Vorwort | 6 |
Inhalt | 12 |
1 Einleitung: Mathematik, Medien, Bildung – Medienbildung? | 18 |
Teil I: Theorie | 21 |
2 Bildungstheoretische Grundlagen | 22 |
2.1 Bildung und Allgemeinbildung | 22 |
2.1.1 Prolog: wider den Zeitgeist | 22 |
2.1.2 Zur Genese des Bildungsbegriffs im deutschen Sprachraum | 23 |
2.1.2.1 Vorbemerkung | 23 |
2.1.2.2 Die Phase zwischen 1770 und 1830 | 24 |
2.1.2.3 Zum Bildungsbegriff in klassischen Enzyklopädien | 25 |
2.1.2.4 „Bildung“ als Prozess der Entwicklung der Bildsamkeit | 26 |
2.1.2.5 Kategoriale Bildung als Dualismus, nicht aber als Dichotomie | 27 |
2.1.2.6 Klafki und „die Heimholung des Bildungsbegriffs“ | 28 |
2.1.3 Zum heutigen Verständnis von Allgemeinbildung | 29 |
2.1.3.1 Die „doppelte Positionierung“ der Didaktik der Mathematik | 29 |
2.1.3.2 Klafki: Allgemeinbildung in fachübergreifender Sicht | 29 |
2.1.4 Offenheit und Unterrichtsziele vs. Lernziele | 32 |
2.1.5 Inhalt, Thema, Unterrichtsinhalt, Bildungsinhalt und Bildungsgehalt | 33 |
2.2 Mathematikunterricht und Allgemeinbildung | 34 |
2.2.1 Zur Leitposition der wissenschaftlichen Didaktik der Mathematik | 34 |
2.2.2 Wittenberg: Bildung und Mathematik | 35 |
2.2.3 Heymann: Thesen zu einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht | 38 |
2.2.4 Winter: Grunderfahrungen für eine mathematische Allgemeinbildung | 40 |
2.2.5 Mathematik – Anwendung – Spiel – Irrtum | 41 |
2.3 Technik und Technologie | 45 |
2.4 Didaktik oder Methodik? – Methodik als Teil der Didaktik! | 48 |
2.5 „Kompetenzen“? – ein kritisch-konstruktiver Einwurf | 50 |
2.6 Am Rande: Bildung und Wissen – Bildung ist das Paradies! | 56 |
3 Medien im didaktischen Kontext | 60 |
3.1 Medien, Kultur und Enkulturation | 60 |
3.1.1 „Medien“ im naiven umgangssprachlichen Verständnis | 60 |
3.1.2 Kron: „Medium“ im bildungswissenschaftlichen Verständnis | 62 |
3.1.3 „Kultur“ in naiver und philosophischer Sicht | 63 |
3.1.4 Kulturtechniken | 67 |
3.1.5 Herskovits & Loch: „Kultur“ im bildungswissenschaftlichen Verständnis | 69 |
3.1.6 Enkulturation: Didaktik als Enkulturationswissenschaft | 70 |
3.1.7 „Medium“ als Umgebung | 71 |
3.2 „Medium“ alsGenus verbi im Griechischen | 74 |
3.3 Medien als Werkzeuge zur Weltaneignung und als künstliche Sinnesorgane | 77 |
3.4 Medien im didaktischen Kontext: „mediale Aspekte“ | 79 |
3.5 Medien: enge Auffassung versus weite Auffassung | 80 |
3.6 Ein Blick auf aktuelle technische Medien | 82 |
3.7 Neue Medien | 83 |
3.8 Medien im Unterricht als Werkzeug oder als Hilfsmittel? | 84 |
3.9 Medienpädagogik | 85 |
3.10 Integrative Medienpädagogik | 87 |
3.11 Medien als Unterrichtsmittel oder als Unterrichtsgegenstand? | 90 |
3.12 Medienbildung – Schlagwort oder Bildungskonzept? | 92 |
3.13 „Medienbildung“ als „Integrative Medienpädagogik“ | 94 |
