2. Theoretische Grundlagen

2.1 Grundlagen der linearen Regression

Da im Verlauf der Arbeit des öfteren auf das ökonometrische Verfahren der linearen Regression zurückgegriffen wird, sollen hier kurz Vorgehen und Annahmen dieser Methode erläutert werden.

2.1.1 Zielsetzung und Vorgehensweise

Die lineare Regression dient der Wiedergabe von Dependenzbeziehungen zwischen einer abhängigen und einer oder mehrerer unabhängiger Variablen und spielt in der Ökonometrie eine große Rolle. Mit ihrer Hilfe können (vermutete) Zusammenhänge quantitativ beschrieben und erklärt, sowie Werte der abhängigen Variablen geschätzt und prognostiziert werden.[11]

Bei der Anwendung der linearen Regression ist zunächst die vermutete Ursache-Wirkungs-Beziehung festzulegen und die Regressionsgleichung zu spezifizieren. Die Störgröße εt repräsentiert dabei die von den unabhängigen Variablen nicht erfassten Einflussgrößen. Handelt es sich um eine univariate Regression stellt sich die Regressionsfunktion formal wie folgt dar:

Im Falle mehrerer unabhängiger Variablen (multivariate Regression) erweitert sich die Gleichung zu:

Mit der Methode der kleinsten Quadrate[12], welche die Summe der quadrierten Abweichungen der Schätzwerte von den Beobachtungswerten minimiert, werden in der Folge die Regressionsparameter bestimmt. Dieses Vorgehen impliziert, dass eine ausreichend große Anzahl von Beobachtungen zur Verfügung stehen muss, da aufgrund der quadratischen Gewichtung der Abweichungen andernfalls ein erheblich verzerrender Einfluss durch Ausreißerwerte besteht.

Mit Hilfe verschiedener Gütemaße kann anschließend überprüft werden, wie gut die geschätzte Regressionsfunktion die empirischen Daten reflektiert und welchen Erklärungsbeitrag die einzelnen Variablen leisten.[13] Als globale Gütemaße für die Eignung des Modells insgesamt werden vor allem das Bestimmtheitsmaß sowie die F-Statistik verwendet. Zur Prüfung der Erklärungsleistung der einzelnen Regressionskoeffizienten wird insbesondere der t-Test herangezogen.

2.1.2 Annahmen des Verfahrens

Die lineare Regression basiert auf einer Reihe von Prämissen. Die Erfüllung dieser Annahmen ist Voraussetzung für die Ermittlung von unverzerrten, effizienten (varianzminimalen) Schätzern für die Regressionsparameter und die Durchführbarkeit von Signifikanztests.[14]

Die einzelnen Annahmen des Modells sowie die entstehenden Probleme und deren mögliche Behebung bei Verletzung dieser Prämissen sollen hier kurz vorgestellt werden:[15]

A1: Das Modell enthält alle relevanten unabhängigen Variablen und keine der verwendeten unabhängigen Variablen ist irrelevant.

Werden nicht alle relevanten Variablen im Modell berücksichtigt, führt dies zu einer Verzerrung der Schätzwerte, da die verbleibenden Variablen den Einfluss der ausgelassenen Größe aufnehmen. Zudem werden in der Folge die Hypothesentests ungültig. Aus der Aufnahme irrelevanter Variablen resultieren zum einen ineffiziente Schätzer, zum anderen erhöht sich die Unschärfe der Hypothesentests. Generell kann der Verletzung der Annahme mit einer Neuspezifikation des Modells begegnet werden.

A2: Der wahre Zusammenhang zwischen der abhängigen und der / den unabhängigen Variablen ist linear.

 Die Folge einer nicht-linearen Beziehung zwischen der abhängigen und den unabhängigen Variablen ist ebenfalls eine Verzerrung der Schätzwerte. Eine mögliche Lösung des Problems besteht in der Transformation (z.B. eine Logarithmierung) der Regressionsfunktion oder der einzelnen unabhängigen Variablen, um eine lineare Beziehung in den Parametern herzustellen.

A3: Die Regressionsparameter sind für alle Beobachtungen konstant.

 Ist diese Annahme nicht erfüllt, liegen sogenannte Strukturbrüche (Trendänderungen) vor, welche vor allem bei Zeitreihenanalysen auftreten, wenn sich z.B. durch neue Rahmenbedingungen der Einfluss der unabhängigen auf die abhängige Variable verändert. Auch dies kann eine Verzerrung der Schätzer zur Folge haben.

 Durch die Erweiterung des Modells um eine sog. „Dummy“-Variable, welche den Wert 0 für die Beobachtungen vor und den Wert 1 für Beobachtungen nach dem Strukturbruch annimmt, kann dieses Problem oft beseitigt werden.

