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Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken

In diesem Kapitel

• Was Mengen sind
• Wie man mit Mengen rechnen kann
• Mathematik als formale Sprache
• Endliche und unendliche Mengen
• Grundlegende Beweistechniken der Mathematik

Dieses Kapitel können Sie gern als Fortsetzung der Einführung in die algebraischen Grundlagen ansehen. Zuächst zeige ich Ihnen, was Mengen sind und was Sie mit ihnen machen können. Dies umfasst die Grundrechenoperationen in der Welt der Mengen. Als Zweites kümmern wir uns um formale Sprachen und analysieren die der Mathematik. Erst wenn Ihnen die Grammatik der Mathematik klarer geworden ist, können Sie logisch korrekt sprechen. Im letzten Teil zeige ich Ihnen vier grundlegende Beweistechniken als Kochrezepte, um im Umgang mit der Mathematik Fortschritte zu machen.

Alles über Mengen

In der Mathematik spielt der Begriff der Menge eine wesentliche Rolle, ohne dass er sehr im Vordergrund steht. Die Mathematiker des 19. Jahrhunderts haben bemerkt, dass es immer wieder sprachliche Schwierigkeiten gibt, wenn man allzu sorglos mit mathematischen Begriffen um sich wirft.

Umgangssprachlich bezeichnet man mit einer Menge eine Gesamtheit verschiedener Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Also etwa die Menge der Leser dieses informativen Buches oder die Menge der Bäume im Schwarzwald oder eben auch die Menge der ganzen Zahlen, die gerade sind. Allgemein gibt es also eine Grundgesamtheit von Objekten, von der Sie ausgehen können. Eine solche sollte natürlich immer hinreichend groß sein, damit dort auch alle Objekte zu finden sind, über die Sie sprechen möchten. Das kann also die Grundgesamtheit aller Objekte in unserem Universum sein (damit sind Sie auf der sicheren Seite, nur ist diese doch arg groß) oder etwas überschaubarer im Hinblick auf dieses Buch vielleicht nur die Grundgesamtheit der mathematischen Objekte (im Universum). Oder noch besser, wenn Sie über Zahlen sprechen, vielleicht auch nur die Grundgesamtheit der Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft.

Sie werden sich fragen, worin nun die Schwierigkeit besteht. Warten Sie es ab. Denken Sie einfach mit mir gemeinsam über das Konzept der Mengen nach.

Beispiel

Sie gehen im Supermarkt einkaufen. Zunächst erhalten Sie an der Fleischtheke eine Packung mit herzhaftem Inhalt. Sie nehmen noch einen Beutel Kartoffeln, danach die üblichen Kleinigkeiten, zweimal Joghurt und einen Schokoriegel. An der Kasse packen Sie alles in eine Tüte und gehen nach Hause.

Was hat diese Geschichte mit Mengen zu tun, werden Sie fragen. Die gesamte Einkaufstüte stellt eine Menge dar, nämlich die Menge der eingekauften Objekte: eine Packung Aufschnitt, ein Beutel Kartoffeln, zweimal Joghurt, ein Schokoriegel. Diese Menge enthält selbst wieder zwei Mengen von eingekauften Produkten, nämlich die Menge der Kartoffeln im Beutel und die Packung mit den verschiedenen Wurstsorten. Das bedeutet, dass Ihre Menge wieder Mengen enthält, die selbst Objekte enthalten und so weiter. Betrachten Sie dazu die Abbildung 2.1.

Abb. 2.1 Eine ganz normale Einkaufstüte – betrachtet als Menge von Objekten

Die Einkaufstüte heißt E, der Beutel Kartoffeln K, die Packung mit dem Aufschnitt W , die zwei Joghurtbecher J1, J2 und der Schokoriegel heißt

S. In dem Beutel Kartoffeln sind drei Kartoffeln enthalten, nämlich k1, k2 und k3. In der Packung mit dem Aufschnitt gibt es einmal den Belag w1 und den Belag w2. Dann besteht die Menge E aus den Objekten K, W , J1, J2 und S, wobei die Menge K die Objekte k1, k2 und k3 und die Menge W die Objekte w1 und w2 enthält. Man benutzt dafür die so genannte Mengenschreibweise und schreibt E = {K, W , J1, J2, S} und K = {k1, k2, k3} sowie W = {w1,w2}. Sie können diese Schreibweisen auch miteinander verbinden und schreiben, dass die Menge E gerade die Menge { {k1, k2, k3},{w1,w2}, J1, J2, S } ist. Insbesondere können Mengen auch wieder Mengen enthalten. (In der Mathematik geht man noch einen Schritt weiter und betrachtet (fast) alles aus dem normalen Leben als Mengen, aber auf die Diskussion möchte ich mich hier nicht einlassen.)