3.14 Rückblick und Ausblick aus medienphilosophischer Sicht | 97 |
4 Medialitätsbewusstsein | 100 |
4.1 Prolog | 100 |
4.2 Medien – Medialitätsbewusstsein – Medienbildung | 107 |
4.3 Zur generellen Medialität unserer Weltzugänge | 110 |
4.4 Medien als künstliche Sinnesorgane | 110 |
4.5 Medien als „Kulturtechniken“ | 112 |
4.6 Kulturtechniken und Generierung von Wissen | 117 |
4.7 Mediengenerativismus versus Medienmarginalismus | 118 |
4.8 Medialität | 120 |
4.8.1 Alltagswirklichkeit versus Medienwirklichkeit | 120 |
4.8.2 Medialität als „sinnmiterzeugendes“ Potential | 121 |
4.8.3 „Sinn“ ist immer an eine mediale Form gebunden | 123 |
4.8.4 „Nur in der Prozessualität eines Vollzugs ist etwas überhaupt ein Medium“ | 124 |
4.8.5 Geräte und Verfahren werden zu Medien, indem sie Programme zur Aneignung von Welt unterstützen | 127 |
4.8.6 Medien entfalten ihr Potential im Zusammenwirken von Geräten und Verfahren | 130 |
4.9 Relevanz der Medialitätsforschung für die Medienbildung | 131 |
4.9.1 „Wissensbilder“ | 132 |
4.9.2 Graphische Darstellungen als Evidenzerzeuger | 133 |
4.9.3 Leitmedien und ihr kulturprägendes Potential | 134 |
4.10 Medialitätsbewusstsein als Bildungsziel | 136 |
4.11 Fazit | 138 |
Teil II: Beispiele | 141 |
5 Mathematik und Medien – Vorbetrachtungen | 143 |
5.1 Mediale Aspekte | 143 |
5.2 Mathematikunterricht und Medialitätsbewusstsein | 144 |
5.3 Mathematik als Medium im historischen Kontext | 148 |
5.3.1 Mathematik zwischen Anwendung und Spiel | 148 |
5.3.2 Mathematik als Medium | 149 |
5.3.3 Mathematik, Medien und Bildung im historischen Kontext | 152 |
6 Neue Medien | 155 |
6.1 Neue Medien als Auslöser der Diskussion um Medienbildung | 155 |
6.2 Funktionenplotter | 156 |
6.2.1 Zur Geschichte der Funktionenplotter | 156 |
6.2.2 Zur Struktur von Funktionenplottern | 158 |
6.2.3 Funktionsplots termbasierter Funktionen | 159 |
6.2.3.1 Funktionsplot als Simulation eines Funktionsgraphen | 159 |
6.2.3.2 Funktionsgraph versus Funktionsplot | 160 |
6.2.3.3 Medienbildende Konsequenz: „Idee“ versus „Simulation“ | 161 |
6.2.4 Überlagerungsphänomene bei periodischen Strukturen | 162 |
6.2.4.1 Rückwärts laufende Kutschenräder in Wildwestfilmen | 162 |
6.2.4.2 Fehldarstellungen durch Funktionenplotter | 162 |
6.2.4.3 Merkwürdige Ansichten von Brückengeländern | 163 |
6.2.4.4 Schwebungen | 164 |
6.2.4.5 Zusammenfassung und Weiterung | 164 |
6.2.5 Aliasing bei Funktionenplottern | 167 |
6.2.5.1 Funktion und Simulation | 167 |
6.2.5.2 Aliasing als Abtastphänomen | 168 |
6.2.6 Elementare Sätze über Funktionenplotter | 170 |
6.2.7 Merkwürdiges: die „Hauptsätze für Funktionenplotter“ | 171 |
6.3 Computeralgebrasysteme | 174 |
6.3.1 Zur Struktur von Computeralgebrasystemen | 174 |
6.3.1.1 Übersicht und Geschichte | 174 |