A4: Der Erwartungswert der Residuen beträgt 0.

 Weicht der Erwartungswert der Störgrößen von 0 ab, z.B. aufgrund von systematischen Messfehlern der abhängigen Variablen, so hat dies eine verzerrende Wirkung auf den Schätzer des Niveauparameters. Da jedoch überwiegend nach den Schätzern für die Steigungsparameter gesucht wird, ist dieser Effekt oft nicht bedeutsam. Andernfalls sind komplexere Schätzmethoden zu verwenden.

A5: Keine Autokorrelation der Residuen.

Liegt Autokorrelation der Störgrößen vor, d.h. weisen die Residuen aufgrund linearer Abhängigkeit Trends bzw. eine Struktur auf, sind die Schätzer der Regressionsparameter ineffizient. Die Diagnose von Autokorrelation der Residuen erfolgt zumeist mit einem Residuenplot in Kombination mit dem Durbin-Watson-Test.[16]

Es empfiehlt sich eine Transformation der Regressionsgleichung, um die Autokorrelation zu beseitigen.

A6: Keine Heteroskedastizität der Residuen.

 Diese Annahme verlangt, dass die Varianz der Fehler konstant (homoskedastisch) ist, somit also die Störgrößen unabhängig von den exogenen Variablen und der Reihenfolge der Beobachtungen sind. Bei Nichterfüllung dieser Prämisse sind die Schätzer ineffizient. Eine eventuelle Heteroskedastizität lässt sich mit Hilfe von speziellen Tests, wie dem sog. Goldfeld-Quandt-Test oder dem White-Test diagnostizieren. Mittels einer Transformation der Regressionsgleichung kann versucht werden, Homoskedastizität der Störgrößen herzustellen.

A7: Keine (hohe) Multikollinearität der erklärenden Variablen.

 Multikollinearität der unabhängigen Variablen liegt vor, wenn diese voneinander linear abhängig sind. Sie resultiert aus redundanter Information in den unabhängigen Variablen der Regressionsgleichung. Da diese doppelt vorhandene Information nicht eindeutig einer speziellen unabhängigen Variablen zugerechnet werden kann, ist dieser Informationsanteil für die Parameterschätzung nicht nutzbar. Demzufolge werden die Schätzwerte der Regressionsparameter unzuverlässig und ihre Standardabweichung steigt.[17] Außerdem reagieren sie sehr sensitiv auf das Entfernen oder Hinzufügen weiterer unabhängiger Variablen. Ferner verliert das Bestimmtheitsmaß seine Aussagekraft.

Die potentiellen linearen Abhängigkeiten können durch eine Regression jeder einzelnen exogenen Variablen auf die jeweils verbleibenden unabhängigen Variablen aufgedeckt werden.

Durch das Entfernen scheinbar weniger relevanter Variablen aus der Regressionsgleichung kann die Multikollinearität reduziert werden, allerdings erhöht dies, wegen einer damit meist verbundenen Verletzung der Annahme A1, das Risiko einer verzerrten Schätzung.

A8: Die Residuen sind normalverteilt.

 Sind die Residuen nicht normalverteilt, so sind die Hypothesentests zur Signifikanz der ermittelten Schätzwerte für die Regressionsparameter nicht anwendbar.

 Ein Lösungsansatz ergibt sich aus der Aussage des zentralen Grenzwertsatzes, dass Zufallsvariablen für genügend große Stichproben eine Normalverteilung approximieren. Je größer also die zugrunde liegende Beobachtungsanzahl, desto eher wird die Annahme A8 (approximativ) erfüllt sein, so dass sich die genannten Probleme im Wesentlichen bei kleinen Stichproben ergeben.

Tabelle 1 fasst die wichtigsten Problembereiche der linearen Regression zusammen

Tabelle 1: Ausgewählte Problembereiche der linearen Regression[18]

2.2 Objektivierter innerer Unternehmenswert und Entscheidungswert

In der Literatur herrscht überwiegend Einigkeit, dass der Unternehmenswert von den zukünftig erwarteten entnehmbaren Zahlungsüberschüssen determiniert wird.[19] Auf diesem Grundgedanken aufbauend existieren unterschiedliche Konzeptionen des Unternehmenswertes, die sich vor allem aus der Zweckabhängigkeit der Unternehmensbewertung ergeben.[20]

Im Rahmen dieser Arbeit ist vor allem die Unterscheidung zu treffen zwischen dem Begriff des inneren Unternehmenswertes („intrinsic value“)[21], wie...