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen

Sie haben im letzten Abschnitt bereits gesehen, dass man Mengen mit der Mengenschreibweise direkt angeben kann. Also können Sie beispielsweise schreiben:

A = {0, 1, 4, 9}. Dabei sagt man, dass 4 ein Element der Menge A = {0, 1, 4, 9} ist und schreibt 4 ∈ A. Die Zahl 5 dagegen ist kein Element von A = {0, 1, 4, 9}; man schreibt in einem solchen Fall 5A. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Bei Mengen kommt es auch nicht auf Reihenfolge und Wiederholungen der Elemente an. So ist die Mengen A = {0, 1, 4, 9} formal gleich der Menge

A = {0, 0, 4, 0, 4, 4, 9, 0, 1, 4, 9} gleich.

Lassen Sie mich Ihre Aufmerksamkeit auf die leere Menge lenken. Diese Menge enthält keine Elemente. Sie wird mit dem Symbol ∅ abgekürzt. Stellen Sie sich in Anlehnung an das Einkaufsbeispiel im letzten Abschnitt vor, Sie stehen noch vor dem Supermarkt und haben Ihre leere Einkaufstüte in der Hand. Jetzt stecken Sie diese leere Tüte in eine andere leere Tüte hinein. Dann enthält die zweite Tüte die erste, ist damit nicht leer, weil sie die leere Tüte als Element enthält. Denken Sie darüber nach – es ist ganz einfach. Aber der mathematische Sachverhalt ist wirklich wichtig und wird oft falsch verstanden.

Tipp

Es gilt, dass die leere Menge von der Menge, die die leere Menge enthält, verschieden ist, also als Formel geschrieben ∅≠{∅}.

Der bisher verwendete Trick bei der Angabe von Mengen, einfach die Elemente nacheinander aufzureihen, funktioniert leider nur bei endlichen Mengen. Das reicht immerhin, um die Einkaufstüte zu beschreiben, sogar die Menge der Objekte im Supermarkt selbst. Aber es gibt Situationen, in denen Sie über unendliche Mengen sprechen müssen. Das gilt natürlich innerhalb der Mathematik, wenn Sie etwa über Zahlen sprechen, aber auch im Alltag kommt dies vor. Wenn Sie beispielsweise die Autos an einer Kreuzung zählen, dann ist die Anzahl zwar immer endlich, aber Sie können von vornherein keine obere Grenze angeben – je nach Ausdauer beim Zählen könnten Sie diese Grenze sprengen.

Bleiben wir aber bei der obigen Menge A = {0, 1, 4, 9}. Diese Menge könnten Sie auch als Menge der natürlichen Zahlen kleiner 10 beschreiben, die Quadratzahlen sind; Sie werden dieses Beispiel des Öfteren in der Literatur finden. Man benutzt dafür eine Schreibweise für Mengen, bei der man all die Objekte zusammenfasst, die eine gewisse Eigenschaft erfüllen. So können Sie die Eigenschaft φ(x) für eine Zahl x definieren als x ist eine natürliche Zahl, x ≤ 10 und es gibt eine natürliche Zahl y, so dass x = y2 gilt. Dann können Sie die Menge auch schreiben als

{x|φ(x)}.

Ich kann Ihre Unzufriedenheit praktisch fühlen. Ja, es stimmt, in diesem einfachen Fall mussten Sie es nicht in diese Form pressen, aber stellen Sie sich vor, Sie möchten die Menge aller natürlichen Quadratzahlen oder aller Primzahlen betrachten. Dann reicht Ihnen eine Eigenschaft und schon können Sie über die Sie interessierende Menge sprechen.

Beispiel

So ist die Menge {x ∈ |x = x} die Menge der natürlichen Zahlen selbst und offenbar sind die Mengen {x ∈ |x≠x} und {x ∈ |x≠x} nichts anderes als Darstellungen der leeren Menge. Denken Sie daran, ein und dieselbe Menge kann ich auf unendlich viele verschiedene Arten darstellen, es kommt nur auf die beschriebenen Elemente an, die in der Menge enthalten sind.

Von Zahlen, Mengen und Intervallen

Sie haben die Bezeichnungen der Zahlbereiche bereits im ersten Kapitel kennengelernt. Diese...