6.3.1.2 Grundlegende Betriebsarten eines Computeralgebrasystems | 175 |
6.3.1.3 Termersetzungstechniken | 176 |
6.3.1.4 Analysis mit CAS? | 177 |
6.3.1.5 CAS und Künstliche Intelligenz? | 178 |
6.3.2 Computeralgebrasysteme und Mathematikunterricht | 179 |
6.3.2.1 Computeralgebrasysteme als Auslöser grundlegender didaktischer Erörterungen | 179 |
6.3.2.2 Wie viel Termumformung „braucht“ der Mensch? | 180 |
6.3.2.3 Zur Auslagerung von Fertigkeiten auf Computeralgebrasysteme | 182 |
6.3.2.4 Das epistemologische Dreieck und der Einsatz von Computeralgebrasystemen | 183 |
6.4 Tabellenkalkulationsysteme | 185 |
6.4.1 Überblick | 185 |
6.4.2 Historische Anmerkungen | 186 |
6.4.3 Zur Struktur von Tabellenkalkulationssystemen | 187 |
6.4.4 Beispiele zur Verwendung von Rechenblättern | 187 |
6.4.4.1 Tabellierung termdefinierter Funktionen | 187 |
6.4.4.2 TKS sowohl als termbasierte als auch als punktbasierte Funktionenplotter | 190 |
6.4.4.3 Greedy-Algorithmus mit Tabellenkalkulation | 191 |
6.5 Bewegungsgeometriesysteme – Dynamische Geometrie | 192 |
6.5.1 Vorbemerkung | 192 |
6.5.2 Historische Aspekte | 193 |
6.5.3 Typische Eigenschaften | 194 |
6.6 Internet und World Wide Web (WWW) | 194 |
6.6.1 Historische Aspekte | 194 |
6.6.2 Zur Struktur | 195 |
6.6.3 Recherchemöglichkeiten | 195 |
6.7 Anthropomorphisierende Aspekte als „Medialität“ | 196 |
6.7.1 Vorbemerkung | 196 |
6.7.2 Beispiele | 197 |
6.7.2.1 Trivialisierer | 197 |
6.7.2.2 Beweiser und Entdecker | 199 |
6.7.2.3 Rechenknecht, Möglichkeitserweiterer, Türöffner und „Rennen gegen die Mauer“ | 200 |
6.7.2.4 Täuscher und Blender | 202 |
6.7.2.5 Recherchierer | 204 |
7 Funktionen als Medien | 205 |
7.1 Funktionen und Medienbildung | 205 |
7.2 Zum aktuell nicht einheitlichen Verständnis von „Funktion“ | 207 |
7.3 Funktionen haben viele Gesichter | 208 |
7.4 Zeittafel zur Entwicklung des Funktionsbegriffs | 210 |
7.5 Funktionen als Tabellen bei den Babyloniern | 211 |
7.6 Zur Dominanz zeitachsenorientierter Funktionen seit etwa 1000 n. Chr. | 213 |
7.6.1 Klosterschule: Darstellung des Zodiacs in einem Koordinatensystem | 214 |
7.6.2 Guido von Arezzo: Begründer der Notenschrift | 217 |
7.6.3 Nicole d‘Oresme: geometrische Darstellung zeitabhängiger Funktionen | 219 |
7.7 Empirische Funktionen im Vorstadium formaler Begriffsentwicklung | 222 |
7.7.1 Überblick | 222 |
7.7.2 1551 Rheticus: erste trigonometrische Tabellen | 223 |
7.7.3 1614 John Napier: erste „Logarithmentafeln“? | 224 |
7.7.4 1662 John Graunt: erste demographische Statistik | 226 |
7.7.5 1669 Christiaan Huygens: „Lebenslinie“ und „Lebenserwartungszeit“ | 227 |
7.7.6 1686 Edmund Halley: Luftdruckkurve | 227 |
7.7.7 1741 / 1761 Johann Peter Süßmilch: geistiger Vater der Demographie | 228 |
