizientenbestimmung durch Vergleich aufeinanderfolgender Glieder der Summenfolge	298
16.3Alhazens Herleitung der Summenformeln für höhere Potenzen	300
16.4Thomas Harriot entdeckt den Zusammenhang zwischen Dreiecks- und Tetraederzahlen	303
16.5Fermats Entdeckung	308
16.6Pascals Methode zur Bestimmung von Formeln für Potenzsummen	310
16.7Darstellung der Potenzsummen-Formeln mithilfe der Bernoulli-Zahlen	312
16.8Bestimmung von Potenzsummen-Formeln mithilfe der Lagrange-Interpolation	313
16.9Hinweise auf weiterführende Literatur	315
17 Der Satz des Pythagoras	316
17.1Der Satz des Pythagoras und die klassischen Beweise von Euklid	316
17.1.1Erster Beweis von Euklid	317
17.1.2Zweiter Beweis von Euklid	319
17.2„Schöne“ Beweise des Satzes von Pythagoras	322
17.3Zerlegungsbeweise des Satzes von Pythagoras	324
17.3.1Ein Zerlegungsbeweis von Perigal	324
17.3.2Ein Zerlegungsbeweis von Göpel	325
17.3.3Ein Zerlegungsbeweis von Gutheil	326
17.3.4Ein Zerlegungsbeweis von Epstein und Nielsen	326
17.3.5Ein Zerlegungsbeweis von Dobriner und Thieme	327
17.4Darstellung der Zerlegungsbeweise mithilfe von Fliesenmustern	328
17.5Einige Beweise von historischer Bedeutung	329
17.6Unendliche Folgen im Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras	333
17.7Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras	335
17.8Die Möndchen des Hippokrates von Chios und andere Kreisfiguren	336
17.9Anwendung des Satzes von Pythagoras bei Vierecken	341
17.10Ganzzahlige Pythagoras-Partner und besondere Pythagoras-Folgen	342
17.11Heron’sche Dreiecke	347
17.12Briefmarken zu Pythagoras	350
17.13Hinweise auf weiterführende Literatur	352
Allgemeine Hinweise auf geeignete Literatur	354
Sachverzeichnis	356

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