7.7.8 1762 / 1779 Johann Heinrich Lambert: Langzeittemperaturmessungen | 229 |
7.7.9 1786 / 1821 William Playfair: Datenvisualisierung durch Charts | 233 |
7.7.10 1795 / 1797 Louis Ézéchiel Pouchet: Nomogramme | 234 |
7.7.11 1796 James Watt & John Southern: Dampfmaschine und Kreisprozess | 234 |
7.7.12 1817 Alexander von Humboldt: erstmals geographische Isothermen | 235 |
7.7.13 1821 Jean Baptiste Joseph Fourier: Häufigkeitsverteilung | 235 |
7.8 Beginn der expliziten Begriffsentwicklung von „Funktion“ | 236 |
7.8.1 Überblick | 236 |
7.8.2 1671 Isaac Newton: Fluxionen und Fluenten | 236 |
7.8.3 1673 / 1694 Gottfried Wilhelm Leibniz: erstmals das Wort „Funktion“ | 237 |
7.8.4 1706 / 1718 Johann I. Bernoulli: erstmals Definition von „Funktion“ | 238 |
7.8.5 1748 Leonhard Euler: erstmals „Funktion“ als grundlegender Begriff | 239 |
7.9 Entwicklung zum modernen Funktionsbegriff seit Anfang des 19. Jhs. | 241 |
7.9.1 1822 Jean Baptiste Fourier: erste termfreie Definition von „Funktion“ | 241 |
7.9.2 1829 / 1837 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet: termfreier Funktionsbegriff | 242 |
7.9.3 1875 Paul Du Bois-Reymond: Funktion als Tabelle | 245 |
7.9.4 1887 Richard Dedekind: Abbildung als eindeutige Zuordnung | 246 |
7.9.5 1891 Gottlob Frege – Präzision: | 247 |
7.9.6 Ende 19. Jh. Peirce, Schröder, Peano: erstmals Funktion als Relation | 249 |
7.9.7 1903 – 1910 Russell, Zermelo, Whitehead: Annäherung an „Relation“ | 249 |
7.9.8 1914 Felix Hausdorff: mengentheoretische Definition von „Funktion“ als „Relation“ | 250 |
7.9.9 Funktion und Funktionsgraph: eine kuriose Konsequenz | 251 |
7.10 „Gesichter“ von Funktionen: ungewöhnliche Beispiele | 252 |
7.10.1 Vorbemerkungen | 252 |
7.10.1.1 Anfang des 21. Jhs.: Die große Vielfalt – Funktionen haben viele Gesichter | 252 |
7.10.1.2 Zu „medialen Sichtweisen“ von Funktionen | 252 |
7.10.2 Bilder als Funktionen – Sichtbare Funktionen | 253 |
7.10.3 Funktionenplotter, Funktionsplots und Schaubilder von Funktionen | 253 |
7.10.4 Scanner als materialisierte Funktion: Diskretisierung und Digitalisierung | 254 |
7.10.5 Hörbare Funktionen | 255 |
7.10.6 Funktionenplotter, Kameras, Projektoren und Filme als Funktionen | 258 |
7.11 Fazit | 259 |
8 Zur Medialität mathematischer „Probleme“ am Beispiel der „drei klassischen Probleme“ | 263 |
8.1 Die drei Probleme in früher schulbezogener Literatur | 263 |
8.2 Überblick zur Behandlung der drei Probleme in der Antike | 265 |
8.2.1 Problemskizzen | 265 |
8.2.2 „Konstruktion mit Zirkel und Lineal“ in medialer Sicht | 267 |
8.2.3 Zur Entstehung der drei klassischen Probleme in der Antike | 269 |
8.2.3.1 Zeittafel | 269 |
8.2.3.2 Quadratur des Kreises | 269 |
8.2.3.3 Verdoppelung des Würfels | 270 |
8.2.3.4 Dreiteilung eines Winkels Hippias von Elis | 272 |
8.2.4 Exakte Lösungen vs. Näherungslösungen? | 273 |
8.3 Gemeinsamkeiten und Unterschiede der drei Probleme | 274 |
8.3.1 Strukturelle Aspekte | 274 |
8.3.2 Mediale Aspekte | 276 |
8.4 Dreiteilung eines Winkels | 277 |
8.4.1 Ausgangslage: Strahlensatz ist nicht direkt anwendbar | 277 |
8.4.2 Lösungswerkzeug: die Trisectrix des Hippias von Elis | 277 |
8.4.3 Lösungswerkzeug: die Archimedische Spirale | 278 |
8.4.4 Lösungswerkzeug: das „Einschiebelineal“ des Archimedes | 280 |
8.4.5 Lösungswerkzeug: die Muschellinie des Nikomedes | 282 |
8.5 Verdoppelung des Würfels | 284 |
8.5.1 Grundidee: Ermittlung von zwei mittleren Proportionalen | 284 |
8.5.2 Lösungsweg: mechanische Einschiebung | 287 |
8.5.2.1 Einschiebung mit einem Holzrahmen-Apparat (vermutlich durch Eratosthenes) | 287 |
8.5.2.2 Einschiebung mit einem Winkelhaken-Paar (vermutlich durch Hippokrates) | 289 |
8.5.2.3 Zur Fehlzuweisung dieser Einschiebelösungen zu Platon | 290 |
8.5.3 Lösungsweg: die „krumme Linie“ des Archytas von Tarent | 292 |
8.5.4 Lösungsweg: die Muschellinie (Konchoïde) des Nikomedes | 295 |
8.5.5 Lösungsweg: das Mesolabium des Eratosthenes | 296 |
8.5.6 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Kegelschnitten nach Menaichmos | 298 |
8.5.7 Lösungsweg: Schnittpunkt von Parabel und Kreis nach Descartes | 300 |
8.6 Quadratur des Kreises | 301 |
8.6.1 Lösungswerkzeuge: die Trisectrix als Quadratrix, Satz des Dinostratos | 301 |
8.6.2 Lösungswerkzeug: die Archimedische Spirale | 303 |
8.7 Ergänzungen | 305 |
8.7.1 Zur „Neusis“ als Lösungsmethode | 305 |
8.7.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal: | 309 |
8.7.3 Vertiefung: exakte Lösungen vs. Näherungslösungen | 313 |
8.7.4 19. Jahrhundert: die endgültige Lösung der drei klassischen Probleme | 316 |
8.7.4.1 Definition: „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“ | 316 |
8.7.4.2 Das Delische Problem | 316 |
8.7.4.3 Die Quadratur des Kreises | 316 |
8.7.4.4 Die Winkeldreiteilung | 317 |
8.7.5 Zusammenfassung | 317 |
8.7.5.1 Winkeldreiteilung | 317 |
8.7.5.2 Würfelverdoppelung | 318 |
8.7.5.3 Kreisquadratur | 318 |
8.7.5.4 Tabellarischer Überblick | 319 |
8.8 Fazit | 320 |
9 Weitere mediale Aspekte in der Mathematik | 323 |
9.1 Visualisierungen | 323 |
9.1.1 „Visualisierung“ – was ist das eigentlich? | 323 |
9.1.2 Visualisierungen in der Mathematik | 324 |
9.1.3 Beweise ohne Worte | 326 |
9.1.4 Figurierte Zahlen | 328 |
9.1.5 Illusionen durch Visualisierung unmöglicher Figuren | 331 |
9.1.6 Optische Täuschungen | 334 |
9.2 Historische Werkzeuge der Mathematik | 335 |
9.2.1 Vorbemerkung | 335 |
9.2.2 Mechanische Instrumente zum Zeichnen, Messen und Rechnen | 336 |
9.2.3 Auf dem Wege zur Entwicklung von Rechenmaschinen | 337 |
9.2.4 Tafelwerke | 339 |
9.2.5 Rechenschieber | 341 |
9.2.6 Mathematische Papiere | 342 |
9.3 Formale Aspekte | 345 |
9.3.1 Vorbemerkung | 345 |
9.3.2 Variablen, Logik und Mengen | 345 |
9.3.3 Algorithmen und Kalküle | 347 |
9.3.3.1 Erste Begriffsbeschreibungen | 347 |
9.3.3.2 Zur Geschichte | 348 |
9.3.3.3 Zu Begriffsdefinitionen von „Algorithmus“ und „Kalkül“ | 348 |
9.3.3.4 Beispiele für Kalküle | 351 |
9.3.4 Axiome, Strukturen und Modelle | 353 |
9.3.4.1 Vorbemerkung | 353 |
9.3.4.2 Historische Aspekte zu Axiomen | 354 |
9.3.4.3 Aktuelle Auffassungen zu Axiomen und Axiomensystemen | 356 |
9.3.4.4 Heteronome und autonome Axiomensysteme | 358 |
9.3.4.5 Axiomatische Beschreibung mathematischer Strukturen | 360 |
9.3.4.6 Modell, Widerspruchsfreiheit, Monomorphie und Vollständigkeit | 362 |
9.3.4.7 Modell und Modellierung in der Mathematik bzw. in der Physik | 364 |
9.3.4.8 Modell und Modellierung: Heinrich Hertz – Modellieren als Axiomatisieren | 367 |
9.4 Mathematik, Sprache und Logik | 370 |
9.5 Fazit | 372 |
10 Vernetzung als Medium zur Weltaneignung | 373 |
10.1 Einleitung | 373 |
10.2 Kleine Welten und Netzwerke | 373 |
10.2.1 Vorbemerkung | 373 |
10.2.2 Kleine Welten – zwei Einstiegsbeispiele und ihre (Be-)Deutung | 374 |
10.2.2.1 Das Kevin-Bacon-Orakel | 374 |
10.2.2.2 Die Erdös-Zahl | 377 |
10.2.2.3 Der Akteurs-Graph und der Erdös-Graph als „Kleine Welten“ | 381 |
10.2.2.4 Der Mathematiker-Graph und das Potenzgesetz („Power Law“) | 382 |
10.3 Netz, Netzwerke und Vernetzung | 385 |
10.3.1 Vorbemerkung | 385 |
10.3.2 Alltagssprachlicher Bedeutungsumfang von „Netz“ | 388 |
10.3.3 „Netz“ in pädagogisch-didaktischer axiomatisch orientierter Sicht | 390 |
10.3.4 Netzgraphen, Netzwerke, Vernetzung und Verzweigung | 392 |
10.3.5 Das „Netz-Dilemma“ | 396 |
10.4 Modellierung natürlich wachsender Netzwerke | 397 |
10.4.1 Übersicht | 397 |
10.4.2 Das „ER-Modell“ von Erdos und Rényi (1959) | 398 |
10.4.3 Das „WS-Modell“ von Watts und Strogatz (1998) | 399 |
10.4.4 Das „BA-Modell“ von Barabási und Albert (1999) | 401 |
10.4.5 Ausfallverhalten von Netzwerken: Fehlertoleranz und Stabilität | 406 |
10.4.6 Zusammenfassung | 411 |
10.5 Fazit: Vernetzung als Medium zur Weltaneignung | 412 |
10.5.1 Vorbemerkung | 412 |
10.5.2 Vernetzung, Kleine Welten und Mathematikdidaktik: Grundsätzliches | 412 |
10.5.3 Kleine Welten, BA-Modell und „vernetzender Unterricht“ | 414 |
10.5.3.1 Grundsätzliches | 414 |
10.5.3.2 kleiner mittlerer Knotenabstand | 415 |
10.5.3.3 Naben | 416 |
10.5.3.4 Ausfallverhalten | 416 |
10.5.4 Kleine Welten, Netzwerke: Anregungen für den Mathematikunterricht | 417 |
10.5.5 Pädagogische Aspekte: soziale Netzwerke | 418 |
10.5.6 Zusammenfassung | 421 |
11 Nachwort | 423 |
12 Literatur | 429 |
13 Abbildungsverzeichnis | 455 |
14 Register | 459 |